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Raisonnement par récurrence

Démontrer une propriété pour tout entier naturel : initialisation, hérédité, applications aux suites (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Raisonnement par récurrence » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel : le principe de récurrence, Rédiger une démonstration par récurrence, Récurrence et suites : formule explicite, sens de variation, Majorer, minorer, encadrer une suite. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Abonnés d'une plateforme de streaming

Moyen

Une plateforme compte $2 000$ abonnés au 1^er janvier 2026. Chaque mois, $20 %$ des abonnés résilient et $300$ nouveaux abonnés s'inscrivent. On note $u_{n}$ le nombre d'abonnés $n$ mois après le 1^er janvier 2026, de sorte que $u_{0} = 2 000$ .

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 300$ , puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} \geq 1 500$ .
3. Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = - 0, 2 (u_{n} - 1 500)$ . En déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .
4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 1 500 + 500 \times 0, 8^{n}$ .

5. On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie l'appel premier_mois(1600) ? Interpréter.

def premier_mois(seuil):
    n = 0
    u = 2000
    while u >= seuil:
        u = 0.8 * u + 300
        n = n + 1
    return n

6. Que peut-on dire du nombre d'abonnés à long terme ? Justifier à l'aide de la question 4.

1. Chaque mois, il reste $80 %$ des abonnés, soit $0, 8 u_{n}$ , auxquels s'ajoutent $300$ nouveaux : $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 300$ . Ainsi $u_{1} = 0, 8 \times 2 000 + 300 = 1 900$ et $u_{2} = 0, 8 \times 1 900 + 300 = 1 820$ .

2. Soit $P (n)$ : « $u_{n} \geq 1 500$ ».
Initialisation. $u_{0} = 2 000 \geq 1 500$ .
Hérédité. Soit $n$ tel que $u_{n} \geq 1 500$ . Comme $0, 8 > 0$ , $0, 8 u_{n} \geq 1 200$ , puis $0, 8 u_{n} + 300 \geq 1 500$ , soit $u_{n + 1} \geq 1 500$ .
Conclusion. Pour tout $n$ , $u_{n} \geq 1 500$ .

3. $u_{n + 1} - u_{n} = 0, 8 u_{n} + 300 - u_{n} = - 0, 2 u_{n} + 300 = - 0, 2 (u_{n} - 1 500)$ . D'après 2., $u_{n} - 1 500 \geq 0$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} \leq 0$ : la suite $(u_{n})$ est décroissante. Le nombre d'abonnés diminue chaque mois.

4. Soit $Q (n)$ : « $u_{n} = 1 500 + 500 \times 0, 8^{n}$ ».
Initialisation. $1 500 + 500 \times 0, 8^{0} = 2 000 = u_{0}$ .
Hérédité. Soit $n$ tel que $u_{n} = 1 500 + 500 \times 0, 8^{n}$ . Alors $u_{n + 1} = 0, 8 (1 500 + 500 \times 0, 8^{n}) + 300 = 1 200 + 500 \times 0, 8^{n + 1} + 300 = 1 500 + 500 \times 0, 8^{n + 1}$ .
Conclusion. Pour tout $n$ , $u_{n} = 1 500 + 500 \times 0, 8^{n}$ .

5. La fonction calcule les termes successifs tant que $u_{n} \geq$ seuil et renvoie le premier $n$ tel que $u_{n} <$ seuil. Avec la formule : $u_{7} = 1 500 + 500 \times 0, 8^{7} \approx 1 500 + 104, 9 = 1 604, 9 \geq 1 600$ et $u_{8} = 1 500 + 500 \times 0, 8^{8} \approx 1 500 + 83, 9 = 1 583, 9 < 1 600$ . L'appel renvoie $8$ : c'est au bout de $8$ mois, soit en septembre 2026, que le nombre d'abonnés passe pour la première fois sous $1 600$ .

