Divisibilité, division euclidienne et PGCD

On considère l’entier $156$.

1. Nombre de diviseurs positifs de $156$ :
   On cherche les produits égaux à $156$ : $156$ $=1\times 156$ $=2\times 78$ $=3\times 52$ $=4\times 39$ $=6\times 26$ $=12\times 13$ ; $5$, $7$, $8$, $9$, $10$ et $11$ ne divisent pas $156$, et on s’arrête à $12$ car $13\times 13=169>156$. Les diviseurs positifs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, $13$, $26$, $39$, $52$, $78$ et $156$ : il y en a $12$.
2. Nombre de diviseurs de $156$ dans $\mathbb{Z}$ :
   Si $d$ divise $156$, $-d$ aussi : les $12$ diviseurs positifs et leurs opposés donnent $24$ diviseurs dans $\mathbb{Z}$.
3. Nombre de diviseurs positifs de $156$ strictement supérieurs à $20$ :
   Dans la liste, ce sont $26$, $39$, $52$, $78$ et $156$ : il y en a $5$.
4. $156$ est un multiple de $26$ : $156=26\times$
   $26\times 6=156$. En revanche, $156$ n’est pas un multiple de $24$ : $24\times 6=144$ et $24\times 7=168$ encadrent strictement $156$.

Un nombre de quatre chiffres $N$ s’écrit « 8 1 c 4 » : son chiffre des milliers est $8$, celui des centaines $1$, celui des dizaines est un chiffre inconnu $c$, celui des unités $4$.

1. Plus petit chiffre $c$ pour lequel $N$ est divisible par $3$ :
   La somme des chiffres vaut $8+1+c+4=13+c$ ; elle doit être un multiple de $3$, donc $c=2$, $5$ ou $8$. Le plus petit est $2$ : $8124=3\times 2708$.
2. Chiffre $c$ pour lequel $N$ est divisible par $9$ :
   $13+c$ doit être un multiple de $9$ ; comme $13⩽13+c⩽22$, seule la valeur $18$ convient : $c=5$, et $8154=9\times 906$.
3. Nombre de chiffres $c$ pour lesquels $N$ est divisible par $4$ :
   Les deux derniers chiffres forment le nombre « c4 » : $4$, $24$, $44$, $64$ et $84$ sont des multiples de $4$, alors que $14$, $34$, $54$, $74$ et $94$ n’en sont pas. Il y a $5$ chiffres possibles : $0$, $2$, $4$, $6$ et $8$.
4. Plus grand chiffre $c$ pour lequel $N$ est divisible à la fois par $3$ et par $4$ :
   Il faut $c\in \{2;5;8\}$ (pour $3$) et $c$ pair (pour $4$) : $c=2$ ou $c=8$. Le plus grand est $8$ : $8184=3\times 2728=4\times 2046$.

Les lettres $k$, $p$ et $n$ désignent des entiers relatifs.

1. Démontrer que la somme de trois entiers impairs consécutifs est un multiple de $3$. Si le plus petit est $2k+1$, cette somme s’écrit $3(2k+c)$ avec $c$ =
   Rédaction attendue. Soit $k\in \mathbb{Z}$ ; trois entiers impairs consécutifs s’écrivent $2k+1$, $2k+3$ et $2k+5$. Leur somme vaut $(2k+1)+(2k+3)+(2k+5)$ $=6k+9$ $=3(2k+3)$. Comme $2k+3$ est un entier, cette somme est un multiple de $3$, et $c=3$. Contrôle : $11+13+15=39=3\times 13$.
2. Le produit de deux entiers consécutifs est pair. Pour $n=2k+1$, on écrit $n(n+1)=2(2k+1)(k+m)$ avec $m$ =
   Si $n=2k+1$, alors $n+1=2k+2=2(k+1)$, donc $n(n+1)=2(2k+1)(k+1)$ : $m=1$. Si $n=2k$, $n(n+1)=2\times k(2k+1)$. Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair.
3. « Un entier divisible par $4$ et par $6$ est divisible par $24$ » est faux. Plus petit entier strictement positif divisible par $4$ et par $6$ :
   Les multiples positifs de $6$ sont $6$, $12$, $18$… ; $6$ n’est pas un multiple de $4$, mais $12=4\times 3=6\times 2$ en est un. Comme $12$ n’est pas divisible par $24$, c’est un contre-exemple : un seul suffit à réfuter l’affirmation.

