Raisonnement par récurrence

1. a)$S_1=1\times 2=2$ ; $S_2=2+2\times 3=8$ ; $S_3=8+3\times 4=20$. Et ${\displaystyle \frac{1\times 2\times 3}{3}}=2$, ${\displaystyle \frac{2\times 3\times 4}{3}}=8$, ${\displaystyle \frac{3\times 4\times 5}{3}}=20$ : les valeurs coïncident. En particulier, $𝒫(1)$ est vraie, où $𝒫(n)$ désigne la propriété « $S_n={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$ ». (1)
2. b)Soit $k⩾1$ un entier fixé. Hypothèse de récurrence ($𝒫(k)$ est vraie) : $$S_k={\displaystyle \frac{k(k+1)(k+2)}{3}}.$$Égalité à obtenir ($𝒫(k+1)$) : $$S_{k+1}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}.$$ (1)
3. c)Hérédité. Soit $k⩾1$ un entier fixé tel que $𝒫(k)$ est vraie. La somme $S_{k+1}$ contient les termes de $S_k$ plus le terme $(k+1)(k+2)$ :$$\begin{array}{ccc}\hfill S_{k+1}=\underset{=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}}{\underbrace{S_k}}+(k+1)(k+2)& \hfill =\hfill & {\displaystyle \frac{k(k+1)(k+2)}{3}}+{\displaystyle \frac{3(k+1)(k+2)}{3}}\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\text{(factorisation par }(k+1)(k+2)\text{)}.\hfill \end{array}$$Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $1$ (question a) et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier $n⩾1$ : $$S_n={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}.$$ (1)
4. d)$S_{30}$
   $={\displaystyle \frac{30\times 31\times 32}{3}}$
   $=10\times 31\times 32$
   $=9920$. (1)

Le point clé — Dans l'hérédité, factoriser par $(k+1)(k+2)$ au lieu de tout développer : la forme attendue au rang $k+1$ apparaît immédiatement.

1. a)$u_1=4\times 7-9=19$ ; $u_2=4\times 19-9=67$ ; $u_3=4\times 67-9=259$. (1)
2. b)Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $u_n=4^{n+1}+3$ ».
   Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=7$ et $4^1+3=7$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire $u_k=4^{k+1}+3$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}=4^{k+2}+3$. On part de la relation de récurrence et on remplace $u_k$ par l'hypothèse :$$\begin{array}{ccc}\hfill u_{k+1}=4\underset{=4^{k+1}+3}{\underbrace{u_k}}-9& \hfill =\hfill & 4(4^{k+1}+3)-9\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 4^{k+2}+12-9\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 4^{k+2}+3.\hfill \end{array}$$ Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n=4^{n+1}+3$. (1)
3. c)Pour tout entier naturel $n$ :$$\begin{array}{ccc}\hfill u_{n+1}-u_n& \hfill =\hfill & (4^{n+2}+3)-(4^{n+1}+3)\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 4^{n+1}(4-1)\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 3\times 4^{n+1}.\hfill \end{array}$$Comme $3\times 4^{n+1}>0$, on a $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante. (1)
4. d)Quatre vérifications ne disent rien des rangs suivants : une formule peut être vraie jusqu'à un certain rang et fausse ensuite (par exemple, $w_n=4^{n+1}+3+n(n-1)(n-2)(n-3)$ coïncide avec la formule pour $n=0,1,2,3$, mais $w_4=1051\ne u_4=1027$). Seule l'hérédité, démontrée pour tout entier $k$, permet de conclure pour tous les entiers. (1)

Erreur fréquente — Écrire la formule au rang $k+1$ et « vérifier qu'elle marche » : il faut partir de $u_{k+1}=4u_k-9$ et remplacer $u_k$ par l'hypothèse, pas l'inverse.

1. a)$u_1=\sqrt{0+12}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ et $u_2=\sqrt{2\sqrt{3}+12}$. (1)
2. b)Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $0⩽u_n⩽4$ ».
   Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=0$ et on a bien $0⩽0⩽4$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire $0⩽u_k⩽4$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $0⩽u_{k+1}⩽4$. En ajoutant $12$ : $12⩽u_k+12⩽16$. Ces nombres sont positifs et la fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty [$, donc $\sqrt{12}⩽\sqrt{u_k+12}⩽\sqrt{16}$, soit $\sqrt{12}⩽u_{k+1}⩽4$. Comme $0⩽\sqrt{12}$, on a bien $0⩽u_{k+1}⩽4$. Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0⩽u_n⩽4$. (1)
3. c)Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $u_n⩽u_{n+1}$ ».
   Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=0$ et $u_1=\sqrt{12}$, donc $u_0⩽u_1$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire $u_k⩽u_{k+1}$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}⩽u_{k+2}$. En ajoutant $12$ : $u_k+12⩽u_{k+1}+12$, et ces nombres sont positifs d'après b). La fonction racine carrée étant croissante sur $[0;+\infty [$ : $\sqrt{u_k+12}⩽\sqrt{u_{k+1}+12}$, soit $u_{k+1}⩽u_{k+2}$. Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩽u_{n+1}$. La suite $(u_n)$ est croissante. (1)
4. d)Non. $u_2>3,9⟺2\sqrt{3}+12>15,21$ (les deux membres étant positifs) $⟺2\sqrt{3}>3,21$. Or $(2\sqrt{3}{)}^2=12>3,{21}^2=10,3041$, donc $2\sqrt{3}>3,21$ et $u_2>3,9$. Le nombre $3,9$ n'est donc pas un majorant (et, la suite étant croissante, tous les termes suivants dépassent aussi $3,9$). (1)

Attention — Un majorant obtenu par récurrence (ici $4$, point fixe de $x\mapsto \sqrt{x+12}$) n'est pas n'importe quel nombre : une valeur plus petite peut être dépassée dès les premiers termes.

