Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites géométriques » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Suites géométriques » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale.

Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Ressources · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)

Suites géométriques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à taux constant (évolutions exponentielles discrètes)

À propos de cette page

Ce devoir surveillé sur « Suites géométriques » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel, Terme général et relation entre deux termes, Sens de variation, Somme de termes consécutifs. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).

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Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

benprofparticulier.frMaths complémentaires (option Tle) · Terminale

Devoir surveillé – Suites géométriques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à taux constant (évolutions exponentielles discrètes)

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Terme général et sens de variation

(4 pts)

a) $(u_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 250$ et de raison $0, 4$ . Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
b)Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c)Calculer $u_{5}$ .
d)Déterminer le sens de variation de $(u_{n})$ en justifiant.

Exercice 2 – Retrouver la raison

(4 pts)

a) $(u_{n})$ est une suite géométrique à termes strictement positifs, avec $u_{1} = 40$ et $u_{3} = 102, 4$ . Déterminer sa raison $q$ .
b)Calculer $u_{0}$ et exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c)Calculer $u_{6}$ .
d)Montrer que, pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = 0, 6 u_{n}$ et en déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .

Exercice 3 – Sommes de termes consécutifs

(4 pts)

a)Calculer $S = 1 + 5 + 5^{2} + \dots + 5^{6}$ .
b)Calculer $T = 1000 + 100 + 10 + 1 + 0, 1$ à l'aide de la formule de somme géométrique.
c)Pour $u_{n} = 2 \times (- 3)^{n}$ , calculer $U = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{5}$ .
d) $(w_{n})$ est géométrique de raison 2 avec $w_{4} = 3$ . Calculer $w_{4} + w_{5} + \dots + w_{17}$ .

Exercice 4 – Une salle de sport

(4 pts)

a)Une salle de sport compte 850 adhérents en 2026 ; ce nombre augmente de 6 % par an. On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents en $2026 + n$ . Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$ en justifiant.
b)Estimer le nombre d'adhérents en 2029.
c)Un employé annonce une hausse de 18 % entre 2026 et 2029. Expliquer son erreur et donner le taux global, à 0,1 % près.
d)Déterminer l'année à partir de laquelle la salle dépasse 1 200 adhérents.

Exercice 5 – Suite auxiliaire et algorithme

(4 pts)

a)On définit $u_{0} = 5$ et, pour tout $n$ , $u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 6$ . Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , puis montrer que $(u_{n})$ n'est pas géométrique.
b)On pose $v_{n} = u_{n} - 20$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
c)En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d)Écrire un programme Python qui affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} > 19$ , et donner cet entier.

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Suites géométriques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à taux constant (évolutions exponentielles discrètes)

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Maths complémentaires (option Tle) Terminale

Exercice 1 – Terme général et sens de variation

(4 pts)

a) $u_{1} = 250 \times 0, 4 = 100$ ; $u_{2} = 100 \times 0, 4 = 40$ . (1)
b)Suite géométrique de premier terme 250 et de raison 0,4 : $u_{n} = 250 \times 0, 4^{n}$ . (1)
c) $u_{5} = 250 \times 0, 4^{5} = 250 \times 0, 010 24 = 2, 56$ . (1)
d) $u_{n + 1} - u_{n} = 250 \times 0, 4^{n} \times (0, 4 - 1) = - 150 \times 0, 4^{n} < 0$ : $(u_{n})$ est strictement décroissante ( $u_{0} > 0$ , $0 < q < 1$ ). (1)

Erreur fréquente — Écrire $u_{5} = 250 \times 0, 4 \times 5$ : la raison est un facteur répété, elle apparaît donc en puissance.

Exercice 2 – Retrouver la raison

(4 pts)

a) $u_{3} = u_{1} \times q^{2}$ donc $q^{2} = \frac{102, 4}{40} = 2, 56$ , d'où $q = 1, 6$ ou $q = - 1, 6$ ; les termes étant positifs, $q > 0$ : $q = 1, 6$ . (1)
b) $u_{0} = \frac{u_{1}}{q} = \frac{40}{1, 6} = 25$ ; $u_{n} = 25 \times 1, 6^{n}$ . (1)
c) $u_{6} = 25 \times 1, 6^{6} = 25 \times 16, 777 216 = 419, 4304$ . (1)
d) $u_{n + 1} - u_{n} = 1, 6 u_{n} - u_{n} = 0, 6 u_{n} > 0$ car $u_{n} > 0$ : $(u_{n})$ est strictement croissante. (1)

À retenir — L'équation $q^{2} = 2, 56$ a deux solutions : c'est le signe des termes qui permet de choisir.