Le carré d’un entier impair.

1. Démontrer que le carré de tout entier impair s’écrit $8m+1$ avec $m$ entier (on pourra utiliser le produit de deux entiers consécutifs). Pour ${13}^2$, $m$ =
   Rédaction attendue. Soit $n$ un entier impair : $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Alors $n^2$ $=4k^2+4k+1$ $=4k(k+1)+1$. Or $k(k+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, donc il est pair (disjonction des cas $k=2p$ ou $k=2p+1$, comme à l’exercice précédent) : $k(k+1)=2m$ avec $m$ entier. D’où $n^2$ $=4\times 2m+1$ $=8m+1$. Pour $13=2\times 6+1$ : $k=6$, $k(k+1)=42=2\times 21$, et $169=8\times 21+1$ : $m=21$.
2. Pour tout entier impair $n$, $n^2-1$ est donc un multiple de $8$. Pour $n=15$ : $n^2-1=8\times$
   $15\times 15-1=224=8\times 28$.
3. Reste de la division euclidienne de $2{027}^2$ par $8$ :
   $2027$ est impair (il se termine par $7$), donc son carré s’écrit $8m+1$ avec $m$ entier, et $0⩽1<8$ : le reste vaut $1$, sans calculer le carré.

Compléter. Pour un nombre négatif, écris le signe moins.

1. $16$ divise $-112$, car $-112=16\times$
   $16\times 7=112$, donc $-112=16\times (-7)$, et $-7$ est un entier relatif.
2. Nombre de diviseurs de $-98$ dans $\mathbb{Z}$ :
   $-98$ a les mêmes diviseurs que $98$ : $1$, $2$, $7$, $14$, $49$, $98$ et leurs opposés, soit $12$ diviseurs.
3. Le seul entier relatif divisible par $0$ est
   $a=k\times 0$ impose $a=0$ : $0$ ne divise que $0$. À l’inverse, tout entier $b$ divise $0$, car $0=0\times b$.
4. $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$, avec $a=-9$ et $b\ne a$. Alors $b$ =
   D’après le cours, $a=b$ ou $a=-b$ ; comme $b\ne a$, $b=-a=9$. Vérification : $9=(-9)\times (-1)$ et $-9=9\times (-1)$.

Pour un entier relatif $n$, on note $d$ un diviseur commun de $a=6n+13$ et $b=3n+5$.

1. $d$ divise $a-2b$, qui vaut
   $a-2b=6n+13-6n-10=3$. C’est une combinaison linéaire de $a$ et $b$ à coefficients entiers ($u=1$, $v=-2$), donc $d$ divise $3$.
2. Nombre de valeurs possibles pour $d$ dans $\mathbb{Z}$ :
   $d$ est un diviseur de $3$ : $d\in \{-3;-1;1;3\}$, soit $4$ valeurs possibles.
3. On écrit $b=3(n+1)+r$ avec $0⩽r<3$. Alors $r$ =
   $3(n+1)+2=3n+5$ : $r=2$. Le reste de $b$ par $3$ n’est jamais nul, donc $3$ ne divise jamais $b$ : le seul diviseur commun positif de $a$ et $b$ est $1$, quel que soit $n$.

Dans cet exercice, $n$ désigne un entier relatif.

1. Pour tout $n$ : $n^2-3n+7=n(n-3)+$
   En développant : $n(n-3)+7=n^2-3n+7$.
2. Démontrer que $n-3$ divise $n^2-3n+7$ si et seulement si $n-3$ divise $7$. Nombre d’entiers relatifs $n$ solutions :
   Rédaction attendue. $n-3$ divise $n(n-3)$. Si $n-3$ divise $n^2-3n+7$, il divise la différence $(n^2-3n+7)-n(n-3)=7$. Réciproquement, s’il divise $7$, il divise la somme $n(n-3)+7=n^2-3n+7$. Les diviseurs de $7$ dans $\mathbb{Z}$ sont $-7$, $-1$, $1$ et $7$, d’où $n-3\in \{-7;-1;1;7\}$, soit $n\in \{-4;2;4;10\}$ : il y a $4$ solutions.
3. La plus grande solution : $n$ =
   Pour $n=10$ : $n-3=7$ et $n^2-3n+7$ $=100-30+7$ $=77$ $=7\times 11$.
4. La plus petite solution : $n$ =
   Pour $n=-4$ : $n-3=-7$ et $n^2-3n+7$ $=16+12+7$ $=35$ $=(-7)\times (-5)$.

On cherche les entiers naturels $n$ tels que $2n+1$ divise $n+8$.

1. Si $2n+1$ divise $n+8$, il divise $2(n+8)-(2n+1)$, qui vaut
   $2(n+8)-(2n+1)$ $=2n+16-2n-1$ $=15$ : c’est une combinaison linéaire de $n+8$ et $2n+1$.
2. Démontrer que les solutions sont exactement $0$, $1$, $2$ et $7$. Contrôle : pour $n=7$, $(n+8)÷(2n+1)$ =
   Rédaction attendue. Condition nécessaire : si $2n+1$ divise $n+8$, il divise $15$. Comme $n\in \mathbb{N}$, $2n+1$ est un diviseur positif et impair de $15$ : $2n+1\in \{1;3;5;15\}$, d’où $n\in \{0;1;2;7\}$. Réciproque : pour $n=0$, $1$ divise $8$ ; pour $n=1$, $3$ divise $9$ ; pour $n=2$, $5$ divise $10$ ; pour $n=7$, $15$ divise $15$. Les solutions sont $0$, $1$, $2$ et $7$. Pour $n=7$ : $15÷15=1$.
3. Même méthode pour « $2n+1$ divise $n+3$ » : nombre d’entiers naturels $n$ solutions :
   $2n+1$ divise $2(n+3)-(2n+1)=5$, donc $2n+1\in \{1;5\}$ et $n\in \{0;2\}$. Réciproque : $1$ divise $3$ et $5$ divise $5$. Il y a $2$ solutions.

Divisions euclidiennes par $23$. Pour un nombre négatif, écris le signe moins.

1. Division euclidienne de $1837$ par $23$ : quotient et reste
   $23\times 79=1817$ et $23\times 80=1840>1837$, donc $1837=23\times 79+20$ avec $0⩽20<23$.
2. Division euclidienne de $-1837$ par $23$ : quotient et reste
   En multipliant par $-1$ : $-1837=23\times (-79)-20$, et $-20$ n’est pas un reste. On descend d’un multiple de $23$ : $-1837=23\times (-80)+3$ avec $0⩽3<23$ (et $3=23-20$).
3. Le seul entier naturel $b$ tel que la division euclidienne de $1837$ par $b$ ait pour quotient $79$ est
   Il faut $1837=79b+r$ avec $0⩽r<b$, donc $79b⩽1837<80b$, soit $22,96\dots <b⩽23,25\dots$ : seul $b=23$ convient (le reste vaut alors $20$).

Restes et Python. Pour un nombre négatif, écris le signe moins.

1. 2026 // 9 renvoie et 2026 % 9 renvoie
   $9\times 225=2025$, donc $2026=9\times 225+1$ avec $0⩽1<9$.
2. -50 // 7 renvoie et -50 % 7 renvoie
   Le multiple de $7$ juste en dessous de $-50$ est $7\times (-8)=-56$ : $-50=7\times (-8)+6$ avec $0⩽6<7$. Python donne bien le quotient et le reste de la division euclidienne.
3. Plus grand reste possible dans une division euclidienne par $13$ :
   Le reste vérifie $0⩽r<13$ : il vaut au plus $12$.
4. Le reste de $N$ dans la division par $10$ vaut $7$. Reste de $N+25$ dans la division par $10$ :
   $N=10q+7$, donc $N+25$ $=10q+32$ $=10(q+3)+2$ avec $0⩽2<10$ : le reste vaut $2$.

Le reste de la division euclidienne d’un entier naturel $N$ par $56$ est $47$.

1. Reste de la division euclidienne de $N$ par $8$ :
   Il existe un entier naturel $q$ tel que $N=56q+47$. Comme $56=8\times 7$ et $47=8\times 5+7$ : $N=8(7q+5)+7$ avec $0⩽7<8$. Le reste vaut $7$.
2. Reste de la division euclidienne de $N$ par $14$ :
   $56=14\times 4$ et $47=14\times 3+5$, donc $N=14(4q+3)+5$ avec $0⩽5<14$.
3. Reste de la division euclidienne de $N$ par $28$ :
   $56=28\times 2$ et $47=28\times 1+19$, donc $N=28(2q+1)+19$ avec $0⩽19<28$.
4. Démontrer que $N$ n’est jamais divisible par $7$. Reste de $N$ dans la division par $7$ :
   Rédaction attendue. $N=56q+47$ avec $q\in \mathbb{N}$. Or $56=7\times 8$ et $47=7\times 6+5$, donc $N=7(8q+6)+5$. Comme $8q+6$ est un entier et $0⩽5<7$, c’est la division euclidienne de $N$ par $7$ (unicité) : le reste vaut $5$. Il n’est pas nul, donc $7$ ne divise pas $N$.

Restes des carrés dans la division par $4$.

1. Démontrer que le reste de $n^2$ dans la division par $4$ vaut $0$ ou $1$. Pour $n=2k+1$ : $n^2=4(k^2+k)+$
   Rédaction attendue. Tout entier $n$ est pair ou impair. Si $n=2k$ avec $k\in \mathbb{Z}$ : $n^2=4k^2$, le reste vaut $0$. Si $n=2k+1$ : $n^2$ $=4k^2+4k+1$ $=4(k^2+k)+1$, avec $k^2+k$ entier et $0⩽1<4$ : le reste vaut $1$. Dans tous les cas, le reste de $n^2$ par $4$ vaut $0$ ou $1$.
2. Les restes possibles de $a^2+b^2$ dans la division par $4$ sont $0$, $1$ et
   $a^2=4p+s$ et $b^2=4p\prime +s\prime$ avec $s$ et $s\prime$ égaux à $0$ ou $1$, donc $a^2+b^2$ $=4(p+p\prime )+(s+s\prime )$, et $s+s\prime$ vaut $0$, $1$ ou $2$ : c’est déjà un reste valable. Le reste $3$ n’apparaît jamais.
3. Reste de $4563$ dans la division par $4$ :
   $4563=4\times 1140+3$ : le reste vaut $3$. D’après la question précédente, $4563$ n’est donc pas la somme de deux carrés d’entiers.

Donner chaque PGCD.

1. $\text{pgcd}(126;0)$ =
   Tout entier divise $0$ : les diviseurs communs de $126$ et $0$ sont les diviseurs de $126$, et le plus grand est $126$.
2. $\text{pgcd}(119;17)$ =
   $119=17\times 7$ : $17$ divise $119$, donc $\text{pgcd}(119;17)=17$.
3. $\text{pgcd}(-24;40)$ =
   $\text{pgcd}(-24;40)=\text{pgcd}(24;40)$. Puis $40=1\times 24+16$, $24=1\times 16+8$ et $16=2\times 8+0$ : le PGCD vaut $8$.
4. $\text{pgcd}(45;46)$ =
   Un diviseur commun divise la combinaison $46-45=1$ : le PGCD vaut $1$.

On applique l’algorithme d’Euclide à $1155$ et $693$.

1. Reste de la première division, celle de $1155$ par $693$ :
   $693\times 1=693$ et $693\times 2=1386>1155$ : le quotient vaut $1$ et le reste $1155-693=462$, avec $0⩽462<693$.
2. $\text{pgcd}(1155;693)$ =
   $1155=1\times 693+462$ ; $693=1\times 462+231$ ; $462=2\times 231+0$. Le dernier reste non nul est $231$. Contrôle : $1155=231\times 5$ et $693=231\times 3$.
3. Nombre de diviseurs communs positifs de $1155$ et $693$ :
   Ce sont les diviseurs du PGCD $231=3\times 7\times 11$ : $1$, $3$, $7$, $11$, $21$, $33$, $77$ et $231$, soit $8$.
4. Plus grand diviseur commun de $1155$ et $693$ strictement inférieur à leur PGCD :
   Dans la liste des diviseurs de $231$, celui qui précède $231$ est $77=231÷3$.

On considère les entiers $2907$ et $1989$.

1. Démontrer que les diviseurs communs de $2907$ et $1989$ sont exactement les diviseurs de leur PGCD, et calculer ce PGCD :
   Rédaction attendue. $2907=1\times 1989+918$ ; $1989=2\times 918+153$ ; $918=6\times 153+0$. D’après la propriété $\text{pgcd}(a;b)=\text{pgcd}(b;r)$ appliquée à chaque ligne, les couples $(2907;1989)$, $(1989;918)$, $(918;153)$ et $(153;0)$ ont les mêmes diviseurs communs, c’est-à-dire les diviseurs de $153$. Le plus grand est $153$ : $\text{pgcd}(2907;1989)=153$.
2. Nombre de diviseurs communs positifs de $2907$ et $1989$ :
   $153=9\times 17$ a pour diviseurs positifs $1$, $3$, $9$, $17$, $51$ et $153$ : il y en a $6$.
3. Quotient de $2907$ par le PGCD trouvé :
   $153\times 19=2907$ (et $1989=153\times 13$).

On rappelle la fonction du cours :
def pgcd(a, b):
  while b != 0:
    a, b = b, a % b
  return a

1. Nombre de passages dans la boucle while pour pgcd(89, 55) :
   Chaque passage effectue une division euclidienne : $89=1\times 55+34$ ; $55=1\times 34+21$ ; $34=1\times 21+13$ ; $21=1\times 13+8$ ; $13=1\times 8+5$ ; $8=1\times 5+3$ ; $5=1\times 3+2$ ; $3=1\times 2+1$ ; $2=2\times 1+0$. Il y a $9$ passages et la fonction renvoie $1$. Comme tous les quotients valent $1$ (sauf le dernier), les restes diminuent lentement : $89$ et $55$ sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.
2. Valeur renvoyée par pgcd(1001, 455) :
   $1001=2\times 455+91$, puis $455=5\times 91+0$ : la fonction renvoie $91$.
3. Démontrer que, pour $a>b>0$, $\text{pgcd}(a;b)=\text{pgcd}(a-b;b)$. En déduire $\text{pgcd}(2027;2025)$ =
   Rédaction attendue. Si $d$ divise $a$ et $b$, il divise la combinaison $a-b$ : c’est un diviseur commun de $a-b$ et $b$. Réciproquement, si $d$ divise $a-b$ et $b$, il divise $(a-b)+b=a$. Les couples $(a;b)$ et $(a-b;b)$ ont donc les mêmes diviseurs communs, et le même PGCD. Ici $\text{pgcd}(2027;2025)=\text{pgcd}(2;2025)$ ; comme $2025$ est impair, $2$ ne le divise pas, et le PGCD vaut $1$.