6. $0, 8^{n}$ est un nombre positif qui devient aussi petit que l'on veut quand $n$ grandit ( $0, 8^{20} \approx 0, 0115$ , $0, 8^{50} \approx 0, 00001$ ). Donc $u_{n} = 1 500 + 500 \times 0, 8^{n}$ se rapproche de $1 500$ tout en restant supérieur : le nombre d'abonnés se stabilise autour de $1 500$ , valeur d'équilibre pour laquelle les $300$ arrivées compensent exactement les $20 %$ de départs.

Problème 2 — Les tours de Hanoï

Moyen

Le jeu des tours de Hanoï comporte trois piquets et $n$ disques de tailles différentes, empilés du plus grand au plus petit sur le premier piquet. Il faut déplacer toute la pile sur le troisième piquet en déplaçant un seul disque à la fois, sans jamais poser un disque sur un disque plus petit. On note $h_{n}$ le nombre minimal de déplacements pour $n$ disques. On admet que $h_{1} = 1$ .

1. Décrire une solution pour $n = 2$ disques et donner $h_{2}$ .
2. Expliquer pourquoi, pour tout entier $n \geq 1$ , $h_{n + 1} = 2 h_{n} + 1$ .
3. Calculer $h_{3}$ , $h_{4}$ et $h_{5}$ , puis conjecturer une expression de $h_{n}$ en fonction de $n$ .
4. Démontrer cette conjecture par récurrence.
5. Un joueur affirme avoir résolu le jeu à $10$ disques en $1 000$ déplacements. Est-ce possible ?
6. Selon la légende, des moines déplacent $64$ disques d'or au rythme d'un déplacement par seconde. Combien d'années durerait le déplacement complet ? (On prendra $2^{64} \approx 1, 845 \times 10^{19}$ et une année $\approx 3, 156 \times 10^{7}$ secondes.)

1. On déplace le petit disque sur le piquet 2, le grand disque sur le piquet 3, puis le petit disque sur le piquet 3 : trois déplacements, et on ne peut pas faire mieux car le grand disque doit bouger et le petit doit être dégagé avant et remis après. $h_{2} = 3$ .

2. Pour déplacer $n + 1$ disques, il faut à un moment déplacer le plus grand : ce n'est possible que si les $n$ autres disques sont tous empilés sur le piquet intermédiaire, ce qui coûte au minimum $h_{n}$ déplacements. On déplace ensuite le grand disque ( $1$ déplacement), puis on ramène les $n$ disques par-dessus ( $h_{n}$ déplacements au minimum). D'où $h_{n + 1} = 2 h_{n} + 1$ .

3. $h_{3} = 2 \times 3 + 1 = 7$ ; $h_{4} = 2 \times 7 + 1 = 15$ ; $h_{5} = 2 \times 15 + 1 = 31$ . Les valeurs $1, 3, 7, 15, 31$ sont les puissances de $2$ diminuées de $1$ : on conjecture $h_{n} = 2^{n} - 1$ .

4. Soit $P (n)$ : « $h_{n} = 2^{n} - 1$ », pour $n \geq 1$ .
Initialisation. $2^{1} - 1 = 1 = h_{1}$ .
Hérédité. Soit $n \geq 1$ tel que $h_{n} = 2^{n} - 1$ . Alors $h_{n + 1} = 2 h_{n} + 1 = 2 (2^{n} - 1) + 1 = 2^{n + 1} - 2 + 1 = 2^{n + 1} - 1$ .
Conclusion. Par récurrence, $h_{n} = 2^{n} - 1$ pour tout entier $n \geq 1$ .

5. $h_{10} = 2^{10} - 1 = 1 023$ . Ce nombre est le minimum de déplacements : aucune solution ne fait mieux. $1 000 < 1 023$ : le joueur se trompe (ou a triché).

6. $h_{64} = 2^{64} - 1 \approx 1, 845 \times 10^{19}$ secondes. En années : $\frac{1, 845 \times 10^{19}}{3, 156 \times 10^{7}} \approx 5, 85 \times 10^{11}$ , soit environ 585 milliards d'années, plus de quarante fois l'âge de l'Univers.

