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Raisonnement par récurrence

Démontrer une propriété pour tout entier naturel : initialisation, hérédité, applications aux suites (programme de Terminale spécialité maths)

La récurrence est l'outil qui permet de démontrer une propriété pour une infinité d'entiers en deux étapes : c'est la clé des exercices de bac sur les suites.

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Le principe

Propriété $P (n)$ : affirmation dépendant d'un entier naturel $n$ , vraie ou fausse pour chaque valeur.
Initialisation : $P$ ( $n$ ₀) est vraie au rang de départ $n$ ₀.
Hérédité : pour tout $n$ ≥ $n$ ₀, si $P (n)$ est vraie alors $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion : $P (n)$ est vraie pour tout entier $n$ ≥ $n$ ₀.
Image : une rangée de dominos. L'hérédité assure que chacun renverse le suivant, l'initialisation pousse le premier.

Rédaction type

« Pour tout entier $n$ ≥ $n$ ₀, on note $P (n)$ la propriété : … »
« Initialisation. Pour $n$ = $n$ ₀ : … donc $P$ ( $n$ ₀) est vraie. »
« Hérédité. Soit $n$ ≥ $n$ ₀ un entier tel que $P (n)$ est vraie. Montrons $P (n + 1)$ . » On part de l'hypothèse au rang $n$ et on transforme jusqu'à la formule au rang $n + 1$ .
« Conclusion. $P$ ( $n$ ₀) est vraie et $P$ est héréditaire : par le principe de récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n$ ≥ $n$ ₀. »

Sur les suites

Formule explicite : calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , conjecturer, puis démontrer en remplaçant $u$ _n par la formule dans la relation $u$ _n+1 = $f$ ( $u$ _n).
Majoration / minoration : la borne candidate est le point fixe, solution de $f (x) = x$ . Dans l'hérédité, appliquer à l'inégalité les opérations qui définissent $u$ _n+1, en justifiant chaque sens.
Sens de variation : si $f$ est croissante et $u_{0} \leq u_{1}$ , la suite est croissante (récurrence sur « $u$ _n ≤ $u$ _n+1 ») ; si $u_{0} \geq u_{1}$ , elle est décroissante.

Formules et résultats classiques

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ; $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ ; $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .
Inégalité de Bernoulli (démonstration exigible) : pour tout réel $a$ strictement positif et tout entier naturel $n$ , $(1 + a)^{n} \geq 1 + n a$ .
$2^{n} \geq n + 1$ pour tout $n$ ; $n! \geq 2^{n}$ pour $n \geq 4$ ; $2^{n} \geq n^{2} + 1$ pour $n \geq 5$ .
Divisibilité : $a \times a^{n} - c = a (a^{n} - c) + (a - 1) c$ ; si $a^{n} - c$ est un multiple de $d$ , il reste à vérifier que $(a - 1) c$ l'est aussi.

Pièges

Hérédité sans initialisation : ne prouve rien (« $5^{n} + 1$ divisible par $4$ » est héréditaire et toujours fausse).
« Supposons que pour tout $n$ … » : c'est supposer la conclusion. L'hypothèse porte sur un rang $n$ fixé.
Mauvais rang de départ : initialiser là où l'hérédité devient valable ; vérifier les petits cas à part.
Raisonner à l'envers : partir de $P (n + 1)$ et retomber sur du vrai n'est pas une preuve.
Oublier de justifier le sens d'une inégalité (multiplication par un nombre positif, croissance de la racine carrée).

L'essentiel

Récurrence = initialisation + hérédité, puis conclusion pour tout entier n ≥ n₀.
L'hypothèse de récurrence porte sur un entier n fixé, jamais sur « tout n ».
Pour une suite u(n+1) = f(u(n)) : formule explicite, encadrement par le point fixe, monotonie si f est croissante.
Inégalité de Bernoulli : (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour a > 0, démonstration exigible.
Des vérifications sur quelques rangs ne sont jamais une démonstration.

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