Raisonnement par récurrence

Rédaction attendue. Il reste $75\%$ des truites, puis on en ajoute $0,6$ millier : $u_1=0,75\times 1+0,6=1,35$ et $u_2=0,75\times 1,35+0,6=1,6125$. De même, d'une année à la suivante, il reste $75\%$ des $u_n$ milliers de truites, soit $0,75u_n$, auxquels s'ajoutent $0,6$ millier : $u_{n+1}=0,75u_n+0,6$.

Rédaction attendue.
Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $u_n⩽u_{n+1}⩽2,4$ ».
Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=1$ et $u_1=1,35$. On a bien $1⩽1,35⩽2,4$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire :
$u_k⩽u_{k+1}⩽2,4$ (hypothèse de récurrence)
Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire :
$u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽2,4$
On multiplie chaque membre par $0,75>0$ (l'ordre est conservé), puis on ajoute $0,6$ :
$u_k⩽u_{k+1}⩽2,4$
$⟹0,75u_k⩽0,75u_{k+1}⩽1,8$
$⟹0,75u_k+0,6⩽0,75u_{k+1}+0,6⩽2,4$
$⟹u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽2,4.$
Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
$u_n⩽u_{n+1}⩽2,4.$
D'après la récurrence, pour tout $n$, $u_n⩽u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Elle est majorée par $2,4$. Étant croissante et majorée, elle converge.
Le point clé — Dans l'hérédité, on part de l'encadrement complet $u_k⩽u_{k+1}⩽2,4$ et on applique à chaque membre les opérations qui définissent la suite. Une seule récurrence donne à la fois la croissance et le majorant.

Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1}=2,4-u_{n+1}$
$=2,4-0,75u_n-0,6$
$=1,8-0,75u_n$
$=0,75(2,4-u_n)$
$=0,75v_n.$
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=2,4-1=1,4$.
Pour tout $n$, $v_n=1,4\times 0,{75}^n$, donc $u_n$
$=2,4-v_n$
$=2,4-1,4\times 0,{75}^n$.

Comme $0<0,75<1$, ${lim}_{n\to +\infty }0,{75}^n=0$, donc ${lim}_{n\to +\infty }{u}_n=2,4$. À long terme, la population se stabilise autour de $2400$ truites (sans jamais dépasser ce nombre, d'après la question 2).

def seuil(s):
    n = 0
    u = 1
    while ........ :
        u = 0.75 * u + 0.6
        n = n + 1
    return n

La boucle doit tourner tant que $u_n⩽s$ : while u <= s:
Rédaction attendue. D'après la question 3 : $u_n>2,3$
$⟺1,4\times 0,{75}^n<0,1$
$⟺0,{75}^n<{\displaystyle \frac{1}{14}}$. À la calculatrice, $0,{75}^9\approx 0,0751>{\displaystyle \frac{1}{14}}\approx 0,0714$ et $0,{75}^{10}\approx 0,0563<{\displaystyle \frac{1}{14}}$ : $u_9\approx 2,295⩽2,3$ et $u_{10}\approx 2,321>2,3$. La fonction renvoie $10$. Comme la suite est croissante, l'étang compte plus de $2300$ truites à partir de la ${10}^{\text{e}}$ année, c'est-à-dire à partir du 1^er mars 2036, et ensuite toujours.

Rédaction attendue. $f=\sqrt{v}$ avec $v(x)=2x+3>0$ sur $[0;+\infty [$, donc $f$ est dérivable et $f\prime (x)$
$={\displaystyle \frac{v\prime (x)}{2\sqrt{v(x)}}}$
$={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2x+3}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x+3}}}>0$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$, et $f(3)=\sqrt{9}=3$.
$u_1=f(0)=\sqrt{3}$.

$u_1=\sqrt{3}\approx 1,73$ et $u_2=\sqrt{2\sqrt{3}+3}\approx 2,54$.

