Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Suites géométriques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à taux constant (évolutions exponentielles discrètes)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Suites géométriques » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en maths complémentaires (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Terme général et relation entre deux termes, Sens de variation, Somme de termes consécutifs. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser maths complémentaires (option tle) en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Premiers termes et forme explicite

Facile

$(u_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 7$ et de raison $q = 4$ .

a) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer $u_{6}$ .
d) Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .

a) Par définition d'une suite géométrique de raison 4, $u_{n + 1} = 4 u_{n}$ pour tout $n$ . Donc $u_{1} = 4 \times 7 = 28$ , $u_{2} = 4 \times 28 = 112$ et $u_{3} = 4 \times 112 = 448$ . $u_{1} = 28$ , $u_{2} = 112$ , $u_{3} = 448$ .

b) Suite géométrique de premier terme $u_{0} = 7$ et de raison $q = 4$ : pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 7 \times 4^{n}$ .

c) $u_{6} = 7 \times 4^{6} = 7 \times 4096 =$ 28 672.

d) Pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = 7 \times 4^{n + 1} - 7 \times 4^{n} = 7 \times 4^{n} \times (4 - 1) = 21 \times 4^{n}$ , qui est strictement positif. Ceci correspond au cas $u_{0} > 0$ et $q > 1$ du cours. La suite $(u_{n})$ est donc strictement croissante.

Exercice 2 — Suite commençant au rang 1

Facile

$(v_{n})$ est la suite géométrique définie pour $n \geq 1$ , de premier terme $v_{1} = 81$ et de raison $q = \frac{1}{3}$ .

a) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour $n \geq 1$ .
b) Calculer $v_{5}$ puis $v_{7}$ (valeurs exactes).
c) Montrer que, pour tout $n \geq 1$ , $v_{n + 1} - v_{n} = - \frac{2}{3} v_{n}$ , puis en déduire le sens de variation de $(v_{n})$ .

a) La suite commence au rang 1, donc $v_{n} = v_{1} \times q^{n - 1}$ : $v_{n} = 81 \times {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{81}{3^{n - 1}}$ .

b) $v_{5} = \frac{81}{3^{4}} = \frac{81}{81} =$ 1 et $v_{7} = \frac{81}{3^{6}} = \frac{81}{729} =$ $\frac{1}{9}$ . Contrôle : $v_{7} = v_{5} \times q^{2} = 1 \times \frac{1}{9}$ .

c) Pour tout $n \geq 1$ , $v_{n + 1} = \frac{1}{3} v_{n}$ , donc $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{3} v_{n} - v_{n} = - \frac{2}{3} v_{n}$ . Or $v_{n} = \frac{81}{3^{n - 1}} > 0$ pour tout $n$ , donc $v_{n + 1} - v_{n} < 0$ . La suite $(v_{n})$ est strictement décroissante (cas $v_{1} > 0$ et $0 < q < 1$ ).

Exercice 3 — Un loyer indexé

Facile

En 2026, le loyer mensuel d'un appartement est de 640 €. Le bail prévoit une hausse de 1,8 % par an. On note $L_{n}$ le loyer mensuel (en euros) de l'année $2026 + n$ ; ainsi $L_{0} = 640$ .

a) Justifier que $(L_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
b) Exprimer $L_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer le loyer mensuel en 2031, arrondi au centime.
d) Un locataire affirme : « En cinq ans, mon loyer aura augmenté de $5 \times 1, 8 = 9$ %. » Expliquer son erreur et donner le taux d'évolution global, arrondi à 0,01 %.

a) Augmenter une quantité de 1,8 % revient à la multiplier par $1 + \frac{1, 8}{100} = 1, 018$ . Donc, pour tout $n$ , $L_{n + 1} = 1, 018 L_{n}$ : $(L_{n})$ est géométrique de raison $q = 1, 018$ et de premier terme $L_{0} = 640$ .

b) Pour tout entier naturel $n$ , $L_{n} = 640 \times 1, 018^{n}$ .

c) 2031 correspond à $n = 5$ : $L_{5} = 640 \times 1, 018^{5} \approx 640 \times 1, 093 299 \approx$ 699,71 €.

d) Chaque hausse s'applique au loyer déjà augmenté : les coefficients se multiplient, les taux ne s'additionnent pas. Le coefficient global est $1, 018^{5} \approx 1, 0933$ , soit une hausse globale d'environ 9,33 %, légèrement supérieure aux 9 % annoncés. Contrôle : $\frac{699, 71}{640} \approx 1, 0933$ .