Problème 3 — Suite homographique et suite auxiliaire

Difficile

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = \frac{4 u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$ .

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} > 1$ . Pourquoi ce résultat garantit-il que la suite est bien définie ?
3. a) Montrer que pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{(u_{n} - 1)^{2}}{u_{n} + 2}$ .
3. b) En déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .
4. On pose, pour tout $n$ , $v_{n} = \frac{1}{u_{n} - 1}$ . Montrer que $(v_{n})$ est arithmétique et préciser sa raison.
5. Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ . Vérifier la formule pour $n = 1$ .
6. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 1, 01$ .

1. $u_{1} = \frac{4 \times 3 - 1}{3 + 2} = \frac{11}{5}$ ; $u_{2} = \frac{4 \times \frac{11}{5} - 1}{\frac{11}{5} + 2} = \frac{\frac{39}{5}}{\frac{21}{5}} = \frac{39}{21} = \frac{13}{7}$ .

2. Soit $P (n)$ : « $u_{n} > 1$ ».
Initialisation. $u_{0} = 3 > 1$ .
Hérédité. Soit $n$ tel que $u_{n} > 1$ . Alors $u_{n} + 2 > 3 > 0$ et $u_{n + 1} - 1 = \frac{4 u_{n} - 1 - (u_{n} + 2)}{u_{n} + 2} = \frac{3 (u_{n} - 1)}{u_{n} + 2}$ . Le numérateur est strictement positif (car $u_{n} > 1$ ) et le dénominateur aussi, donc $u_{n + 1} - 1 > 0$ , soit $u_{n + 1} > 1$ .
Conclusion. Pour tout $n$ , $u_{n} > 1$ . En particulier $u_{n} + 2 \neq 0$ : le dénominateur ne s'annule jamais et chaque terme $u_{n + 1}$ est bien défini.

3. a) $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{4 u_{n} - 1 - u_{n} (u_{n} + 2)}{u_{n} + 2} = \frac{4 u_{n} - 1 - u_{n}^{2} - 2 u_{n}}{u_{n} + 2} = \frac{- u_{n}^{2} + 2 u_{n} - 1}{u_{n} + 2} = - \frac{(u_{n} - 1)^{2}}{u_{n} + 2}$ .

3. b) Un carré est positif et $u_{n} + 2 > 0$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} \leq 0$ , et même $< 0$ puisque $u_{n} \neq 1$ : la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

4. $v_{n}$ est bien défini car $u_{n} - 1 \neq 0$ . $v_{n + 1} = \frac{1}{u_{n + 1} - 1} = \frac{u_{n} + 2}{3 (u_{n} - 1)} = \frac{(u_{n} - 1) + 3}{3 (u_{n} - 1)} = \frac{1}{3} + \frac{1}{u_{n} - 1} = v_{n} + \frac{1}{3}$ . $(v_{n})$ est arithmétique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_{0} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{1}{2}$ .

5. $v_{n} = v_{0} + n \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{n}{3} = \frac{2 n + 3}{6}$ . Alors $u_{n} - 1 = \frac{1}{v_{n}} = \frac{6}{2 n + 3}$ , d'où $u_{n} = 1 + \frac{6}{2 n + 3} = \frac{2 n + 9}{2 n + 3}$ . Vérification : $n = 1$ donne $\frac{11}{5} = u_{1}$ .

6. $u_{n} < 1, 01 ⟺ \frac{6}{2 n + 3} < 0, 01 ⟺ 2 n + 3 > 600 ⟺ n > 298, 5$ . Le plus petit entier convenable est $n = 299$ : $u_{299} = 1 + \frac{6}{601} \approx 1, 00998$ , alors que $u_{298} = 1 + \frac{6}{599} \approx 1, 01002$ .

Problème 4 — Découper le plan avec des droites

Difficile

On trace dans le plan $n$ droites « en position générale » : deux droites ne sont jamais parallèles et trois droites ne sont jamais concourantes. On note $r_{n}$ le nombre de régions ainsi délimitées dans le plan ; on convient que $r_{0} = 1$ (aucune droite : le plan entier).

