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Raisonnement par récurrence

Démontrer une propriété pour tout entier naturel : initialisation, hérédité, applications aux suites (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Raisonnement par récurrence » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel : le principe de récurrence, Rédiger une démonstration par récurrence, Récurrence et suites : formule explicite, sens de variation, Majorer, minorer, encadrer une suite. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Somme des premiers entiers impairs

Facile

Pour tout entier $n \geq 1$ , on note $S_{n} = 1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1)$ la somme des $n$ premiers entiers impairs.

a) Calculer $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ et $S_{4}$ , puis conjecturer une expression simple de $S_{n}$ en fonction de $n$ .
b) Écrire l'hypothèse de récurrence au rang $n$ et l'égalité à démontrer au rang $n + 1$ .
c) Démontrer la conjecture par récurrence.

a) $S_{1} = 1$ , $S_{2} = 1 + 3 = 4$ , $S_{3} = 4 + 5 = 9$ , $S_{4} = 9 + 7 = 16$ . On reconnaît les carrés parfaits : on conjecture $S_{n} = n^{2}$ pour tout $n \geq 1$ .

b) Hypothèse de récurrence au rang $n$ : $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ . À démontrer au rang $n + 1$ : $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) + (2 n + 1) = (n + 1)^{2}$ (le terme suivant est $2 (n + 1) - 1 = 2 n + 1$ ).

c) Soit $P (n)$ : « $S_{n} = n^{2}$ ».
Initialisation. $S_{1} = 1 = 1^{2}$ : $P (1)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \geq 1$ tel que $S_{n} = n^{2}$ . Alors $S_{n + 1} = S_{n} + (2 n + 1) = n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}$ : $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. $P (1)$ est vraie et $P$ est héréditaire : par le principe de récurrence, $S_{n} = n^{2}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Exercice 2 — Formule explicite d'une suite

Facile

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4$ .

a) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Vérifier que ces valeurs sont compatibles avec la formule $u_{n} = 3^{n} + 2$ .
c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 3^{n} + 2$ .

a) $u_{1} = 3 \times 3 - 4 = 5$ ; $u_{2} = 3 \times 5 - 4 = 11$ ; $u_{3} = 3 \times 11 - 4 = 29$ .

b) $3^{0} + 2 = 3 = u_{0}$ ; $3^{1} + 2 = 5 = u_{1}$ ; $3^{2} + 2 = 11 = u_{2}$ ; $3^{3} + 2 = 29 = u_{3}$ . La formule est compatible avec les quatre premiers termes, ce qui n'est pas encore une démonstration.

c) Soit $P (n)$ : « $u_{n} = 3^{n} + 2$ ».
Initialisation. $3^{0} + 2 = 3 = u_{0}$ : $P (0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \geq 0$ tel que $u_{n} = 3^{n} + 2$ . Alors $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4 = 3 (3^{n} + 2) - 4 = 3^{n + 1} + 6 - 4 = 3^{n + 1} + 2$ : $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Par le principe de récurrence, $u_{n} = 3^{n} + 2$ pour tout entier naturel $n$ .

Exercice 3 — Divisibilité

Facile

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $a_{n} = 7^{n} - 1$ .

a) Calculer $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ et vérifier que chacun est divisible par $6$ .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $a_{n}$ est divisible par $6$ .
c) En déduire le reste de la division euclidienne de $7^{2026}$ par $6$ .

a) $a_{0} = 1 - 1 = 0 = 6 \times 0$ ; $a_{1} = 7 - 1 = 6 = 6 \times 1$ ; $a_{2} = 49 - 1 = 48 = 6 \times 8$ . Les trois sont divisibles par $6$ .

b) Soit $P (n)$ : « il existe un entier $k$ tel que $7^{n} - 1 = 6 k$ ».
Initialisation. $7^{0} - 1 = 0 = 6 \times 0$ : $P (0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \geq 0$ tel que $7^{n} - 1 = 6 k$ avec $k$ entier. Alors $7^{n + 1} - 1 = 7 \times 7^{n} - 1 = 7 (7^{n} - 1) + 7 - 1 = 7 \times 6 k + 6 = 6 (7 k + 1)$ . Comme $7 k + 1$ est un entier, $7^{n + 1} - 1$ est divisible par $6$ : $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, $7^{n} - 1$ est divisible par $6$ pour tout $n \in ℕ$ .

c) D'après b), $7^{2026} - 1 = 6 k$ pour un certain entier $k$ , donc $7^{2026} = 6 k + 1$ avec $0 \leq 1 < 6$ . Le reste de la division de $7^{2026}$ par $6$ est $1$ .

Exercice 4 — Suite minorée et décroissante

Moyen

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 10$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = \sqrt{3 u_{n} + 4}$ .

a) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ (valeurs arrondies au centième).
b) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} \geq 4$ .
c) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} \leq u_{n}$ .
d) En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $4 \leq u_{n} \leq 10$ .

a) $u_{1} = \sqrt{3 \times 10 + 4} = \sqrt{34} \approx 5, 83$ ; $u_{2} = \sqrt{3 \sqrt{34} + 4} \approx \sqrt{21, 49} \approx 4, 64$ .

b) Soit $P (n)$ : « $u_{n} \geq 4$ ».
Initialisation. $u_{0} = 10 \geq 4$ .
Hérédité. Soit $n$ tel que $u_{n} \geq 4$ . Alors $3 u_{n} + 4 \geq 16$ , et comme la fonction racine carrée est croissante sur $[0; + \infty [$ , $\sqrt{3 u_{n} + 4} \geq \sqrt{16} = 4$ , soit $u_{n + 1} \geq 4$ .
Conclusion. Pour tout $n$ , $u_{n} \geq 4$ : la suite est minorée par $4$ .

c) Soit $Q (n)$ : « $u_{n + 1} \leq u_{n}$ ».
Initialisation. $u_{1} \approx 5, 83 \leq 10 = u_{0}$ : $Q (0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n$ tel que $u_{n + 1} \leq u_{n}$ . Alors $3 u_{n + 1} + 4 \leq 3 u_{n} + 4$ ; ces deux nombres sont positifs d'après b), et la racine carrée est croissante, donc $\sqrt{3 u_{n + 1} + 4} \leq \sqrt{3 u_{n} + 4}$ , c'est-à-dire $u_{n + 2} \leq u_{n + 1}$ : $Q (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. La suite $(u_{n})$ est décroissante.

d) La suite est décroissante, donc pour tout $n$ , $u_{n} \leq u_{0} = 10$ . Avec b), on obtient $4 \leq u_{n} \leq 10$ pour tout $n$ : la suite est bornée.

Exercice 5 — Une inégalité vraie à partir d'un certain rang

Moyen

a) Vérifier que l'inégalité $2^{n} > n^{2}$ est fausse pour $n = 2$ , $n = 3$ , $n = 4$ , et vraie pour $n = 5$ .
b) Montrer que pour tout entier $n \geq 3$ , $2 n^{2} \geq (n + 1)^{2}$ .
c) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 5$ , $2^{n} > n^{2}$ .

a) $n = 2$ : $2^{2} = 4$ et $2^{2} = 4$ , pas d'inégalité stricte. $n = 3$ : $8 < 9$ . $n = 4$ : $16 = 16$ . $n = 5$ : $32 > 25$ . L'inégalité est fausse pour $n = 2, 3, 4$ et vraie pour $n = 5$ .

b) $2 n^{2} - (n + 1)^{2} = 2 n^{2} - n^{2} - 2 n - 1 = n^{2} - 2 n - 1 = (n - 1)^{2} - 2$ . Pour $n \geq 3$ , $(n - 1)^{2} \geq 4$ , donc $(n - 1)^{2} - 2 \geq 2 > 0$ . Ainsi $2 n^{2} \geq (n + 1)^{2}$ pour tout $n \geq 3$ .

c) Soit $P (n)$ : « $2^{n} > n^{2}$ », pour $n \geq 5$ .
Initialisation. $2^{5} = 32 > 25 = 5^{2}$ : $P (5)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \geq 5$ tel que $2^{n} > n^{2}$ . Alors $2^{n + 1} = 2 \times 2^{n} > 2 n^{2}$ . Or $n \geq 5 \geq 3$ , donc d'après b), $2 n^{2} \geq (n + 1)^{2}$ . D'où $2^{n + 1} > (n + 1)^{2}$ : $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, $2^{n} > n^{2}$ pour tout entier $n \geq 5$ . Le rang de départ $5$ est indispensable : l'hérédité est valable dès $n = 3$ , mais la propriété est fausse en $3$ et $4$ .

Exercice 6 — Somme des carrés

Moyen

Pour tout entier $n \geq 1$ , on pose $T_{n} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}$ .

a) Calculer $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ et vérifier que ces valeurs coïncident avec $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$ , $T_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .
c) Calculer $1^{2} + 2^{2} + \dots + 20^{2}$ .

a) $T_{1} = 1$ , $T_{2} = 5$ , $T_{3} = 14$ . Formule : $\frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$ ; $\frac{2 \times 3 \times 5}{6} = 5$ ; $\frac{3 \times 4 \times 7}{6} = 14$ . Les valeurs coïncident.

b) Soit $P (n)$ : « $T_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ».
Initialisation. Vue en a) : $P (1)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \geq 1$ tel que $P (n)$ est vraie. Alors $T_{n + 1} = T_{n} + (n + 1)^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + (n + 1)^{2} = \frac{(n + 1) [n (2 n + 1) + 6 (n + 1)]}{6} = \frac{(n + 1) (2 n^{2} + 7 n + 6)}{6}$ . Or $(n + 2) (2 n + 3) = 2 n^{2} + 3 n + 4 n + 6 = 2 n^{2} + 7 n + 6$ , donc $T_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}$ , ce qui est bien la formule au rang $n + 1$ puisque $2 (n + 1) + 1 = 2 n + 3$ .
Conclusion. Par récurrence, $T_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ pour tout $n \geq 1$ .

c) $T_{20} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = \frac{17 220}{6} =$ $2 870$ .

Exercice 7 — Suite arithmético-géométrique

Moyen

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ .

a) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 4 + {(\frac{1}{2})}^{n}$ .
c) En déduire que $u_{n} > 4$ pour tout $n$ , puis que la suite $(u_{n})$ est décroissante.
d) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} - 4 < 10^{- 3}$ .

a) $u_{1} = 2, 5 + 2 = 4, 5$ ; $u_{2} = 2, 25 + 2 = 4, 25$ ; $u_{3} = 2, 125 + 2 = 4, 125$ .

b) Soit $P (n)$ : « $u_{n} = 4 + {(\frac{1}{2})}^{n}$ ».
Initialisation. $4 + {(\frac{1}{2})}^{0} = 5 = u_{0}$ .
Hérédité. Soit $n$ tel que $u_{n} = 4 + {(\frac{1}{2})}^{n}$ . Alors $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (4 + {(\frac{1}{2})}^{n}) + 2 = 2 + {(\frac{1}{2})}^{n + 1} + 2 = 4 + {(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ : $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout $n$ , $u_{n} = 4 + {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

c) ${(\frac{1}{2})}^{n} > 0$ pour tout $n$ , donc $u_{n} > 4$ . De plus $u_{n + 1} - u_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 1} - {(\frac{1}{2})}^{n} = {(\frac{1}{2})}^{n} (\frac{1}{2} - 1) = - \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n} < 0$ : la suite est décroissante.

d) $u_{n} - 4 = {(\frac{1}{2})}^{n} < 10^{- 3}$ équivaut à $2^{n} > 1000$ . Or $2^{9} = 512 < 1000$ et $2^{10} = 1024 > 1000$ . Comme $2^{n}$ croît avec $n$ , le plus petit entier convenable est $n = 10$ .

