Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : raisonnement par récurrence

Initialisation, hérédité, conclusion : la rédaction type, puis les cas du bac, sommes, encadrements et sens de variation, formules explicites, divisibilité, inégalités et Bernoulli.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Raisonnement par récurrence

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Suites)

Rédiger une récurrence

Pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ , on note $𝒫 (n)$ la propriété : « … ».

Initialisation. Pour $n = n_{0}$ : … (on calcule séparément les deux membres). Donc $𝒫 (n_{0})$ est vraie.

Hérédité. Soit $k ⩾ n_{0}$ un entier fixé. On suppose que $𝒫 (k)$ est vraie, c'est-à-dire : … (hypothèse de récurrence). Montrons que $𝒫 (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire : … (la propriété au rang $k + 1$ ).
Calcul : partir du membre de gauche (ou de la relation de récurrence), signaler où sert l'hypothèse.
Donc $𝒫 (k + 1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.

Conclusion. La propriété est vraie au rang $n_{0}$ et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ : … (on redonne la propriété).

Au brouillon d'abord — écrire

𝒫 (k + 1)

en remplaçant

n

par

k + 1

partout : c'est le point d'arrivée du calcul. On nomme

k

l'entier fixé, pour ne pas le confondre avec le « pour tout

n

» de l'énoncé.

Cas 1 · Principe, rédaction type et formules de somme

Réflexe — au rang $k + 1$ , la somme contient tous les termes du rang $k$ , plus un terme : on écrit $S_{k + 1} = S_{k} + (dernier terme)$ , on remplace $S_{k}$ par l'hypothèse, puis on factorise (plutôt que tout développer).

Exemple. Pour tout entier naturel $n$ : $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n} = 2^{n + 1} - 1$ .

Hérédité. Soit $k \in ℕ$ un entier fixé. On suppose que $𝒫 (k)$ est vraie, c'est-à-dire : $1 + 2 + \dots + 2^{k} = 2^{k + 1} - 1$ . Montrons que $𝒫 (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire : $1 + 2 + \dots + 2^{k} + 2^{k + 1} = 2^{k + 2} - 1$ .

\underset{= 2^{k + 1} - 1 par hypothèse}{\underset{⏟}{1 + 2 + \dots + 2^{k}}} + 2^{k + 1} = 2^{k + 1} - 1 + 2^{k + 1} = 2 \times 2^{k + 1} - 1 = 2^{k + 2} - 1 .

Donc $𝒫 (k + 1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.

Cas 2 · Encadrer une suite et étudier son sens de variation

Réflexe — on part de l'encadrement au rang $k$ et on reconstruit $u_{k + 1}$ en appliquant à chaque membre les opérations qui le fabriquent, chacune justifiée. Si $u_{k + 1} = f (u_{k})$ avec $f$ croissante, on applique $f$ à tout l'encadrement. Mettre $u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ dans la propriété donne en plus le sens de variation.

Exemple 1. $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2$ . Pour tout entier naturel $n$ : $0 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ .

Hérédité. Soit $k \in ℕ$ un entier fixé. On suppose que $𝒫 (k)$ est vraie, c'est-à-dire : $0 ⩽ u_{k} ⩽ 3$ . Montrons que $𝒫 (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire : $0 ⩽ u_{k + 1} ⩽ 3$ .

0 ⩽ u_{k} ⩽ 3 ⟹ 0 ⩽ \frac{1}{3} u_{k} ⩽ 1 ⟹ 2 ⩽ \underset{= u_{k + 1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} u_{k} + 2}} ⩽ 3 (on multiplie par \frac{1}{3} > 0, puis on ajoute 2)

Comme $0 ⩽ 2$ , on a bien $0 ⩽ u_{k + 1} ⩽ 3$ : $𝒫 (k + 1)$ est vraie.

Exemple 2. $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , avec $f (x) = \frac{5 x + 4}{x + 2}$ croissante sur $[0; + \infty [$ . Pour tout $n \in ℕ$ : $1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4$ .

Hérédité. Soit $k \in ℕ$ un entier fixé. On suppose que $𝒫 (k)$ est vraie, c'est-à-dire : $1 ⩽ u_{k} ⩽ u_{k + 1} ⩽ 4$ . Montrons que $𝒫 (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire : $1 ⩽ u_{k + 1} ⩽ u_{k + 2} ⩽ 4$ . Ces nombres sont dans $[1; 4]$ , où $f$ est croissante : elle conserve l'ordre, donc

f (1) ⩽ f (u_{k}) ⩽ f (u_{k + 1}) ⩽ f (4), soit 3 ⩽ u_{k + 1} ⩽ u_{k + 2} ⩽ 4 .

Comme $1 ⩽ 3$ , $𝒫 (k + 1)$ est vraie. La suite est donc croissante, et bornée par $1$ et $4$ .