Écrire chaque fraction sous forme irréductible, avec « / » (par exemple 2/7).

1. ${\displaystyle \frac{391}{575}}$ =
   $575=1\times 391+184$ ; $391=2\times 184+23$ ; $184=8\times 23+0$ : le PGCD vaut $23$. $391=23\times 17$ et $575=23\times 25$, donc ${\displaystyle \frac{391}{575}}={\displaystyle \frac{17}{25}}$, irréductible d’après l’écriture de référence.
2. ${\displaystyle \frac{2262}{3016}}$ =
   $3016=1\times 2262+754$ ; $2262=3\times 754+0$ : le PGCD vaut $754$. Donc ${\displaystyle \frac{2262}{3016}}$ $={\displaystyle \frac{754\times 3}{754\times 4}}$ $={\displaystyle \frac{3}{4}}$.
3. ${\displaystyle \frac{-1236}{1545}}$ =
   $1545=1\times 1236+309$ ; $1236=4\times 309+0$ : $\text{pgcd}(1236;1545)=309$. $1236=309\times 4$ et $1545=309\times 5$, donc ${\displaystyle \frac{-1236}{1545}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Premiers entre eux et écriture de référence.

1. $\text{pgcd}(16;81)$ =
   $81=5\times 16+1$, puis $16=16\times 1+0$ : le PGCD vaut $1$. $16$ et $81$ sont premiers entre eux, alors qu’aucun des deux n’est un nombre premier.
2. $\text{pgcd}(2080;2288)$ =
   $2288=1\times 2080+208$ ; $2080=10\times 208+0$ : le PGCD vaut $208$.
3. Écriture de référence de ces deux nombres, avec $d$ leur PGCD : le premier vaut $d\times a\prime$ et le second $d\times b\prime$, où $a\prime$ = et $b\prime$ =
   $2080=208\times 10$ et $2288=208\times 11$. Les entiers $10$ et $11$ sont consécutifs, donc premiers entre eux, comme le prévoit l’écriture de référence.
4. Sans algorithme : $\text{pgcd}(6240;6864)$ =
   $6240=3\times 2080$ et $6864=3\times 2288$ ; avec le facteur commun $3$ : $\text{pgcd}(6240;6864)$ $=3\times 208$ $=624$.

On cherche les couples $(a;b)$ d’entiers naturels non nuls tels que $a⩽b$, $\text{pgcd}(a;b)=18$ et $ab=22680$.

1. En posant $a=18a\prime$ et $b=18b\prime$, on obtient $a\prime b\prime$ =
   $ab$ $=18a\prime \times 18b\prime$ $=324a\prime b\prime$ $=22680$, donc $a\prime b\prime ={\displaystyle \frac{22680}{324}}=70$.
2. Démontrer qu’il y a exactement quatre couples solutions et les donner. Plus grand $b$ parmi les solutions :
   Rédaction attendue. Comme $\text{pgcd}(a;b)=18$, on écrit $a=18a\prime$ et $b=18b\prime$ avec $a\prime$ et $b\prime$ premiers entre eux et $a\prime ⩽b\prime$ ; alors $a\prime b\prime =70$. Les couples d’entiers de produit $70$ avec $a\prime ⩽b\prime$ sont $(1;70)$, $(2;35)$, $(5;14)$ et $(7;10)$, et l’on vérifie $\text{pgcd}(1;70)$ $=\text{pgcd}(2;35)$ $=\text{pgcd}(5;14)$ $=\text{pgcd}(7;10)$ $=1$. Réciproquement, pour chacun, l’écriture de référence donne $\text{pgcd}(a;b)=18$, et $ab=324\times 70=22680$. Les solutions sont $(18;1260)$, $(36;630)$, $(90;252)$ et $(126;180)$ : le plus grand $b$ est $1260$.
3. Le couple solution tel que $a+b=306$ : $a$ = et $b$ =
   Les sommes valent $1278$, $666$, $342$ et $306$ : c’est le couple $(126;180)$.