Rédaction attendue.
Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $0⩽u_n⩽u_{n+1}⩽3$ ».
Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=0$ et $u_1=\sqrt{3}$. Comme $3⩽9$ et que la racine carrée est croissante, $\sqrt{3}⩽3$ : on a bien $0⩽0⩽\sqrt{3}⩽3$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire :
$0⩽u_k⩽u_{k+1}⩽3$ (hypothèse de récurrence)
Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire :
$0⩽u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽3$
Les nombres $0$, $u_k$, $u_{k+1}$ et $3$ sont dans $[0;+\infty [$, où $f$ est croissante : elle conserve l'ordre, donc
$0⩽u_k⩽u_{k+1}⩽3$
$⟹f(0)⩽f(u_k)⩽f(u_{k+1})⩽f(3)$
$⟹\sqrt{3}⩽u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽3.$
Comme $0⩽\sqrt{3}$, on a bien $0⩽u_{k+1}⩽u_{k+2}⩽3$.
Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
$0⩽u_n⩽u_{n+1}⩽3.$
D'après cette récurrence, la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : elle converge. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell =\sqrt{2\ell +3}$, donc $\ell ⩾0$ et, en élevant au carré, ${\ell }^2=2\ell +3$, soit ${\ell }^2-2\ell -3=0$, c'est-à-dire $(\ell -3)(\ell +1)=0$. Comme $\ell ⩾0$, $\ell =3$.

Rédaction attendue. Pour tout $n$, on multiplie par la quantité conjuguée ($3+u_{n+1}⩾3>0$) :
$3-u_{n+1}=3-\sqrt{2u_n+3}$
$={\displaystyle \frac{(3-\sqrt{2u_n+3})(3+\sqrt{2u_n+3})}{3+\sqrt{2u_n+3}}}$
$={\displaystyle \frac{9-(2u_n+3)}{3+u_{n+1}}}$
$={\displaystyle \frac{2(3-u_n)}{3+u_{n+1}}}.$
D'après la question 3, $3-u_n⩾0$ et $3+u_{n+1}⩾3>0$. La fonction inverse étant décroissante sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{1}{3+u_{n+1}}}⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; en multipliant par $2(3-u_n)⩾0$ : $3-u_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}(3-u_n)$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $0⩽3-u_n⩽3\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$ ».
Initialisation. Pour $n=0$ : $3-u_0=3$ et $3\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^0=3$. On a bien $0⩽3⩽3$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire :
$0⩽3-u_k⩽3\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k$ (hypothèse de récurrence)
Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire :
$0⩽3-u_{k+1}⩽3\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{k+1}$
D'après la question 3, $u_{k+1}⩽3$, donc $0⩽3-u_{k+1}$. D'après l’inégalité précédente, puis en multipliant l'hypothèse par ${\displaystyle \frac{2}{3}}>0$ :
$3-u_{k+1}$
$⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}(3-u_k)$
$⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 3\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k$
$=3\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{k+1}.$
Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
$0⩽3-u_n⩽3\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n.$
Pour $n=2$ : $3\times {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$.
Le point clé — Une deuxième récurrence, sur l'écart $3-u_n$, transforme une majoration « d'un rang au suivant » ($3-u_{n+1}⩽\frac{2}{3}(3-u_n)$) en une majoration explicite en fonction de $n$.

Rédaction attendue. La suite $(3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^n)$ est décroissante (raison $\frac{2}{3}\in ]0;1[$). À la calculatrice : $3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^{14}\approx 0,0103>0,01$ et $3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^{15}\approx 0,0069⩽0,01$. Donc pour tout $n⩾15$, $3-u_n⩽3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^n⩽0,01$ : $N=15$ convient.

from math import sqrt

def rang(e):
    n = 0
    u = 0
    while 3 - u > e:
        u = sqrt(2 * u + 3)
        n = n + 1
    return n

rang(0.01) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $3-u_n⩽0,01$ : ici $u_5\approx 2,982$ et $u_6\approx 2,994$. Comme la suite est croissante, $3-u_n⩽0,01$ pour tout $n⩾6$. Ce n'est pas contradictoire : la majoration de la question 4 est vraie mais pas optimale, elle donne un rang qui convient ($15$), pas le plus petit ($6$).

$S_1=1$ ; $S_2=1+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$ ; $S_3={\displaystyle \frac{5}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{45}{36}}+{\displaystyle \frac{4}{36}}={\displaystyle \frac{49}{36}}$.