Exercice 4 — Retrouver une suite à partir de deux termes

Moyen

$(u_{n})$ est une suite géométrique telle que $u_{2} = 40$ et $u_{5} = 5$ .

a) Déterminer la raison $q$ de la suite.
b) Calculer $u_{0}$ .
c) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d) Calculer $u_{9}$ sous forme décimale.

a) D'après la relation $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ , on a $u_{5} = u_{2} \times q^{3}$ , donc $q^{3} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ . Le seul réel dont le cube vaut $\frac{1}{8}$ est $\frac{1}{2}$ : $q = \frac{1}{2}$ .

b) $u_{2} = u_{0} \times q^{2}$ , donc $u_{0} = \frac{u_{2}}{q^{2}} = \frac{40}{1 / 4} =$ 160.

c) Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 160 \times {(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{160}{2^{n}}$ .

d) $u_{9} = \frac{160}{2^{9}} = \frac{160}{512} =$ 0,3125. Contrôle par un autre chemin : $u_{9} = u_{5} \times q^{4} = 5 \times \frac{1}{16} = 0, 3125$ .

Exercice 5 — Géométrique ou non ?

Moyen

On considère les suites définies pour tout entier naturel $n$ par $a_{n} = \frac{5^{n + 1}}{3^{n}}$ , $b_{n} = 3^{n} + 1$ et $c_{n} = 2 \times (- 5)^{n}$ .

a) Montrer que $(a_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b) En déduire le sens de variation de $(a_{n})$ .
c) La suite $(b_{n})$ est-elle géométrique ? Justifier.
d) Montrer que $(c_{n})$ est géométrique, puis expliquer pourquoi elle n'est pas monotone.

a) Pour tout $n$ , $a_{n + 1} = \frac{5^{n + 2}}{3^{n + 1}} = \frac{5}{3} \times \frac{5^{n + 1}}{3^{n}} = \frac{5}{3} a_{n}$ . Donc $(a_{n})$ est géométrique de raison $\frac{5}{3}$ et de premier terme $a_{0} = \frac{5^{1}}{3^{0}} = 5$ .

b) $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{5}{3} a_{n} - a_{n} = \frac{2}{3} a_{n}$ . Or $a_{n} = 5 \times {(\frac{5}{3})}^{n} > 0$ , donc $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ : $(a_{n})$ est strictement croissante (cas $a_{0} > 0$ , $q > 1$ ).

c) $b_{0} = 2$ , $b_{1} = 4$ , $b_{2} = 10$ . Alors $\frac{b_{1}}{b_{0}} = 2$ mais $\frac{b_{2}}{b_{1}} = 2, 5$ . Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant : $(b_{n})$ n'est pas géométrique.

d) $c_{n + 1} = 2 \times (- 5)^{n + 1} = - 5 \times 2 \times (- 5)^{n} = - 5 c_{n}$ : $(c_{n})$ est géométrique de raison $- 5$ et de premier terme $c_{0} = 2$ . Or $c_{0} = 2$ , $c_{1} = - 10$ , $c_{2} = 50$ : on a $c_{1} < c_{0}$ mais $c_{2} > c_{1}$ . La raison étant négative, les termes changent de signe à chaque rang : $(c_{n})$ n'est ni croissante ni décroissante.

Exercice 6 — Trois sommes et une erreur

Moyen

Calculer les sommes suivantes (valeurs exactes).

a) $S_{1} = 1 + 6 + 6^{2} + \dots + 6^{5}$ .
b) $S_{2} = 10 + 2 + 0, 4 + \dots + 10 \times 0, 2^{5}$ .
c) $S_{3} = u_{4} + u_{5} + \dots + u_{10}$ , où $u_{n} = 3 \times (- 2)^{n}$ pour tout $n$ .
d) Pour $S_{3}$ , un élève écrit $S_{3} = u_{4} \times \frac{1 - (- 2)^{6}}{1 - (- 2)}$ . Expliquer son erreur.

a) Termes d'une suite géométrique de raison $6 \neq 1$ , exposants de 0 à 5 : 6 termes. $S_{1} = \frac{1 - 6^{6}}{1 - 6} = \frac{1 - 46 656}{- 5} = \frac{- 46 655}{- 5} =$ 9 331.

b) Chaque terme est le précédent multiplié par 0,2 ( $10 \times 0, 2 = 2$ ; $2 \times 0, 2 = 0, 4$ ) : raison $0, 2$ , premier terme 10, exposants de 0 à 5, donc 6 termes. $S_{2} = 10 \times \frac{1 - 0, 2^{6}}{1 - 0, 2} = 10 \times \frac{1 - 0, 000 064}{0, 8} = 12, 5 \times 0, 999 936 =$ 12,4992.