On cherche les couples $(a;b)$ d’entiers naturels non nuls tels que $a⩽b$, $a+b=231$ et $\text{pgcd}(a;b)=21$.

1. En posant $a=21a\prime$ et $b=21b\prime$, on obtient $a\prime +b\prime$ =
   $231=21\times 11$, et $21(a\prime +b\prime )=231$ donne $a\prime +b\prime =11$.
2. Démontrer que deux entiers naturels non nuls de somme $11$ sont toujours premiers entre eux. Combien de couples $(a;b)$ répondent au problème ?
   Rédaction attendue. Soit $d$ un diviseur commun positif de $a\prime$ et $b\prime$ : il divise $a\prime +b\prime =11$, donc $d=1$ ou $d=11$. Si $d=11$, alors $a\prime ⩾11$ et $b\prime ⩾11$, d’où $a\prime +b\prime ⩾22$ : impossible. Donc $\text{pgcd}(a\prime ;b\prime )=1$. Les couples avec $1⩽a\prime ⩽b\prime$ et $a\prime +b\prime =11$ sont $(1;10)$, $(2;9)$, $(3;8)$, $(4;7)$ et $(5;6)$ ; l’écriture de référence donne alors $\text{pgcd}(a;b)=21$. Il y a $5$ solutions : $(21;210)$, $(42;189)$, $(63;168)$, $(84;147)$ et $(105;126)$.
3. Avec la somme $232$ au lieu de $231$, il n’y a aucune solution. Reste de la division euclidienne de $232$ par $21$ :
   Si $\text{pgcd}(a;b)=21$, alors $21$ divise $a$ et $b$, donc leur somme. Or $232=21\times 11+1$ : le reste n’est pas nul, $21$ ne divise pas $232$, et aucun couple ne convient.

$n$ désigne un entier naturel. Éliminer $n$ par une combinaison linéaire. Pour un nombre négatif, écris le signe moins.

1. $3(4n+3)-2(6n+5)$ =
   $12n+9-12n-10=-1$ : tout diviseur commun de $4n+3$ et $6n+5$ divise $-1$, donc ces deux entiers sont premiers entre eux pour tout $n$.
2. Avec $A=7n+4$ et $B=2n+1$ : $2A-7B$ =
   $14n+8-14n-7=1$ : $A$ et $B$ sont premiers entre eux pour tout $n$.
3. Tout diviseur commun de $2n+1$ et $2n+3$ divise leur différence, qui vaut
   $(2n+3)-(2n+1)=2$. Comme $2n+1$ est impair, un diviseur commun ne peut pas valoir $\pm 2$ : le PGCD vaut $1$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $A=n+10$ et $B=n+4$.

1. Tout diviseur commun de $A$ et $B$ divise $A-B$, qui vaut
   $A-B=6$ : le PGCD est un diviseur positif de $6$, donc $1$, $2$, $3$ ou $6$.
2. Pour $n=5$ : $\text{pgcd}(A;B)$ =
   $A=15$ et $B=9$ : $15=1\times 9+6$, $9=1\times 6+3$, $6=2\times 3+0$. Le PGCD vaut $3$.
3. Pour $n=0$ : $\text{pgcd}(A;B)$ =
   $A=10$ et $B=4$ : $10=2\times 4+2$ et $4=2\times 2+0$. Le PGCD vaut $2$.
4. Pour $n=1$ : $\text{pgcd}(A;B)$ =
   $A=11$ et $B=5$ : $11=2\times 5+1$. Le PGCD vaut $1$. Avec $n=2$ ($A=12$, $B=6$), il vaudrait $6$ : les quatre diviseurs de $6$ sont atteints, et savoir que le PGCD divise $6$ ne suffit pas à le connaître.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $A=3n+11$ et $B=n+5$.