Rédaction attendue. Pour tout $n⩾1$, $S_{n+1}-S_n={\displaystyle \frac{1}{(n+1{)}^2}}>0$ : la suite $(S_n)$ est strictement croissante.
Pour tout $k⩾1$ : ${\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}={\displaystyle \frac{(k+1)-k}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$. Or $0<k(k+1)⩽(k+1)(k+1)$
$=(k+1{)}^2$, et la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$, donc ${\displaystyle \frac{1}{(k+1{)}^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$.
Pour $k=2$ : ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$, et ${\displaystyle \frac{1}{9}}⩽{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Rédaction attendue.
Pour tout entier $n⩾1$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $S_n⩽2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ ».
Initialisation. Pour $n=1$ : $S_1=1$ et $2-{\displaystyle \frac{1}{1}}=1$. On a bien $1⩽1$. Donc $𝒫(1)$ est vraie.
Hérédité. Soit $k⩾1$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire :
$S_k⩽2-{\displaystyle \frac{1}{k}}$ (hypothèse de récurrence)
Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire :
$S_{k+1}⩽2-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$
On part de $S_{k+1}=S_k+{\displaystyle \frac{1}{(k+1{)}^2}}$, on utilise l'hypothèse (on ajoute un même nombre aux deux membres), puis l’inégalité de la question 2 :
$S_{k+1}=\underset{⩽2-\frac{1}{k}}{\underbrace{S_k}}+{\displaystyle \frac{1}{(k+1{)}^2}}$
$⩽2-{\displaystyle \frac{1}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{(k+1{)}^2}}$
$⩽2-{\displaystyle \frac{1}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$
$=2-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}.$
Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
Conclusion. La propriété est vraie au rang $1$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier $n⩾1$ :
$S_n⩽2-{\displaystyle \frac{1}{n}}.$
Pour $n=4$ : $2-{\displaystyle \frac{1}{4}}=1,75$.

Rédaction attendue. Pour tout $n⩾1$, $S_n⩽2-{\displaystyle \frac{1}{n}}<2$ : la suite est majorée par $2$, et tous ses termes sont strictement inférieurs à $2$. Étant croissante (question 2) et majorée, elle converge.
De $S_k⩽2$, on déduit seulement $S_{k+1}$
$=S_k+{\displaystyle \frac{1}{(k+1{)}^2}}⩽2+{\displaystyle \frac{1}{(k+1{)}^2}}$, qui ne permet pas de conclure $S_{k+1}⩽2$ : l'hypothèse « $S_k⩽2$ » ne laisse aucune marge pour ajouter le terme suivant. La propriété « $S_n⩽2-\frac{1}{n}$ », plus forte, garde une marge de $\frac{1}{n}$ qui absorbe le terme ajouté : c'est elle qui est héréditaire.
Pour $k=2$ : $2+{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{19}{9}}$, qui dépasse $2$ : l’hérédité échoue.
Le point clé — Pour démontrer une majoration par récurrence, il faut parfois démontrer plus fort que ce qu'on veut : « $S_n⩽2$ » n'est pas héréditaire, « $S_n⩽2-\frac{1}{n}$ » l'est.

def somme(n):
    s = 0
    for i in range(1, n + 1):
        s = s + 1 / i**2
    return s

La boucle ajoute ${\displaystyle \frac{1}{i^2}}$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ : somme(n) renvoie $S_n$ (valeur approchée). On lit $S_{1000}\approx 1,6439⩽2-{\displaystyle \frac{1}{1000}}=1,999$ : c'est compatible avec la question 3. (Pour la culture : Euler a montré au XVIII^e siècle que la limite vaut ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}\approx 1,6449$.)

Rédaction attendue. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $u(x)=4x+2$ et $v(x)=x+3$, qui ne s'annule pas sur $[0;+\infty [$. Donc
$f\prime (x)$
$={\displaystyle \frac{4(x+3)-(4x+2)\times 1}{(x+3{)}^2}}$
$={\displaystyle \frac{10}{(x+3{)}^2}}>0.$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$. Pour $x⩾0$ (donc $x+3>0$) : $f(x)=x$
$⟺4x+2=x(x+3)$
$⟺x^2-x-2=0$
$⟺(x-2)(x+1)=0$. La seule solution positive est $x=2$.

$u_1=f(5)={\displaystyle \frac{22}{8}}={\displaystyle \frac{11}{4}}=2,75$.