1 / 2

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Terminale

Cas 3 · Démontrer une formule explicite

Réflexe — on part de la relation de récurrence $u_{k + 1} = \dots u_{k} \dots$ , on remplace $u_{k}$ par la formule au rang $k$ , puis on simplifie jusqu'à la formule au rang $k + 1$ . Avant de diviser, on justifie que le dénominateur n'est pas nul.

Exemple. $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2$ . Pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 2 \times 3^{n} - 1$ .

Hérédité. Soit $k \in ℕ$ un entier fixé. On suppose que $𝒫 (k)$ est vraie, c'est-à-dire : $u_{k} = 2 \times 3^{k} - 1$ . Montrons que $𝒫 (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire : $u_{k + 1} = 2 \times 3^{k + 1} - 1$ .

u_{k + 1} = 3 \underset{= 2 \times 3^{k} - 1 par hypothèse}{\underset{⏟}{u_{k}}} + 2 = 3 (2 \times 3^{k} - 1) + 2 = 2 \times 3^{k + 1} - 3 + 2 = 2 \times 3^{k + 1} - 1 .

Donc $𝒫 (k + 1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.

Cas 4 · Démontrer une divisibilité

Réflexe — « divisible par $3$ » s'écrit : il existe un entier $m$ tel que … $= 3 m$ . On isole la puissance dans l'hypothèse ( $4^{k} = 3 m + 1$ ), on écrit $4^{k + 1} = 4 \times 4^{k}$ , on remplace, on factorise par $3$ et on justifie que le facteur est un entier.

Exemple. Pour tout entier naturel $n$ , $4^{n} - 1$ est divisible par $3$ .

Hérédité. Soit $k \in ℕ$ un entier fixé. On suppose que $𝒫 (k)$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $m$ tel que $4^{k} - 1 = 3 m$ , soit $4^{k} = 3 m + 1$ . Montrons que $𝒫 (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire qu'il existe un entier $p$ tel que $4^{k + 1} - 1 = 3 p$ .

4^{k + 1} - 1 = 4 \times \underset{= 3 m + 1 par hypothèse}{\underset{⏟}{4^{k}}} - 1 = 4 (3 m + 1) - 1 = 12 m + 3 = 3 (4 m + 1) .

Comme $m$ est un entier, $p = 4 m + 1$ est un entier : $𝒫 (k + 1)$ est vraie.

Cas 5 · Démontrer une inégalité : Bernoulli et rang de départ

Réflexe — on écrit le membre de gauche au rang $k + 1$ à l'aide du rang $k$ , on utilise l'hypothèse en justifiant le sens, puis on compare à la cible (signe d'une différence, terme positif que l'on retire).

Exemple. Soit $a > 0$ fixé. Pour tout $n \in ℕ$ : $(1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a$ (Bernoulli, démonstration exigible).

Hérédité. Soit $k \in ℕ$ un entier fixé. On suppose que $𝒫 (k)$ est vraie, c'est-à-dire : $(1 + a)^{k} ⩾ 1 + k a$ . Montrons que $𝒫 (k + 1)$ est vraie, c'est-à-dire : $(1 + a)^{k + 1} ⩾ 1 + (k + 1) a$ . Comme $1 + a > 0$ , on multiplie l'hypothèse par $1 + a$ sans changer le sens de l'inégalité :

(1 + a)^{k + 1} ⩾ (1 + k a) (1 + a) = 1 + (k + 1) a + \underset{⩾ 0}{\underset{⏟}{k a^{2}}} ⩾ 1 + (k + 1) a .

Donc $𝒫 (k + 1)$ est vraie : la propriété est héréditaire.

Les pièges

Écrire « supposons $𝒫 (n)$ vraie pour tout $n$ » : c'est la conclusion. L'hypothèse porte sur un $k$ fixé.
Oublier l'initialisation : « $n + 1 ⩽ n$ » est héréditaire, et pourtant fausse pour tout $n$ .
Conclure sur quelques valeurs : $n^{2} + n + 41$ est premier pour $n ⩽ 39$ , mais $40^{2} + 40 + 41 = 41^{2}$ .
Partir de la formule au rang $k + 1$ et « retomber sur du vrai » : on part du membre de gauche.
Changer d'inégalité sans justifier ; diviser sans vérifier que le dénominateur est non nul.
Se tromper de rang de départ : on initialise au rang $n_{0}$ où l'hérédité commence à fonctionner.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la rédaction type d’une récurrence à recopier, puis, pour chacun des cinq cas, le réflexe, une hérédité rédigée et le piège à éviter : somme, encadrement d’une suite, formule explicite, divisibilité, Bernoulli. Elle se termine par les erreurs classiques qui coûtent des points au bac.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs