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Variables aléatoires à densité et loi normale
Modéliser des phénomènes continus : fonctions de densité, espérance, variance et loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ (programme Tle spé)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Variables aléatoires à densité et loi normale » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Variable aléatoire continue et fonction de densité, Espérance et variance d'une variable continue, Loi uniforme sur un intervalle $[a,b]$, Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ : définition et propriétés. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Variable aléatoire continue et fonction de densité
Une variable aléatoire discrète (comme la loi binomiale) prend des valeurs isolées. Lorsqu'une grandeur peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (taille, masse, durée…), on parle de variable aléatoire à densité (ou continue).
Définition — Fonction de densité. Une fonction $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ si :
- $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$,
- $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$.
Astuce. Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d'une valeur exacte est toujours nulle : $P(X=c)=0$. On calcule toujours des probabilités sur des intervalles.
Exemple. Soit $f(x)=2x$ sur $[0,1]$ et $f(x)=0$ ailleurs. Vérifions que $f$ est une densité :
$\displaystyle\int_0^1 2x\,dx = [x^2]_0^1 = 1$ ✓
$P(0{,}5\le X\le 1)=\displaystyle\int_{0{,}5}^{1}2x\,dx=[x^2]_{0{,}5}^{1}=1-0{,}25=0{,}75$.
$\displaystyle\int_0^1 2x\,dx = [x^2]_0^1 = 1$ ✓
$P(0{,}5\le X\le 1)=\displaystyle\int_{0{,}5}^{1}2x\,dx=[x^2]_{0{,}5}^{1}=1-0{,}25=0{,}75$.
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Espérance et variance d'une variable continue
Définition — Espérance et variance. Soit $X$ une variable aléatoire à densité $f$.
Espérance : $\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx$
Variance : $\displaystyle V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} (x-E(X))^2 f(x)\,dx = E(X^2)-[E(X)]^2$
Écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
Espérance : $\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx$
Variance : $\displaystyle V(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} (x-E(X))^2 f(x)\,dx = E(X^2)-[E(X)]^2$
Écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
Ces formules sont analogues aux cas discrets, avec une somme remplacée par une intégrale.
Exemple. Pour $f(x)=2x$ sur $[0,1]$ :
$E(X)=\displaystyle\int_0^1 x\cdot 2x\,dx=\int_0^1 2x^2\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}$
$E(X^2)=\displaystyle\int_0^1 x^2 \cdot 2x\,dx=\int_0^1 2x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}$
$V(X)=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$
$E(X)=\displaystyle\int_0^1 x\cdot 2x\,dx=\int_0^1 2x^2\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}$
$E(X^2)=\displaystyle\int_0^1 x^2 \cdot 2x\,dx=\int_0^1 2x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}$
$V(X)=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$
Attention ! Comme pour les variables discrètes, on a toujours $V(X)\ge 0$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$. Cette formule de Koenig-Huygens est souvent plus pratique à calculer.
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Loi uniforme sur un intervalle $[a,b]$
Définition — Loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$. $X$ suit la loi uniforme sur $[a,b]$ (avec $a\lt b$) si sa densité est :$$f(x)=\frac{1}{b-a} \text{ pour } x\in[a,b], \quad f(x)=0 \text{ sinon.}$$On modélise ainsi toute valeur dans $[a,b]$ équiprobable au sens de la mesure.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Espérance | $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ |
| Variance | $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| $P(c\le X\le d)$ | $\dfrac{d-c}{b-a}$ pour $[c,d]\subset[a,b]$ |
Exemple. Un bus arrive aléatoirement entre 8h00 et 8h20. Le temps d'attente $X$ suit $\mathcal{U}([0,20])$.
$P(5\le X\le 10)=\frac{10-5}{20-0}=\frac{5}{20}=0{,}25$
$E(X)=\frac{0+20}{2}=10$ min, $\sigma(X)=\frac{20}{\sqrt{12}}\approx 5{,}77$ min.
$P(5\le X\le 10)=\frac{10-5}{20-0}=\frac{5}{20}=0{,}25$
$E(X)=\frac{0+20}{2}=10$ min, $\sigma(X)=\frac{20}{\sqrt{12}}\approx 5{,}77$ min.
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Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ : définition et propriétés
La loi normale est la loi continue la plus importante en statistiques. Elle modélise la taille des individus, les erreurs de mesure, les notes d'un grand groupe…
Définition. $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ (espérance) et $\sigma^2$ (variance), notée $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, si sa densité est :$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
La courbe de densité est la célèbre courbe en cloche (ou courbe de Gauss).
- Elle est symétrique par rapport à l'axe $x=\mu$.
- $E(X)=\mu$ et $V(X)=\sigma^2$, $\sigma(X)=\sigma$.
- Le maximum est atteint en $x=\mu$ et vaut $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$.
- Plus $\sigma$ est petit, plus la courbe est étroite et haute.
