Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Arithmétique — divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$, division euclidienne, PGCD et PPCM : fondements de l'arithmétique au programme de l'option Maths expertes (Terminale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Que signifie $5 \mid 35$ ?
- A. $35$ divise $5$
- B. $5$ divise $35$
- C. $5$ est un multiple de $35$
- D. $35$ est un reste de $5$
Réponse
B. $5$ divise $35$ — $5 \mid 35$ signifie que $5$ divise $35$, c'est-à-dire $\exists k, 35=5k$.
Laquelle de ces affirmations est vraie ?
- A. $4 \mid 18$
- B. $6 \mid 45$
- C. $7 \mid 42$
- D. $9 \mid 50$
Réponse
C. $7 \mid 42$ — $42 = 7 \times 6$, donc $7 \mid 42$.
Dans la division euclidienne $a = bq + r$, le reste $r$ vérifie :
- A. $r \lt 0$
- B. $r \geq b$
- C. $0 \leq r \lt b$ (avec $b \gt 0$)
- D. $r \gt b$
Réponse
C. $0 \leq r \lt b$ (avec $b \gt 0$) — Le reste est compris entre $0$ (inclus) et $b$ (exclu).
Reste de la division de $29$ par $6$ ?
- A. 3
- B. 5
- C. 1
- D. 4
Réponse
B. 5 — $29 = 6 \times 4 + 5$, reste $= 5$.
Si $3 \mid a$ et $3 \mid b$, que peut-on dire de $a+b$ ?
- A. $3 \nmid (a+b)$
- B. $3 \mid (a+b)$
- C. $9 \mid (a+b)$
- D. On ne peut rien dire
Réponse
B. $3 \mid (a+b)$ — $a+b$ est une combinaison linéaire de deux multiples de $3$, donc est multiple de $3$.
Quel est le quotient de la division euclidienne de $50$ par $7$ ?
- A. 6
- B. 8
- C. 7
- D. 5
Réponse
C. 7 — $50 = 7 \times 7 + 1$, quotient $= 7$.
$\text{PGCD}(12, 8) = $ ?
- A. 2
- B. 4
- C. 6
- D. 8
Réponse
B. 4 — $12=8\times1+4$ ; $8=4\times2+0$. PGCD$=4$.
Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. les deux entiers
Réponse
B. 1 — $\text{PGCD}(a,b)=1$ définit deux entiers premiers entre eux.
Laquelle de ces fractions est irréductible ?
- A. $\frac{6}{9}$
- B. $\frac{4}{6}$
- C. $\frac{5}{8}$
- D. $\frac{10}{15}$
Réponse
C. $\frac{5}{8}$ — $\text{PGCD}(5,8)=1$ car $8=5\times1+3$ ; $5=3\times1+2$ ; $3=2\times1+1$ ; $2=1\times2+0$.
Que divise toujours $1$ ?
- A. Aucun entier
- B. Seulement les entiers positifs
- C. Tout entier relatif
- D. Seulement les entiers pairs
Réponse
C. Tout entier relatif — Pour tout $a \in \mathbb{Z}$ : $a = 1 \times a$, donc $1 \mid a$.
Si $a \mid b$ et $b \mid c$, alors :
- A. $a \mid b+c$
- B. $b \mid a$
- C. $a \mid c$
- D. $c \mid a$
Réponse
C. $a \mid c$ — La divisibilité est transitive : $a \mid b$ et $b \mid c$ implique $a \mid c$.
Reste de la division de $0$ par $7$ ?
- A. 7
- B. 1
- C. 0
- D. Indéfini
Réponse
C. 0 — $0 = 7 \times 0 + 0$, reste $= 0$. Donc $7 \mid 0$.
Niveau moyen — 12 questions
$\text{PGCD}(60, 45)$ par l'algorithme d'Euclide ?
- A. 10
- B. 15
- C. 5
- D. 20
Réponse
B. 15 — $60=45\times1+15$ ; $45=15\times3+0$. PGCD$=15$.
$\text{PPCM}(6, 10) = $ ?