1. $3B-A$ =
   $3B-A=3n+15-3n-11=4$ : tout diviseur commun de $A$ et $B$ divise $4$, et le PGCD vaut $1$, $2$ ou $4$.
2. Démontrer que, si $n$ est pair, $\text{pgcd}(A;B)=1$. Pour $n=6$ : $\text{pgcd}(A;B)$ =
   Rédaction attendue. Soit $d$ un diviseur commun positif de $A$ et $B$ : il divise $3B-A=4$, donc $d\in \{1;2;4\}$. Si $n$ est pair, $n=2k$ et $B=2k+5=2(k+2)+1$ est impair : un diviseur d’un nombre impair est impair, et le seul diviseur impair de $4$ est $1$. Donc $\text{pgcd}(A;B)=1$. Pour $n=6$ : $A=29$ et $B=11$.
3. Pour $n=4m+1$ ($m\in \mathbb{N}$) : $\text{pgcd}(A;B)$ =
   $A=12m+14=2(6m+7)$ et $B=4m+6=2(2m+3)$ sont pairs, donc $2$ est un diviseur commun ; mais $B=4(m+1)+2$ n’est pas divisible par $4$. Le PGCD vaut $2$. Contrôle : pour $n=5$, $A=26$ et $B=10$.
4. Pour $n=4m+3$ ($m\in \mathbb{N}$) : $\text{pgcd}(A;B)$ =
   $A=12m+20=4(3m+5)$ et $B=4m+8=4(m+2)$ : $4$ est un diviseur commun, et c’est la plus grande valeur possible. Contrôle : pour $n=3$, $A=20$ et $B=8$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $A=3n+2$ et $B=5n+1$.

1. $5A-3B$ =
   $5A-3B$ $=15n+10-15n-3$ $=7$.
2. Démontrer que $\text{pgcd}(A;B)=7$ si et seulement si $n$ s’écrit $7k+4$ ($k\in \mathbb{N}$). Plus petit entier naturel $n$ pour lequel ce PGCD vaut $7$ :
   Rédaction attendue. Tout diviseur commun divise $5A-3B=7$, dont les diviseurs positifs sont $1$ et $7$ : $\text{pgcd}(A;B)$ vaut $1$ ou $7$, et il vaut $7$ si et seulement si $7$ divise $A$ et $B$. Écrivons $n=7k+r$ avec $0⩽r⩽6$ (division euclidienne par $7$) : $A=21k+3r+2$, et $3r+2$ prend les valeurs $2$, $5$, $8$, $11$, $14$, $17$ et $20$ ; seule $14$, obtenue pour $r=4$, est un multiple de $7$. Donc $7$ divise $A$ si et seulement si $n=7k+4$. Dans ce cas, $B=35k+21=7(5k+3)$ est aussi divisible par $7$. Conclusion : $\text{pgcd}(A;B)=7$ si et seulement si $n=7k+4$ ; le plus petit est $n=4$ ($A=14$, $B=21$).
3. Valeur de $\text{pgcd}(A;B)$ pour $n=2026$ :
   $2026=7\times 289+3$ : $2026$ ne s’écrit pas $7k+4$, donc le PGCD vaut $1$.
4. Nombre d’entiers $n$ compris entre $0$ et $100$ pour lesquels la fraction ${\displaystyle \frac{3n+2}{5n+1}}$ n’est pas irréductible :
   La fraction n’est pas irréductible si et seulement si le PGCD vaut $7$, c’est-à-dire si $n=7k+4$. Comme $7\times 13+4=95$ et $7\times 14+4=102$, il faut $0⩽k⩽13$ : $14$ valeurs.