Raisonnement par récurrence

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $S_n=1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +n(n+1)$.

1. Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$, puis vérifier que ces valeurs coïncident avec ${\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$.
2. Écrire l'hypothèse de récurrence au rang $n$ et l'égalité à obtenir au rang $n+1$.
3. Démontrer l'hérédité, puis conclure.
4. En déduire la valeur de $S_{30}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=4u_n-9$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=4^{n+1}+3$.
3. En déduire l'expression de $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, puis le sens de variation de $(u_n)$.
4. Un élève affirme : « J'ai vérifié la formule pour $n=0,1,2,3$, elle est donc vraie pour tout $n$. » Expliquer pourquoi ce raisonnement n'est pas une démonstration.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}$.

1. Calculer $u_1$ (valeur exacte) et $u_2$ (arrondi au centième).
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 4$.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\le u_{n+1}$.
4. La suite $(u_n)$ est-elle majorée par $3,9$ ? Justifier.

On souhaite comparer $3^n$ et $n^3$ pour les entiers naturels $n$.

1. Comparer $3^n$ et $n^3$ pour $n=0$, $1$, $2$ et $3$.
2. Montrer que pour tout entier $n\ge 3$, $3n^3\ge (n+1{)}^3$.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\ge 3$, $3^n\ge n^3$.
4. L'hérédité démontrée en c) est-elle valable pour $n=2$ ? Expliquer pourquoi on a choisi d'initialiser au rang $3$ et non au rang $0$, alors que l'inégalité est vraie pour $n=0,1,2$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, ${10}^n-1$ est divisible par $9$.
2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, ${10}^n+8$ est divisible par $9$.
3. Soit $P(n)$ la propriété : « $4^n+2$ est divisible par $6$ ». Montrer que $P(n)$ est héréditaire.
4. Un élève affirme : « $4^0+2=3$ n'est pas divisible par $6$, donc $P(n)$ est fausse pour tout $n$. » A-t-il raison ? Que peut-on démontrer exactement ?