1. a)$n=0$ : $1⩾0$ ; $n=1$ : $3⩾1$ ; $n=2$ : $9⩾8$ ; $n=3$ : $27⩾27$ (égalité). Dans les quatre cas, $3^n⩾n^3$. (1)
2. b)Soit $n⩾3$. On développe : $3n^3-(n+1{)}^3$
   $=3n^3-n^3-3n^2-3n-1$
   $=2n^3-3n^2-3n-1$.
   Comme $2n⩾6$ et $n^2⩾0$ : $2n^3=2n\times n^2⩾6n^2$, donc $2n^3-3n^2⩾3n^2$.
   Ainsi $2n^3-3n^2-3n-1⩾3n^2-3n-1$
   $=3n(n-1)-1$. Comme $n⩾3$ et $n-1⩾2$ (nombres positifs), $3n(n-1)⩾3\times 3\times 2=18$, donc $3n(n-1)-1⩾17>0$.
   Finalement $3n^3⩾(n+1{)}^3$. (1)
3. c)Pour tout entier $n⩾3$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $3^n⩾n^3$ ».
   Initialisation. Pour $n=3$ : $3^3=27$ et $3^3=27$. On a bien $27⩾27$. Donc $𝒫(3)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k⩾3$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire $3^k⩾k^3$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $3^{k+1}⩾(k+1{)}^3$. On multiplie l'hypothèse par $3>0$ (l'ordre est conservé), puis on utilise b), valable car $k⩾3$ :$$\begin{array}{ccc}\hfill 3^{k+1}=3\times 3^k& \hfill ⩾\hfill & 3k^3\hfill \\ \hfill & \hfill ⩾\hfill & (k+1{)}^3.\hfill \end{array}$$ Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $3$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier $n⩾3$, $3^n⩾n^3$. L'inégalité de b) est fausse pour $n=2$ ($3\times 2^3=24<27=3^3$) : c'est pourquoi on initialise au rang $3$ ; les rangs $0$, $1$, $2$ ont été vérifiés à la main en a). Avec a) et c), $3^n⩾n^3$ pour tout entier naturel $n$. (1)
4. d)Soit $a$ un réel strictement positif, fixé. Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒬(n)$ la propriété : « $(1+a{)}^n⩾1+na$ ».
   Initialisation. Pour $n=0$ : $(1+a{)}^0=1$ et $1+0\times a=1$. On a bien $1⩾1$. Donc $𝒬(0)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒬(k)$ est vraie, c'est-à-dire $(1+a{)}^k⩾1+ka$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒬(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $(1+a{)}^{k+1}⩾1+(k+1)a$. Comme $1+a>0$, on multiplie les deux membres de l'hypothèse par $1+a$ sans changer le sens :$$\begin{array}{ccc}\hfill (1+a{)}^{k+1}& \hfill ⩾\hfill & (1+ka)(1+a)\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 1+(k+1)a+k{a}^2\hfill \\ \hfill & \hfill ⩾\hfill & 1+(k+1)a,\hfill \end{array}$$car $k{a}^2⩾0$. Donc $𝒬(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $(1+a{)}^n⩾1+na$.
   Application : avec $a=0,5>0$, pour tout entier naturel $n$, $1,5^n=(1+0,5{)}^n⩾1+0,5n$. (1)

Repère — Le rang de départ d'une récurrence est dicté par l'hérédité ; dans Bernoulli, les deux justifications attendues sont $1+a>0$ (multiplier sans changer le sens) et $k{a}^2⩾0$.

1. a)Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « ${10}^n-1$ est divisible par $9$ ».
   Initialisation. Pour $n=0$ : ${10}^0-1=0=9\times 0$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $m$ tel que ${10}^k-1=9m$, soit ${10}^k=9m+1$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $m\prime$ tel que ${10}^{k+1}-1=9m\prime$. On écrit ${10}^{k+1}=10\times {10}^k$ et on remplace :$$\begin{array}{ccc}\hfill {10}^{k+1}-1=10\times \underset{=9m+1}{\underbrace{{10}^k}}-1& \hfill =\hfill & 90m+9\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 9(10m+1).\hfill \end{array}$$avec $m\prime =10m+1$ entier. Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
   Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$, ${10}^n-1$ est divisible par $9$. (1)
2. b)Soit $n\in \mathbb{N}$. D'après a), il existe un entier $m$ tel que ${10}^n-1=9m$. Alors ${10}^n+8$
   $=({10}^n-1)+9$
   $=9m+9$
   $=9(m+1)$, avec $m+1$ entier : ${10}^n+8$ est divisible par $9$. (1)
3. c)Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $m$ tel que $4^k+2=6m$, soit $4^k=6m-2$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie :$$\begin{array}{ccc}\hfill 4^{k+1}+2=4\times \underset{=6m-2}{\underbrace{4^k}}+2& \hfill =\hfill & 24m-8+2\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 6(4m-1).\hfill \end{array}$$avec $4m-1$ entier. Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire. (1)
4. d)Non. $𝒫(0)$ est fausse, mais $𝒫(1)$ est vraie : $4^1+2=6=6\times 1$. La propriété est vraie au rang $1$ et elle est héréditaire (question c), donc, par récurrence, pour tout entier $n⩾1$, $4^n+2$ est divisible par $6$. Elle n'est fausse qu'au rang $0$. (1)

Astuce — Pour une divisibilité, isoler la puissance dans l'hypothèse ($4^k=6m-2$), puis remplacer dans $4^{k+1}=4\times 4^k$ : il ne reste qu'à factoriser.