Exercice 8 — Analyser deux copies d'élèves

Difficile

Copie A. Pour montrer que « $3^{n} + 2$ est divisible par $4$ », un élève écrit : « Supposons $P (n)$ vraie : $3^{n} + 2 = 4 k$ . Alors $3^{n + 1} + 2 = 3 (3^{n} + 2) - 4 = 12 k - 4 = 4 (3 k - 1)$ , donc $P (n + 1)$ est vraie. Par récurrence, $3^{n} + 2$ est divisible par $4$ pour tout $n$ . »
Copie B. Pour la suite définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ , un élève écrit : « Supposons que pour tout entier $n$ , $u_{n} = 2^{n} + 1$ . Alors $u_{n + 1} = 2 (2^{n} + 1) - 1 = 2^{n + 1} + 1$ . Comme $u_{0} = 2 = 2^{0} + 1$ , la formule est vraie pour tout $n$ . »

a) Le calcul d'hérédité de la copie A est-il correct ? La conclusion est-elle vraie ? Expliquer.
b) Montrer que $3^{n} + 2$ est impair pour tout entier naturel $n$ . Qu'en déduire pour la propriété de la copie A ?
c) Quelle est l'erreur de rédaction de la copie B ? La formule $u_{n} = 2^{n} + 1$ est-elle vraie pour autant ?
d) Rédiger correctement la démonstration de la copie B.

a) Le calcul est juste : $3 (3^{n} + 2) - 4 = 3 \times 3^{n} + 6 - 4 = 3^{n + 1} + 2$ , et si $3^{n} + 2 = 4 k$ alors $3^{n + 1} + 2 = 4 (3 k - 1)$ . La propriété est donc bien héréditaire. Mais l'élève n'a jamais fait d'initialisation : $3^{0} + 2 = 3$ n'est pas divisible par $4$ . La conclusion est fausse : une hérédité sans initialisation ne démontre rien.

b) $3^{n}$ est un produit de nombres impairs, donc impair ; $3^{n} + 2$ est la somme d'un impair et d'un pair, donc impair. Un nombre impair n'est jamais divisible par $4$ : la propriété « $3^{n} + 2$ divisible par $4$ » est fausse pour tout $n$ , bien qu'elle soit héréditaire. Aucune initialisation n'est possible, à aucun rang.

c) L'élève écrit « supposons que pour tout entier $n$ , $u_{n} = 2^{n} + 1$ » : il suppose exactement ce qu'il veut démontrer (erreur de quantificateur). L'hypothèse de récurrence doit porter sur un entier $n$ fixé. Malgré la rédaction fautive, la formule est vraie : $u_{1} = 3 = 2 + 1$ , $u_{2} = 5 = 4 + 1$ , et le calcul d'hérédité est exact.

d) Soit $P (n)$ : « $u_{n} = 2^{n} + 1$ ».
Initialisation. $2^{0} + 1 = 2 = u_{0}$ : $P (0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \geq 0$ un entier tel que $u_{n} = 2^{n} + 1$ . Alors $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1 = 2 (2^{n} + 1) - 1 = 2^{n + 1} + 1$ : $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. $P (0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : par le principe de récurrence, $u_{n} = 2^{n} + 1$ pour tout entier naturel $n$ .

Exercice 9 — Récurrence à deux pas

Difficile

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ , $u_{1} = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n}$ .

a) Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Vérifier que $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ sont donnés par la formule $u_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ .
c) Expliquer pourquoi la propriété $P (n)$ : « $u_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ » ne peut pas être démontrée par une récurrence simple avec l'hypothèse $P (n)$ seule.
d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , la propriété $Q (n)$ : « $u_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ et $u_{n + 1} = 2^{n + 1} + 3^{n + 1}$ » est vraie.
e) En déduire la valeur de $u_{10}$ .

a) $u_{2} = 5 \times 5 - 6 \times 2 = 25 - 12 = 13$ ; $u_{3} = 5 \times 13 - 6 \times 5 = 65 - 30 = 35$ .

b) $2^{0} + 3^{0} = 2 = u_{0}$ ; $2 + 3 = 5 = u_{1}$ ; $4 + 9 = 13 = u_{2}$ ; $8 + 27 = 35 = u_{3}$ . La formule convient pour les quatre premiers termes.

c) Le calcul de $u_{n + 2}$ fait intervenir deux termes précédents, $u_{n + 1}$ et $u_{n}$ . Savoir seulement que $u_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ ne dit rien sur $u_{n + 1}$ , donc on ne peut pas calculer $u_{n + 2}$ : l'hérédité $P (n) \Rightarrow P (n + 1)$ est impossible à établir. Il faut une hypothèse portant sur deux rangs consécutifs.

