Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Arithmétique — divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$, division euclidienne, PGCD et PPCM : fondements de l'arithmétique au programme de l'option Maths expertes (Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Divisibilité et division euclidienne
/ 4 pts- Soit $a = 5$ et $b = 3$. Montrer que $a \mid (a^2 - a)$ et que $b \nmid (a^2 - a)$.
- Effectuer la division euclidienne de $-83$ par $11$ et écrire l'égalité $a = bq + r$.
- Montrer que si $n \in \mathbb{Z}$ alors $6 \mid n(n+1)(n+2)$.
Exercice 2 — Algorithme d'Euclide
/ 5 pts- Calculer $\text{PGCD}(378, 252)$ en détaillant toutes les étapes de l'algorithme d'Euclide.
- En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{378}{252}$.
- Calculer $\text{PPCM}(378, 252)$.
Exercice 3 — Entiers premiers entre eux
/ 4 pts- Montrer que $\text{PGCD}(n, n+3) \in \{1, 3\}$ pour tout entier $n \gt 0$.
- Donner un exemple où $\text{PGCD}(n, n+3) = 3$ et un exemple où $\text{PGCD}(n, n+3) = 1$.
- En déduire pour quelles valeurs de $n$ les entiers $n$ et $n+3$ sont premiers entre eux.
Exercice 4 — Problème de calendrier
/ 4 pts- Deux satellites A et B survolent la même base à $t = 0$. A repasse toutes les $56$ jours, B toutes les $40$ jours. Calculer $\text{PGCD}(56, 40)$ et $\text{PPCM}(56, 40)$.
- Au bout de combien de jours les deux satellites survolent-ils simultanément la base pour la première fois après $t = 0$ ?
- Combien de fois cela se produira-t-il au cours de la première année (365 jours), $t=0$ compris ?
Exercice 5 — Raisonnement général
/ 3 pts- Soit $d = \text{PGCD}(a,b)$. On pose $a = d\alpha$ et $b = d\beta$. Montrer que $\text{PGCD}(\alpha, \beta) = 1$.
- Montrer que si $a \mid c$ et $b \mid c$ et $\text{PGCD}(a,b)=1$, alors $ab \mid c$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Divisibilité et division euclidienne
Corrigé :
1. $a^2 - a = 25 - 5 = 20 = 5 \times 4$, donc $5 \mid 20$. Or $20 = 3 \times 6 + 2$, reste $2 \neq 0$, donc $3 \nmid 20$.
2. $-83 = 11 \times (-8) + 5$ car $11 \times (-8) = -88$ et $-83 - (-88) = 5$. Vérification : $0 \leq 5 \lt 11$. ✓
3. Parmi trois entiers consécutifs $n, n+1, n+2$ : l'un est divisible par $3$ (les entiers sont répartis en classes mod 3). De plus, parmi deux entiers consécutifs quelconques, l'un est pair. Donc $2 \mid n(n+1)(n+2)$ et $3 \mid n(n+1)(n+2)$. Comme $\text{PGCD}(2,3)=1$, on conclut $6 \mid n(n+1)(n+2)$.
Exercice 2 — Algorithme d'Euclide
Corrigé :
1. Algorithme d'Euclide :
$378 = 252 \times 1 + 126$
$252 = 126 \times 2 + 0$
Donc $\text{PGCD}(378, 252) = 126$.
2. $\frac{378}{252} = \frac{378/126}{252/126} = \frac{3}{2}$. Les entiers $3$ et $2$ sont premiers entre eux ($\text{PGCD}(3,2)=1$).
3. $\text{PPCM}(378,252) = \frac{378 \times 252}{126} = \frac{95256}{126} = 756$.
Exercice 3 — Entiers premiers entre eux
Corrigé :
1. Soit $d = \text{PGCD}(n, n+3)$. Alors $d \mid n$ et $d \mid (n+3)$, donc $d \mid [(n+3) - n] = 3$. Ainsi $d$ divise $3$, donc $d \in \{1, 3\}$.
2. $\text{PGCD}(6, 9) = 3$ (exemple avec $d=3$). $\text{PGCD}(5, 8) = 1$ (exemple avec $d=1$).
3. $d = 3$ ssi $3 \mid n$. Donc $n$ et $n+3$ sont premiers entre eux ssi $n$ n'est pas divisible par $3$, c'est-à-dire $n \not\equiv 0 \pmod{3}$.
Exercice 4 — Problème de calendrier
Corrigé :
1. Algorithme d'Euclide : $56 = 40 \times 1 + 16$ ; $40 = 16 \times 2 + 8$ ; $16 = 8 \times 2 + 0$. Donc $\text{PGCD}(56,40) = 8$. $\text{PPCM}(56,40) = 56 \times 40 / 8 = 280$.
2. Ils survolent simultanément pour la première fois après $t = 0$ au bout de $\text{PPCM}(56,40) = 280$ jours.
3. Les instants de survol commun sont $t = 0, 280, 560, \ldots$ On cherche $280k \leq 365$, soit $k \leq 1{,}30$, donc $k \in \{0, 1\}$ : $2$ fois ($t=0$ et $t=280$).
Exercice 5 — Raisonnement général
Corrigé :
1. Soit $\delta = \text{PGCD}(\alpha,\beta)$. Alors $\delta \mid \alpha$ et $\delta \mid \beta$, donc $d\delta \mid d\alpha = a$ et $d\delta \mid d\beta = b$. Ainsi $d\delta$ est un diviseur commun de $a$ et $b$. Or $d = \text{PGCD}(a,b)$ est le plus grand, donc $d\delta \leq d$, soit $\delta \leq 1$. Comme $\delta \geq 1$, on conclut $\delta = 1$.
2. Puisque $a \mid c$, on peut écrire $c = ak$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$. Puisque $b \mid c = ak$ et $\text{PGCD}(a,b)=1$, d'après le lemme de Gauss (admis ici), $b \mid k$. On écrit $k = b\ell$, d'où $c = ab\ell$, soit $ab \mid c$.
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Arithmétique — divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Divisibilité et division euclidienne/ 4 pts
- Exercice 2 — Algorithme d'Euclide/ 5 pts
- Exercice 3 — Entiers premiers entre eux/ 4 pts
- Exercice 4 — Problème de calendrier/ 4 pts
- Exercice 5 — Raisonnement général/ 3 pts
Notions évaluées
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ : définitions et premières propriétés, Division euclidienne, PGCD — définition et propriétés, Algorithme d'Euclide, Entiers premiers entre eux, PPCM et lien avec le PGCD.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Arithmétique — divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Arithmétique — divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ : définitions et premières propriétés, Division euclidienne, PGCD — définition et propriétés, Algorithme d'Euclide.
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