Astuce. Pour calculer $P(a\le X\le b)$ avec $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, on utilise la calculatrice (fonction normalcdf) ou on se ramène à la loi $\mathcal{N}(0,1)$ via la réduction centrée.
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Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ et table
Théorème — Réduction (centrage-réduction). Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, alors la variable :$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.
La table de la loi normale donne $\Phi(t)=P(Z\le t)$ pour $t\ge 0$. On l'utilise pour convertir tout calcul de probabilité normale en lecture de table :
| Probabilité cherchée | Formule |
|---|---|
| $P(Z\le t)$ avec $t\ge 0$ | $\Phi(t)$ (lecture directe) |
| $P(Z\le t)$ avec $t\lt 0$ | $1-\Phi(-t)$ |
| $P(Z\ge t)$ avec $t\ge 0$ | $1-\Phi(t)$ |
| $P(a\le Z\le b)$ | $\Phi(b)-\Phi(a)$ (si $a\lt b$) |
Exemple. $X\sim\mathcal{N}(100,25)$ (donc $\mu=100$, $\sigma=5$). Calculer $P(90\le X\le 110)$.
$P(90\le X\le 110)=P\left(\frac{90-100}{5}\le Z\le\frac{110-100}{5}\right)=P(-2\le Z\le 2)$
$=\Phi(2)-\Phi(-2)=\Phi(2)-(1-\Phi(2))=2\Phi(2)-1\approx 2\times 0{,}9772-1=0{,}9544$.
$P(90\le X\le 110)=P\left(\frac{90-100}{5}\le Z\le\frac{110-100}{5}\right)=P(-2\le Z\le 2)$
$=\Phi(2)-\Phi(-2)=\Phi(2)-(1-\Phi(2))=2\Phi(2)-1\approx 2\times 0{,}9772-1=0{,}9544$.
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Règle des 3 sigma et intervalles remarquables
Pour $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, les trois résultats suivants sont à connaître par cœur :
Règle des 3 sigma.
- $P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx 0{,}683$ (68,3 %)
- $P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx 0{,}954$ (95,4 %)
- $P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\approx 0{,}997$ (99,7 %)
Exemple. La taille des adultes français masculins suit approximativement $\mathcal{N}(178,\,6^2)$ cm.
Environ 95 % des hommes mesurent entre $178-12=166$ cm et $178+12=190$ cm.
Environ 95 % des hommes mesurent entre $178-12=166$ cm et $178+12=190$ cm.
Astuce. La règle des 2 sigma ($\approx 95\%$) est très utilisée en tests statistiques. Retenez : « dans un intervalle $\mu\pm 2\sigma$, il y a 95 % des valeurs ».
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Approximation de la loi binomiale par la loi normale
Le théorème central limite (admis en Tle) affirme que, sous certaines conditions, une loi binomiale peut être approchée par une loi normale.
Approximation. Si $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ avec $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$, alors $X$ est approximativement distribuée selon :$$\mathcal{N}(np,\,np(1-p))$$
| Paramètre binomiale | Correspondance normale |
|---|---|
| $E(X)=np$ | $\mu=np$ |
| $V(X)=np(1-p)$ | $\sigma^2=np(1-p)$ |
| Conditions | $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ |
Exemple. $X\sim\mathcal{B}(200,0{,}4)$. On a $np=80\ge 5$ et $n(1-p)=120\ge 5$, donc $X\approx\mathcal{N}(80,48)$.
$P(75\le X\le 85)\approx P\left(\frac{75-80}{\sqrt{48}}\le Z\le\frac{85-80}{\sqrt{48}}\right)\approx P(-0{,}72\le Z\le 0{,}72)\approx 2\Phi(0{,}72)-1\approx 0{,}529$.
$P(75\le X\le 85)\approx P\left(\frac{75-80}{\sqrt{48}}\le Z\le\frac{85-80}{\sqrt{48}}\right)\approx P(-0{,}72\le Z\le 0{,}72)\approx 2\Phi(0{,}72)-1\approx 0{,}529$.
Attention ! Cette approximation n'est valable que si $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$. Si $p$ est très proche de 0 ou de 1, on peut utiliser la loi de Poisson ou rester en binomiale.
En bref
- Une densité de probabilité $f$ vérifie $f\ge 0$ et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1$. La proba sur $[a,b]$ est l'intégrale de $f$.
- $E(X)=\int xf(x)dx$, $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.
- Loi uniforme sur $[a,b]$ : $E=\frac{a+b}{2}$, $V=\frac{(b-a)^2}{12}$.
- Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ : courbe en cloche symétrique en $\mu$. Réduction : $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)$.
- Règle des 3 sigma : 68 %, 95 %, 99,7 % dans $\mu\pm k\sigma$ pour $k=1,2,3$.
- Si $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$ : $\mathcal{B}(n,p)\approx\mathcal{N}(np,np(1-p))$.
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