1. Déterminer $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$ à l'aide de figures.
2. On ajoute une $(n + 1)$ -ième droite à $n$ droites en position générale. Combien de points d'intersection possède-t-elle avec les autres ? En combien de morceaux est-elle découpée ? En déduire que $r_{n + 1} = r_{n} + n + 1$ .
3. Calculer $r_{4}$ et $r_{5}$ , puis vérifier que les valeurs obtenues sont compatibles avec la formule $r_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ .
4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $r_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ .
5. Combien de régions délimitent $20$ droites en position générale ?
6. Déterminer le nombre minimal de droites nécessaire pour dépasser $1 000$ régions.
7. Pourquoi l'hypothèse « position générale » est-elle indispensable ? Donner un exemple avec $3$ droites qui ne la respectent pas et compter les régions.

1. Une droite partage le plan en deux : $r_{1} = 2$ . Deux droites sécantes délimitent quatre régions : $r_{2} = 4$ . Trois droites formant un triangle délimitent l'intérieur du triangle, trois régions le long des côtés et trois régions aux sommets : $r_{3} = 7$ .

2. La nouvelle droite n'est parallèle à aucune des $n$ autres, donc elle coupe chacune, et les $n$ points d'intersection sont distincts (pas trois droites concourantes) : $n$ points d'intersection. Ces $n$ points découpent la droite en $n + 1$ morceaux (deux demi-droites et $n - 1$ segments). Chaque morceau traverse une région existante et la coupe en deux, ce qui crée exactement une région supplémentaire par morceau. D'où $r_{n + 1} = r_{n} + n + 1$ .

3. $r_{4} = r_{3} + 4 = 11$ ; $r_{5} = r_{4} + 5 = 16$ . Formule : $\frac{16 + 4 + 2}{2} = 11$ et $\frac{25 + 5 + 2}{2} = 16$ . Les valeurs sont compatibles (et aussi $r_{0} = \frac{2}{2} = 1$ , $r_{1} = \frac{4}{2} = 2$ , $r_{2} = \frac{8}{2} = 4$ , $r_{3} = \frac{14}{2} = 7$ ).

4. Soit $P (n)$ : « $r_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ ».
Initialisation. $\frac{0 + 0 + 2}{2} = 1 = r_{0}$ .
Hérédité. Soit $n$ tel que $r_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ . Alors $r_{n + 1} = r_{n} + n + 1 = \frac{n^{2} + n + 2 + 2 n + 2}{2} = \frac{n^{2} + 3 n + 4}{2}$ . Or $\frac{(n + 1)^{2} + (n + 1) + 2}{2} = \frac{n^{2} + 2 n + 1 + n + 1 + 2}{2} = \frac{n^{2} + 3 n + 4}{2}$ : c'est bien $P (n + 1)$ .
Conclusion. Pour tout $n$ , $r_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ .

5. $r_{20} = \frac{400 + 20 + 2}{2} =$ $211$ régions.

6. On cherche le plus petit $n$ tel que $\frac{n^{2} + n + 2}{2} > 1 000$ , soit $n^{2} + n + 2 > 2 000$ . Pour $n = 44$ : $1 936 + 44 + 2 = 1 982 < 2 000$ , donc $r_{44} = 991$ . Pour $n = 45$ : $2 025 + 45 + 2 = 2 072 > 2 000$ , donc $r_{45} = 1 036$ . Comme $r_{n}$ est croissante, il faut au minimum $45$ droites.

7. Le raisonnement de la question 2 utilise que la nouvelle droite coupe toutes les autres en des points distincts : c'est ce qui donne $n + 1$ morceaux. Si des droites sont parallèles ou concourantes, il y a moins de points d'intersection, donc moins de morceaux et moins de régions. Exemple : trois droites parallèles délimitent seulement $4$ régions, et trois droites concourantes en un même point en délimitent $6$ , au lieu de $r_{3} = 7$ .

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