d) Initialisation. $Q (0)$ : $u_{0} = 2 = 2^{0} + 3^{0}$ et $u_{1} = 5 = 2^{1} + 3^{1}$ , vrai d'après b).
Hérédité. Soit $n$ tel que $Q (n)$ est vraie : $u_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ et $u_{n + 1} = 2^{n + 1} + 3^{n + 1}$ . Alors $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n} = 5 (2^{n + 1} + 3^{n + 1}) - 6 (2^{n} + 3^{n}) = 10 \cdot 2^{n} + 15 \cdot 3^{n} - 6 \cdot 2^{n} - 6 \cdot 3^{n} = 4 \cdot 2^{n} + 9 \cdot 3^{n} = 2^{n + 2} + 3^{n + 2}$ . Ainsi $u_{n + 1} = 2^{n + 1} + 3^{n + 1}$ (hypothèse) et $u_{n + 2} = 2^{n + 2} + 3^{n + 2}$ : $Q (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, $Q (n)$ est vraie pour tout $n$ , donc $u_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .

e) $u_{10} = 2^{10} + 3^{10} = 1 024 + 59 049 =$ $60 073$ .

Exercice 10 — Encadrement et convergence très rapide

Difficile

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \frac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = u_{n} (2 - u_{n})$ .

a) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions.
b) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $0 < u_{n} < 1$ .
c) En déduire le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
d) Montrer que pour tout $n$ , $1 - u_{n + 1} = (1 - u_{n})^{2}$ , puis démontrer par récurrence que $1 - u_{n} = {(\frac{1}{2})}^{2^{n}}$ .
e) À partir de quel rang a-t-on $1 - u_{n} < 10^{- 6}$ ?

a) $u_{1} = \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ ; $u_{2} = \frac{3}{4} (2 - \frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$ .

b) Soit $P (n)$ : « $0 < u_{n} < 1$ ».
Initialisation. $u_{0} = \frac{1}{2} \in] 0; 1 [$ .
Hérédité. Soit $n$ tel que $0 < u_{n} < 1$ . Alors $2 - u_{n} > 1 > 0$ , donc $u_{n + 1} = u_{n} (2 - u_{n}) > 0$ comme produit de deux nombres strictement positifs. De plus $1 - u_{n + 1} = 1 - 2 u_{n} + u_{n}^{2} = (1 - u_{n})^{2} > 0$ car $u_{n} \neq 1$ , donc $u_{n + 1} < 1$ . Ainsi $0 < u_{n + 1} < 1$ .
Conclusion. Pour tout $n$ , $0 < u_{n} < 1$ .

c) $u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} (2 - u_{n}) - u_{n} = u_{n} (1 - u_{n})$ . D'après b), $u_{n} > 0$ et $1 - u_{n} > 0$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ : la suite est strictement croissante.

d) L'identité $1 - u_{n + 1} = (1 - u_{n})^{2}$ a été établie dans l'hérédité de b). Soit $R (n)$ : « $1 - u_{n} = {(\frac{1}{2})}^{2^{n}}$ ».
Initialisation. $1 - u_{0} = \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2^{0}}$ .
Hérédité. Si $1 - u_{n} = {(\frac{1}{2})}^{2^{n}}$ , alors $1 - u_{n + 1} = (1 - u_{n})^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2 \times 2^{n}} = {(\frac{1}{2})}^{2^{n + 1}}$ .
Conclusion. Pour tout $n$ , $1 - u_{n} = {(\frac{1}{2})}^{2^{n}}$ . (Vérification : $n = 2$ donne $\frac{1}{16} = 1 - \frac{15}{16}$ .)

e) On cherche $2^{2^{n}} > 10^{6}$ . Or $2^{16} = 65 536 < 10^{6}$ et $2^{32} \approx 4, 3 \times 10^{9} > 10^{6}$ . Il faut donc $2^{n} \geq 32$ , soit $n \geq 5$ : à partir du rang $n = 5$ , l'écart à $1$ est inférieur à $10^{- 6}$ . La suite converge extrêmement vite : le nombre de décimales exactes double à chaque étape.

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