Exercice 3 – Sommes de termes consécutifs

(4 pts)

a)Raison 5, 7 termes : $S = \frac{1 - 5^{7}}{1 - 5} = \frac{1 - 78 125}{- 4} = 19 531$ . (1)
b)Raison 0,1, premier terme 1000, 5 termes : $T = 1000 \times \frac{1 - 0, 1^{5}}{1 - 0, 1} = 1000 \times \frac{0, 999 99}{0, 9} = 1111, 1$ . (1)
c)Raison $- 3$ , premier terme 2, 6 termes : $U = 2 \times \frac{1 - (- 3)^{6}}{1 - (- 3)} = 2 \times \frac{1 - 729}{4} = - 364$ . (1)
d) $17 - 4 + 1 = 14$ termes : $3 \times \frac{1 - 2^{14}}{1 - 2} = 3 \times 16 383 = 49 149$ . (1)

Repère — L'exposant de la formule est toujours le nombre de termes, soit $n - p + 1$ de $u_{p}$ à $u_{n}$ .

Exercice 4 – Une salle de sport

(4 pts)

a)Hausse de 6 % : multiplication par 1,06, donc $a_{n + 1} = 1, 06 a_{n}$ ; suite géométrique : $a_{n} = 850 \times 1, 06^{n}$ . (1)
b) $a_{3} = 850 \times 1, 06^{3} = 850 \times 1, 191 016 \approx 1012$ adhérents. (1)
c)Les taux ne s'additionnent pas, les coefficients se multiplient : $1, 06^{3} \approx 1, 1910$ , soit une hausse de 19,1 %. (1)
d) $a_{5} \approx 1137, 5 < 1200$ et $a_{6} \approx 1205, 7 > 1200$ ; la suite étant croissante, le seuil est dépassé à partir de 2032. (1)

Le point clé — Sur $n$ périodes à taux constant, on multiplie par $q^{n}$ , jamais par $n \times t$ .

Exercice 5 – Suite auxiliaire et algorithme

(4 pts)

a) $u_{1} = 3, 5 + 6 = 9, 5$ ; $u_{2} = 6, 65 + 6 = 12, 65$ . $\frac{u_{1}}{u_{0}} = 1, 9$ mais $\frac{u_{2}}{u_{1}} \approx 1, 33$ : pas géométrique. (1)
b) $v_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 6 - 20 = 0, 7 (u_{n} - 20) = 0, 7 v_{n}$ : raison 0,7, premier terme $v_{0} = - 15$ . (1)
c) $v_{n} = - 15 \times 0, 7^{n}$ , donc $u_{n} = 20 - 15 \times 0, 7^{n}$ . (1)
d)u = 5 ; n = 0 ; while u <= 19: u = 0.7*u + 6 ; n = n + 1 ; print(n) (une instruction par ligne). $u_{7} \approx 18, 76$ et $u_{8} \approx 19, 14$ : $n = 8$ . (1)

Attention — Une suite de la forme $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $b \neq 0$ n'est pas géométrique : on passe par une suite auxiliaire.

Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Suites géométriques » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Terme général et sens de variation/ 4 pts
Exercice 2 — Retrouver la raison/ 4 pts
Exercice 3 — Sommes de termes consécutifs/ 4 pts
Exercice 4 — Une salle de sport/ 4 pts
Exercice 5 — Suite auxiliaire et algorithme/ 4 pts

Notions évaluées

L'essentiel, Terme général et relation entre deux termes, Sens de variation, Somme de termes consécutifs, Modèles à taux constant, Méthodes.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites géométriques » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Suites géométriques » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit L'essentiel, Terme général et relation entre deux termes, Sens de variation, Somme de termes consécutifs.

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