c) $u_{n + 1} = 3 \times (- 2)^{n + 1} = - 2 u_{n}$ : suite géométrique de raison $- 2$ . Premier terme de la somme : $u_{4} = 3 \times 16 = 48$ ; nombre de termes : $10 - 4 + 1 = 7$ . $S_{3} = 48 \times \frac{1 - (- 2)^{7}}{1 - (- 2)} = 48 \times \frac{1 + 128}{3} = 16 \times 129 =$ 2 064.

d) L'exposant doit être le nombre de termes, soit 7, et non l'écart $10 - 4 = 6$ . Sa formule donne $48 \times \frac{1 - 64}{3} = - 1008$ , qui est en réalité $u_{4} + \dots + u_{9}$ : il a oublié $u_{10} = 3072$ . On retrouve bien $- 1008 + 3072 = 2064$ .

Exercice 7 — Placement à intérêts composés

Moyen

Le 1er janvier 2026, on place 3 500 € sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 2,4 % : chaque 1er janvier, les intérêts de l'année écoulée s'ajoutent au capital. On note $C_{n}$ le capital (en euros) au 1er janvier $2026 + n$ .

a) Exprimer $C_{n + 1}$ en fonction de $C_{n}$ , puis $C_{n}$ en fonction de $n$ .
b) Calculer le capital au 1er janvier 2036, arrondi au centime.
c) Quel est le montant total des intérêts acquis entre 2026 et 2036 ?
d) Montrer que $C_{n} \geq 7000$ équivaut à $1, 024^{n} \geq 2$ , puis déterminer l'année à partir de laquelle le capital aura doublé.

a) Chaque année, le capital augmente de 2,4 %, c'est-à-dire qu'il est multiplié par $1, 024$ : $C_{n + 1} = 1, 024 C_{n}$ . La suite $(C_{n})$ est géométrique de raison $1, 024$ et de premier terme $C_{0} = 3500$ , donc $C_{n} = 3500 \times 1, 024^{n}$ .

b) 2036 correspond à $n = 10$ : $C_{10} = 3500 \times 1, 024^{10} \approx 3500 \times 1, 267 651 \approx$ 4 436,78 €.

c) Intérêts acquis : $4436, 78 - 3500 =$ 936,78 €.

d) Comme $3500 > 0$ , $C_{n} \geq 7000 ⟺ 1, 024^{n} \geq \frac{7000}{3500} ⟺ 1, 024^{n} \geq 2$ . Ce critère ne dépend pas du capital placé. À la calculatrice : $1, 024^{29} \approx 1, 9893 < 2$ et $1, 024^{30} \approx 2, 0370 \geq 2$ ; la suite $(1, 024^{n})$ étant croissante, le plus petit entier convenable est $n = 30$ ( $C_{29} \approx 6 963$ € et $C_{30} \approx 7 130$ €). Le capital aura doublé au 1er janvier 2056.

Exercice 8 — Somme de puissances de 7 et seuil

Difficile

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $S_{n} = 1 + 7 + 7^{2} + \dots + 7^{n}$ .

a) Montrer que $S_{n} = \frac{7^{n + 1} - 1}{6}$ .
b) Calculer $S_{4}$ de deux façons différentes.
c) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 50 000$ .
d) Un élève écrit $S_{n} = \frac{1 - 7^{n}}{1 - 7}$ . Expliquer son erreur en testant sa formule pour $n = 1$ .

a) $S_{n}$ est la somme des termes $7^{0}, 7^{1}, \dots, 7^{n}$ d'une suite géométrique de raison $7 \neq 1$ : elle compte $n + 1$ termes. D'après le cours, $S_{n} = \frac{1 - 7^{n + 1}}{1 - 7} = \frac{1 - 7^{n + 1}}{- 6}$ . En multipliant numérateur et dénominateur par $- 1$ : $S_{n} = \frac{7^{n + 1} - 1}{6}$ .

b) Directement : $S_{4} = 1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801$ . Par la formule : $S_{4} = \frac{7^{5} - 1}{6} = \frac{16 807 - 1}{6} = \frac{16 806}{6} = 2801$ . $S_{4} = 2801$ .

c) $S_{n} > 50 000 ⟺ 7^{n + 1} - 1 > 300 000 ⟺ 7^{n + 1} > 300 001$ . Or $7^{6} = 117 649$ et $7^{7} = 823 543$ ; les puissances de 7 étant croissantes, le plus petit exposant convenable est $n + 1 = 7$ . Contrôle : $S_{5} = 19 608$ et $S_{6} = 137 257$ . Le plus petit entier est $n = 6$ .

d) Pour $n = 1$ : $S_{1} = 1 + 7 = 8$ , alors que sa formule donne $\frac{1 - 7}{1 - 7} = 1$ . Son erreur : $S_{n}$ contient $n + 1$ termes (exposants de 0 à $n$ ), pas $n$ . L'exposant dans la formule doit être $n + 1$ .