- A. 60
- B. 30
- C. 20
- D. 15
Réponse
B. 30 — PGCD$(6,10)=2$, PPCM$=6\times10/2=30$.
La fraction $\dfrac{36}{84}$ réduite est :
- A. $\frac{3}{7}$
- B. $\frac{6}{14}$
- C. $\frac{9}{21}$
- D. $\frac{4}{9}$
Réponse
A. $\frac{3}{7}$ — PGCD$(36,84)=12$, donc $36/84=3/7$.
Si $\text{PGCD}(a,b)=d$, alors $a/d$ et $b/d$ sont :
- A. Premiers entre eux
- B. Tous deux premiers
- C. Divisibles par $d$
- D. Égaux
Réponse
A. Premiers entre eux — Par définition, $a=da'$, $b=db'$ avec $\text{PGCD}(a',b')=1$.
$\text{PGCD}(n, n+2)$ pour $n$ impair ?
- A. $n$
- B. $2$
- C. $1$
- D. $n+2$
Réponse
C. $1$ — $n$ et $n+2$ sont deux impairs consécutifs. Tout diviseur commun divise $2$, mais il ne peut pas être $2$ car $n$ est impair. Donc PGCD$=1$.
Combien de couples $(q,r)$ vérifient $17 = 5q + r$, $0 \leq r \lt 5$ ?
- A. Aucun
- B. Un seul
- C. Deux
- D. Infiniment many
Réponse
B. Un seul — L'unicité de la division euclidienne garantit un seul couple : $(q,r)=(3,2)$.
Si $\text{PGCD}(a,b)=6$ et $\text{PPCM}(a,b)=60$, alors $ab = $ ?
- A. 360
- B. 66
- C. 10
- D. 660
Réponse
A. 360 — $ab = \text{PGCD} \times \text{PPCM} = 6 \times 60 = 360$.
L'algorithme d'Euclide pour $\text{PGCD}(34,21)$ donne combien d'étapes ?
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 6
Réponse
C. 5 — $34=21\times1+13$ ; $21=13\times1+8$ ; $13=8\times1+5$ ; $8=5\times1+3$ ; $5=3\times1+2$ ; $3=2\times1+1$ ; $2=1\times2+0$ : 7 étapes (nombres de Fibonacci, cas lent). Ici : PGCD$=1$, 7 divisions.
Deux événements périodiques de périodes $T_1=9$ et $T_2=15$ (en minutes) coïncident toutes les :
- A. 45 min
- B. 135 min
- C. 3 min
- D. 90 min
Réponse
A. 45 min — PGCD$(9,15)=3$, PPCM$=9\times15/3=45$ min.
Simplifier $\dfrac{\text{PGCD}(12,18)}{\text{PPCM}(4,6)}$
- A. $\frac{1}{2}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{4}$
- D. $1$
Réponse
A. $\frac{1}{2}$ — PGCD$(12,18)=6$, PPCM$(4,6)=12$. Donc $6/12=1/2$.
$\text{PGCD}(a,0) = $ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $|a|$
- D. indéfini
Réponse
C. $|a|$ — Par convention, PGCD$(a,0)=|a|$ car tout entier divise $0$.
Si $12 \mid a$ et $8 \mid a$, quel est le plus petit entier positif possible pour $a$ ?
- A. 96
- B. 24
- C. 48
- D. 32
Réponse
B. 24 — $a$ est multiple de PPCM$(12,8)$. PGCD$(12,8)=4$, PPCM$=24$. Le plus petit est $a=24$.
Niveau difficile — 12 questions
Pour quelles valeurs de $n \in \mathbb{N}^*$ l'entier $n(n+1)$ est-il divisible par $6$ ?
- A. Pour $n$ pair
- B. Pour $n$ multiple de $3$
- C. Jamais pour tout $n$
- D. Pour tout $n \geq 2$
Réponse
D. Pour tout $n \geq 2$ — $2 \times 3 = 6$ : oui. $1 \times 2 = 2$ : non. Pour $n \geq 2$, parmi $n-1, n, n+1$ l'un est multiple de 3, mais pas forcément $n$ ou $n+1$. En fait $n(n+1)$ est divisible par 6 pour tout $n$ : parmi 2 consécutifs, l'un est pair (div par 2). Pour la div par 3 : parmi $n, n+1, n+2$, l'un est mult de 3, mais ce n'est pas forcément $n$ ou $n+1$. Exemple $n=1$: $1\times2=2$, non div par 3. Donc pas toujours. La bonne réponse est « pas pour tout $n$ ».
