Divisibilité, division euclidienne et PGCD

1. a)$48\times 68=3264$ et $48\times 69=3312>3271$. Donc $3271=48\times 68+7$ avec $0⩽7<48$ : le quotient vaut $68$ et le reste $7$. (1)
2. b)En multipliant par $-1$ : $-3271=48\times (-68)-7$, mais $-7$ n’est pas un reste. On descend d’un multiple de $48$ : $-3271$ $=48\times (-69)+48-7$ $=48\times (-69)+41$. Comme $0⩽41<48$, c’est la division euclidienne : quotient $-69$, reste $41$. (1)
3. c)$48=16\times 3$, donc $3271$ $=48\times 68+7$ $=16\times (3\times 68)+7$ $=16\times 204+7$. Comme $0⩽7<16$, le reste de $3271$ par $16$ vaut $7$ (unicité de la division euclidienne). (1)
4. d)Soit $q\in \mathbb{Z}$. $48q+7=2(24q+3)+1$ avec $24q+3$ entier : ce nombre est impair, donc non divisible par $2$. De plus, $48q+7=3(16q+2)+1$ avec $16q+2$ entier et $0⩽1<3$ : son reste dans la division par $3$ vaut $1$, il n’est pas divisible par $3$. (1)

Repère — Un reste vérifie toujours 0 ≤ r < b : pour un dividende négatif, on descend d’un multiple du diviseur.

1. a)$3869=1\times 2279+1590$ ; $2279=1\times 1590+689$ ; $1590=2\times 689+212$ ; $689=3\times 212+53$ ; $212=4\times 53+0$. D’après la propriété $\text{pgcd}(a;b)=\text{pgcd}(b;r)$, le PGCD est le dernier reste non nul : $\text{pgcd}(3869;2279)=53$. Contrôle : $3869=53\times 73$ et $2279=53\times 43$. (1)
2. b)$7738=2\times 3869$ et $4558=2\times 2279$. D’après la propriété du facteur commun, $\text{pgcd}(7738;4558)$ $=2\times \text{pgcd}(3869;2279)$ $=2\times 53$ $=106$. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{2279}{3869}}$ $={\displaystyle \frac{53\times 43}{53\times 73}}$ $={\displaystyle \frac{43}{73}}$. Comme $53$ est le PGCD de $2279$ et $3869$, l’écriture de référence assure que $43$ et $73$ sont premiers entre eux : la fraction ${\displaystyle \frac{43}{73}}$ est irréductible. (1)
4. d)Les diviseurs communs de deux entiers sont exactement les diviseurs de leur PGCD, ici $53$. Or $53$ n’est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ (donc ni par $4$ ni par $6$), et $8\times 8=64>53$ : en cherchant ses diviseurs par paires, on trouve seulement $1$ et $53$. Les diviseurs communs positifs sont donc $1$ et $53$. (1)

Repère — Le PGCD est le dernier reste non nul ; ses diviseurs sont exactement les diviseurs communs.

1. a)On développe : $(n-2)(n+4)+3$ $=n^2+4n-2n-8+3$ $=n^2+2n-5$. L’égalité est vraie pour tout entier $n$. (1)
2. b)$n-2$ divise $(n-2)(n+4)$. Si $n-2$ divise $n^2+2n-5$, il divise la différence $(n^2+2n-5)-(n-2)(n+4)$ $=3$ ; réciproquement, s’il divise $3$, il divise la somme $(n-2)(n+4)+3$. Les diviseurs de $3$ dans $\mathbb{Z}$ sont $-3$, $-1$, $1$ et $3$, d’où $n-2\in \{-3;-1;1;3\}$ et $n\in \{-1;1;3;5\}$. (1)
3. c)Si $3n+1$ divise $n+9$, il divise la combinaison $3(n+9)-(3n+1)=26$. Comme $3n+1⩾1$, c’est un diviseur positif de $26$ : $1$, $2$, $13$ ou $26$. Seuls $1$ ($n=0$) et $13$ ($n=4$) s’écrivent $3n+1$ avec $n$ entier. Réciproque (nécessaire, car on a multiplié par $3$) : pour $n=0$, $1$ divise $9$ ; pour $n=4$, $13$ divise $13$. Les solutions sont $n=0$ et $n=4$. (1)
4. d)$d$ divise $n+4$ et $n-2$, donc toute combinaison linéaire de ces deux entiers, en particulier leur différence $(n+4)-(n-2)=6$. (1)

Repère — On fait apparaître un multiple du diviseur pour se ramener aux diviseurs d’une constante, puis on vérifie la réciproque.

1. a)Pour $n=3$ : $A=11$ et $B=33=11\times 3$ ; $11$ divise $33$, donc $\text{pgcd}(A;B)=11$. Pour $n=8$ : $A=21$ et $B=68$ ; $68=3\times 21+5$ ; $21=4\times 5+1$ ; $5=5\times 1+0$, donc $\text{pgcd}(A;B)=1$. (1)
2. b)Si $d$ divise $A$ et $B$, il divise la combinaison linéaire $7A-2B$ $=14n+35-14n-24$ $=11$. (1)
3. c)Le PGCD est un diviseur positif de $11$, dont les seuls diviseurs positifs sont $1$ et $11$ : il vaut $1$ ou $11$. Il vaut $11$ si et seulement si $11$ divise $A$ et $B$. Écrivons $n=11m+r$ avec $0⩽r⩽10$ : $A=22m+2r+5$, et $2r+5$ prend les valeurs impaires de $5$ à $25$ ; la seule qui soit un multiple de $11$ est $11$, obtenue pour $r=3$. Donc $11$ divise $A$ si et seulement si $n=11m+3$. Dans ce cas, $B$ $=7(11m+3)+12$ $=77m+33$ $=11(7m+3)$ est aussi divisible par $11$. Conclusion : $\text{pgcd}(A;B)=11$ si et seulement si $n=11m+3$ avec $m\in \mathbb{N}$. (1)
4. d)La fraction est irréductible si et seulement si $\text{pgcd}(A;B)=1$, c’est-à-dire pour tous les entiers naturels $n$ qui ne s’écrivent pas $11m+3$ (par exemple $n=8$, mais pas $n=3$ ni $n=14$). (1)

Repère — La combinaison linéaire donne les valeurs possibles du PGCD ; une disjonction des cas selon le reste dit lesquelles sont atteintes.

1. a)Comme $14=\text{pgcd}(a;b)$, $14$ divise $a$ et $b$ : $a=14a\prime$ et $b=14b\prime$ avec $a\prime$ et $b\prime$ entiers naturels non nuls, et l’écriture de référence assure que $a\prime$ et $b\prime$ sont premiers entre eux. Alors $a+b$ $=14(a\prime +b\prime )$ $=168$ $=14\times 12$, d’où $a\prime +b\prime =12$. (1)
2. b)Si $d$ divise $a\prime$ et $b\prime$, il divise $a\prime +b\prime =12$ : c’est un diviseur commun de $a\prime$ et $12$. Réciproquement, si $d$ divise $a\prime$ et $12$, il divise $12-a\prime =b\prime$. Les couples $(a\prime ;b\prime )$ et $(a\prime ;12)$ ont les mêmes diviseurs communs, donc $\text{pgcd}(a\prime ;b\prime )=\text{pgcd}(a\prime ;12)$. (1)
3. c)Comme $a⩽b$, $a\prime ⩽b\prime =12-a\prime$, donc $1⩽a\prime ⩽6$. On cherche ceux pour lesquels $\text{pgcd}(a\prime ;12)=1$ : $\text{pgcd}(1;12)=1$, $\text{pgcd}(2;12)=2$, $\text{pgcd}(3;12)=3$, $\text{pgcd}(4;12)=4$, $\text{pgcd}(5;12)=1$, $\text{pgcd}(6;12)=6$. Il reste $a\prime =1$ ($b\prime =11$) et $a\prime =5$ ($b\prime =7$). Réciproquement, l’écriture de référence donne alors un PGCD égal à $14$. Les solutions sont $(14;154)$ et $(70;98)$. (1)
4. d)$42+126=168$. Mais $126=3\times 42$, donc $42$ divise $126$ et $\text{pgcd}(42;126)=42$, et non $14$ : on a $a\prime =3$ et $b\prime =9$, qui ne sont pas premiers entre eux. (1)

Repère — Avec un PGCD imposé d, on écrit a = da′, b = db′ avec a′ et b′ premiers entre eux, sans oublier d’éliminer les couples qui ne le sont pas.