Rédaction attendue.
Pour tout entier naturel $n$, on note $𝒫(n)$ la propriété : « $2⩽u_{n+1}⩽u_n⩽5$ ».
Initialisation. Pour $n=0$ : $u_0=5$ et $u_1={\displaystyle \frac{11}{4}}$. On a bien $2⩽{\displaystyle \frac{11}{4}}⩽5⩽5$. Donc $𝒫(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $k\in \mathbb{N}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫(k)$ est vraie, c'est-à-dire :
$2⩽u_{k+1}⩽u_k⩽5$ (hypothèse de récurrence)
Montrons que $𝒫(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire :
$2⩽u_{k+2}⩽u_{k+1}⩽5$
Les nombres $2$, $u_{k+1}$, $u_k$ et $5$ sont dans $[2;5]\subset [0;+\infty [$, où $f$ est croissante : elle conserve l'ordre, donc
$2⩽u_{k+1}⩽u_k⩽5$
$⟹f(2)⩽f(u_{k+1})⩽f(u_k)⩽f(5)$
$⟹2⩽u_{k+2}⩽u_{k+1}⩽{\displaystyle \frac{11}{4}}.$
Comme ${\displaystyle \frac{11}{4}}⩽5$, on a bien $2⩽u_{k+2}⩽u_{k+1}⩽5$.
Donc $𝒫(k+1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.
Conclusion. La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$ :
$2⩽u_{n+1}⩽u_n⩽5.$
Ainsi, pour tout $n$, $u_n\in [2;5]$ : $u_n+3\ne 0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ est bien défini. De plus $u_{n+1}⩽u_n$ : la suite est décroissante. Décroissante et minorée par $2$, elle converge.
D'après cette récurrence, $2⩽u_n⩽5$ pour tout $n$, donc $\ell \in [2;5]\subset [0;+\infty [$. D'après la question 1, la seule solution positive de $f(x)=x$ est $2$ : $\ell =2$.

Rédaction attendue. Pour tout $n$, $u_n⩾2$, donc $u_n+1⩾3>0$ : $v_n$ est bien défini. $v_0={\displaystyle \frac{5-2}{5+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Rédaction attendue. Pour tout $n$, on calcule séparément :
$u_{n+1}-2$
$={\displaystyle \frac{4u_n+2-2(u_n+3)}{u_n+3}}={\displaystyle \frac{2(u_n-2)}{u_n+3}}$
$u_{n+1}+1$
$={\displaystyle \frac{4u_n+2+(u_n+3)}{u_n+3}}$
$={\displaystyle \frac{5(u_n+1)}{u_n+3}}$
donc
$v_{n+1}={\displaystyle \frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1}}$
$={\displaystyle \frac{2(u_n-2)}{u_n+3}}\times {\displaystyle \frac{u_n+3}{5(u_n+1)}}$
$={\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{u_n-2}{u_n+1}}$
$={\displaystyle \frac{2}{5}}{v}_n.$
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ et de premier terme ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $v_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n$. En particulier $0<v_n⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $v_n\ne 1$. De $v_n(u_n+1)=u_n-2$, on tire $u_n(1-v_n)=2+v_n$, d'où
$u_n={\displaystyle \frac{2+v_n}{1-v_n}}$
$={\displaystyle \frac{2+\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{5}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{5}\right)}^n}}$
$={\displaystyle \frac{4+0,4^n}{2-0,4^n}}.$
(Vérification : $n=0$ donne ${\displaystyle \frac{5}{1}}=5$, et $n=1$ donne ${\displaystyle \frac{4,4}{1,6}}=2,75$.) Comme $0<0,4<1$, $0,4^n$ tend vers $0$, donc $u_n$ tend vers ${\displaystyle \frac{4}{2}}=2$ : on retrouve $\ell =2$.
Contrôle : $u_2$
$={\displaystyle \frac{4+0,16}{2-0,16}}$
$={\displaystyle \frac{4,16}{1,84}}$
$={\displaystyle \frac{52}{23}}$, et aussi $u_2=f\left({\displaystyle \frac{11}{4}}\right)={\displaystyle \frac{13}{\frac{23}{4}}}={\displaystyle \frac{52}{23}}$.

def algo(p):
    n = 0
    u = 5
    while u - 2 > p:
        u = (4 * u + 2) / (u + 3)
        n = n + 1
    return n

La boucle s'arrête dès que $u_n-2⩽p$ : algo(p) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n-2⩽p$, c'est-à-dire à partir duquel $u_n$ est à moins de $p$ de sa limite ($(u_n)$ étant décroissante, l'écart reste ensuite inférieur à $p$). D'après la question 5 :
$u_n-2$
$={\displaystyle \frac{4+0,4^n-2(2-0,4^n)}{2-0,4^n}}$
$={\displaystyle \frac{3\times 0,4^n}{2-0,4^n}}.$
À la calculatrice, $u_7-2\approx 0,0025>0,001$ et $u_8-2\approx 0,00098⩽0,001$ : algo(0.001) renvoie $8$.
Le point clé — La récurrence de la question 3 sert deux fois : elle donne la monotonie et les bornes, et elle garantit que tous les quotients écrits ensuite ($f(u_n)$, $v_n$, $u_n$ en fonction de $v_n$) ont un dénominateur non nul.