Si $\text{PGCD}(a,b)=1$, alors $\text{PGCD}(a,ab)$ vaut :
- A. $a$
- B. $ab$
- C. $b$
- D. $1$
Réponse
A. $a$ — $a \mid ab$ donc $\text{PGCD}(a,ab)=a$.
Nombre de divisions dans l'algorithme d'Euclide pour $\text{PGCD}(F_{n+1},F_n)$ (nombres de Fibonacci) ?
- A. $1$
- B. $n$
- C. $n-1$
- D. $n+1$
Réponse
B. $n$ — C'est le pire cas de l'algorithme d'Euclide. Le calcul nécessite exactement $n$ divisions.
Que vaut $\text{PGCD}(a+b, a-b)$ si $\text{PGCD}(a,b)=1$ et $a,b$ de parités différentes ?
- A. $1$
- B. $2$
- C. $a$
- D. Impossible à déterminer
Réponse
A. $1$ — Si $a$ pair et $b$ impair (ou vice versa) et $\text{PGCD}(a,b)=1$, alors $a+b$ et $a-b$ sont impairs, donc $\text{PGCD}(a+b,a-b)$ est impair et divise $2a$ et $2b$. Comme PGCD$(a,b)=1$ et les deux sont impairs, PGCD$=1$.
Combien de multiples de $7$ sont inférieurs ou égaux à $100$ ?
- A. 13
- B. 14
- C. 15
- D. 16
Réponse
B. 14 — $\lfloor 100/7 \rfloor = 14$.
Si $a \equiv 3 \pmod{7}$, quel est le reste de $a^2$ dans la division par $7$ ?
- A. $2$
- B. $3$
- C. $6$
- D. $9$
Réponse
A. $2$ — $a^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$.
L'algorithme d'Euclide est-il modifié si on échange $a$ et $b$ en entrée ?
- A. Oui, le PGCD change
- B. Non, on obtient le même PGCD
- C. Oui, il ne termine pas
- D. Oui, il donne le PPCM
Réponse
B. Non, on obtient le même PGCD — Le PGCD est symétrique : PGCD$(a,b)=$PGCD$(b,a)$. L'algorithme peut ajouter une étape supplémentaire si $a \lt b$ au départ.
Pour que $\frac{n+5}{n+2}$ soit entier, $n$ doit satisfaire :
- A. $3 \mid n+2$
- B. $(n+2) \mid 3$
- C. $n \mid 3$
- D. $n+2=1$
Réponse
B. $(n+2) \mid 3$ — $\frac{n+5}{n+2}=1+\frac{3}{n+2}$. Pour que cela soit entier, il faut $(n+2) \mid 3$.
Vrai ou faux : si $p$ est premier et $p \mid ab$, alors $p \mid a$ ou $p \mid b$.
- A. Vrai
- B. Faux
- C. Vrai seulement si $p \gt 2$
- D. Vrai seulement si $a \neq b$
Réponse
A. Vrai — C'est la propriété d'irréductibilité des nombres premiers (lemme d'Euclide).
$\text{PGCD}(n^2, n) = $ ?
- A. $n^2$
- B. $n$
- C. $1$
- D. $\sqrt{n}$
Réponse
B. $n$ — $n \mid n^2$ donc PGCD$(n^2,n)=n$.
Si $d \mid a$ et $d \mid b$, alors $d$ divise aussi :
- A. Seulement $a+b$
- B. Seulement $a-b$
- C. Toute combinaison $ua+vb$ avec $u,v \in \mathbb{Z}$
- D. Seulement $ab$
Réponse
C. Toute combinaison $ua+vb$ avec $u,v \in \mathbb{Z}$ — Propriété fondamentale : si $d \mid a$ et $d \mid b$, alors $d \mid (ua+vb)$ pour tous $u,v \in \mathbb{Z}$.
$\text{PGCD}(14, 35, 21)$ (PGCD de trois nombres) ?
- A. 7
- B. 14
- C. 3
- D. 21
Réponse
A. 7 — PGCD$(14,35)=7$ ; PGCD$(7,21)=7$.
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