Exercice 9 — Produit, sous-suite et somme de suites géométriques

Difficile

$(u_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 0, 4$ et de raison $2, 5$ ; $(v_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 10$ et de raison $0, 6$ .

a) Montrer que la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} \times v_{n}$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
b) Étudier le sens de variation de $(w_{n})$ .
c) Montrer que la suite $(t_{n})$ définie par $t_{n} = u_{2 n}$ est géométrique et exprimer $t_{n}$ en fonction de $n$ .
d) La suite $(s_{n})$ définie par $s_{n} = u_{n} + v_{n}$ est-elle géométrique ? Justifier.

a) Pour tout $n$ , $w_{n + 1} = u_{n + 1} \times v_{n + 1} = (2, 5 u_{n}) (0, 6 v_{n}) = 1, 5 u_{n} v_{n} = 1, 5 w_{n}$ . Donc $(w_{n})$ est géométrique de raison $1, 5$ et de premier terme $w_{0} = 0, 4 \times 10 = 4$ : $w_{n} = 4 \times 1, 5^{n}$ .

b) $w_{n + 1} - w_{n} = 4 \times 1, 5^{n} \times (1, 5 - 1) = 2 \times 1, 5^{n} > 0$ : $(w_{n})$ est strictement croissante.

c) $t_{n} = u_{2 n} = 0, 4 \times 2, 5^{2 n} = 0, 4 \times (2, 5^{2})^{n} = 0, 4 \times 6, 25^{n}$ . Donc $t_{n + 1} = 6, 25 t_{n}$ : $(t_{n})$ est géométrique de raison $6, 25$ et $t_{n} = 0, 4 \times 6, 25^{n}$ .

d) $s_{0} = 0, 4 + 10 = 10, 4$ ; $s_{1} = 1 + 6 = 7$ ; $s_{2} = 2, 5 + 3, 6 = 6, 1$ . Alors $\frac{s_{1}}{s_{0}} \approx 0, 673$ et $\frac{s_{2}}{s_{1}} \approx 0, 871$ : ces quotients diffèrent, donc $(s_{n})$ n'est pas géométrique. Le produit de deux suites géométriques l'est toujours, pas leur somme (sauf cas particuliers, par exemple raisons égales).

Exercice 10 — Élimination d'un médicament

Difficile

On injecte un médicament à un patient. Juste après l'injection, la concentration dans le sang est de 8,5 mg/L ; elle diminue ensuite de 12 % chaque heure. On note $C_{n}$ la concentration (en mg/L) au bout de $n$ heures.

a) Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ en justifiant.
b) Calculer la concentration au bout de 6 heures, arrondie à 0,01 mg/L.
c) Montrer que la suite $(C_{n})$ est strictement décroissante.
d) Le médicament doit être réinjecté dès que la concentration devient inférieure à 2 mg/L. Écrire une fonction Python $r e i n j e c t i o n ()$ qui renvoie le nombre d'heures au bout duquel cela se produit, puis donner ce nombre.

a) Une baisse de 12 % correspond au coefficient $1 - 0, 12 = 0, 88$ : $C_{n + 1} = 0, 88 C_{n}$ . La suite $(C_{n})$ est géométrique de raison $0, 88$ et de premier terme $C_{0} = 8, 5$ , donc $C_{n} = 8, 5 \times 0, 88^{n}$ .

b) $C_{6} = 8, 5 \times 0, 88^{6} \approx 8, 5 \times 0, 464 404 \approx$ 3,95 mg/L.

c) $C_{n + 1} - C_{n} = 0, 88 C_{n} - C_{n} = - 0, 12 C_{n}$ . Or $C_{n} = 8, 5 \times 0, 88^{n} > 0$ , donc $C_{n + 1} - C_{n} < 0$ : $(C_{n})$ est strictement décroissante.

d) On part de $C_{0}$ et on multiplie par 0,88 tant que le seuil n'est pas franchi :

def reinjection():
    C = 8.5
    n = 0
    while C >= 2:
        C = 0.88 * C
        n = n + 1
    return n

La fonction renvoie 12 : en effet $C_{11} \approx 8, 5 \times 0, 2451 \approx 2, 08 \geq 2$ et $C_{12} \approx 8, 5 \times 0, 2157 \approx 1, 83 < 2$ . La suite étant décroissante, la concentration reste ensuite sous 2 mg/L. Il faut réinjecter au bout de 12 heures.

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