Suites géométriques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à taux constant (évolutions exponentielles discrètes)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Suites géométriques » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en maths complémentaires (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Terme général et relation entre deux termes, Sens de variation, Somme de termes consécutifs. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Deux offres d'emploi

Moyen

Une ingénieure reçoit deux propositions. Offre A : salaire annuel brut de 26 400 € la première année, puis augmentation de 2,5 % chaque année. Offre B : 28 000 € la première année, puis augmentation de 1 % chaque année. On note $A_{n}$ et $B_{n}$ les salaires annuels (en euros) de la $n$ -ième année, pour $n \geq 1$ .

1. Montrer que la suite $(A_{n})$ est géométrique et exprimer $A_{n}$ en fonction de $n$ pour $n \geq 1$ .
2. Exprimer de même $B_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $A_{2}$ et $B_{2}$ .
3. Calculer $A_{4}$ , $B_{4}$ , $A_{5}$ et $B_{5}$ (arrondis à l'euro). Que constate-t-on ?
4. On pose $r_{n} = \frac{A_{n}}{B_{n}}$ . Montrer que $(r_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison, puis en déduire que le salaire de l'offre A reste supérieur à celui de l'offre B à partir de la 5e année.
5. Calculer, pour chaque offre, le total des salaires perçus sur les 10 premières années (arrondi à l'euro).
6. Quelle offre conseiller si l'ingénieure pense rester 10 ans dans l'entreprise ? Et si elle ne reste que 4 ans ?

1. Augmenter de 2,5 % revient à multiplier par $1, 025$ : pour tout $n \geq 1$ , $A_{n + 1} = 1, 025 A_{n}$ . La suite $(A_{n})$ est donc géométrique de raison $1, 025$ et de premier terme $A_{1} = 26 400$ . Elle commence au rang 1, d'où $A_{n} = 26 400 \times 1, 025^{n - 1}$ .

2. De même, $B_{n + 1} = 1, 01 B_{n}$ : $B_{n} = 28 000 \times 1, 01^{n - 1}$ . Alors $A_{2} = 26 400 \times 1, 025 =$ 27 060 € et $B_{2} = 28 000 \times 1, 01 =$ 28 280 €.

3. $A_{4} = 26 400 \times 1, 025^{3} \approx 28 430$ € et $B_{4} = 28 000 \times 1, 01^{3} \approx 28 848$ €.
$A_{5} = 26 400 \times 1, 025^{4} \approx 29 141$ € et $B_{5} = 28 000 \times 1, 01^{4} \approx 29 137$ €.
La 4e année, l'offre B paie encore davantage ; la 5e année, l'offre A dépasse l'offre B, de 4 € environ.

4. Pour tout $n \geq 1$ , $r_{n + 1} = \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \frac{1, 025 A_{n}}{1, 01 B_{n}} = \frac{1, 025}{1, 01} r_{n}$ . Donc $(r_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1, 025}{1, 01} \approx 1, 0149$ , de premier terme $r_{1} = \frac{26 400}{28 000} = \frac{33}{35} \approx 0, 943$ .
Comme $r_{1} > 0$ et que la raison est strictement supérieure à 1, $(r_{n})$ est strictement croissante. D'après la question 3, $r_{5} = \frac{A_{5}}{B_{5}} > 1$ ; donc pour tout $n \geq 5$ , $r_{n} \geq r_{5} > 1$ , c'est-à-dire $A_{n} > B_{n}$ . Le salaire A reste supérieur à partir de la 5e année.

5. On additionne 10 termes consécutifs de chaque suite géométrique :
$T_{A} = 26 400 \times \frac{1 - 1, 025^{10}}{1 - 1, 025} \approx 26 400 \times 11, 2034 \approx$ 295 769 € ;
$T_{B} = 28 000 \times \frac{1 - 1, 01^{10}}{1 - 1, 01} \approx 28 000 \times 10, 4622 \approx$ 292 942 €.

6. Sur 10 ans, l'offre A rapporte environ $295 769 - 292 942 = 2 827$ € de plus : on conseille l'offre A.
Sur 4 ans : $26 400 \times \frac{1 - 1, 025^{4}}{1 - 1, 025} \approx 109 626$ € pour A, contre $28 000 \times \frac{1 - 1, 01^{4}}{1 - 1, 01} \approx 113 691$ € pour B : l'offre B est alors plus avantageuse. Une progression plus forte ne compense un départ plus bas qu'à long terme.

Problème 2 — Dépréciation d'une voiture

Moyen

Une voiture neuve est achetée 23 900 € début 2026. On admet que sa valeur de revente diminue de 15 % chaque année. On note $V_{n}$ sa valeur (en euros) au début de l'année $2026 + n$ ; ainsi $V_{0} = 23 900$ .

1. Justifier que $(V_{n})$ est géométrique et exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ .
2. Calculer la valeur de la voiture début 2030, arrondie au centime.
3. Déterminer le sens de variation de la suite $(V_{n})$ .
4. On note $d_{n} = V_{n} - V_{n + 1}$ la perte de valeur au cours de l'année $2026 + n$ . Montrer que $(d_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et $d_{0}$ .
5. Calculer $d_{0} + d_{1} + d_{2} + d_{3}$ à l'aide d'une formule de somme, puis expliquer pourquoi le résultat est égal à $V_{0} - V_{4}$ .
6. Écrire une fonction Python $a n n e e_{s} e u i l ()$ qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} < 5 000$ . Quelle valeur renvoie-t-elle ? Interpréter.

1. Une baisse de 15 % correspond au coefficient multiplicateur $1 - 0, 15 = 0, 85$ : $V_{n + 1} = 0, 85 V_{n}$ pour tout $n$ . La suite $(V_{n})$ est géométrique de raison $0, 85$ et de premier terme $23 900$ : $V_{n} = 23 900 \times 0, 85^{n}$ .

2. Début 2030 correspond à $n = 4$ : $V_{4} = 23 900 \times 0, 85^{4} = 23 900 \times 0, 522 006 25 \approx$ 12 475,95 €.

3. $V_{n + 1} - V_{n} = 0, 85 V_{n} - V_{n} = - 0, 15 V_{n} < 0$ car $V_{n} > 0$ . La suite $(V_{n})$ est strictement décroissante (cas $V_{0} > 0$ et $0 < q < 1$ ).

4. $d_{n} = V_{n} - 0, 85 V_{n} = 0, 15 V_{n} = 0, 15 \times 23 900 \times 0, 85^{n} = 3585 \times 0, 85^{n}$ . Donc $d_{n + 1} = 0, 85 d_{n}$ : $(d_{n})$ est géométrique de raison $0, 85$ , avec $d_{0} = 3585$ . La perte annuelle diminue d'une année sur l'autre.

5. Somme de 4 termes consécutifs, premier terme $d_{0} = 3585$ :
$d_{0} + d_{1} + d_{2} + d_{3} = 3585 \times \frac{1 - 0, 85^{4}}{1 - 0, 85} = 3585 \times \frac{0, 477 993 75}{0, 15} = 23 900 \times 0, 477 993 75 \approx$ 11 424,05 €.
Par définition, $(V_{0} - V_{1}) + (V_{1} - V_{2}) + (V_{2} - V_{3}) + (V_{3} - V_{4}) = V_{0} - V_{4}$ : les termes intermédiaires s'éliminent. On vérifie : $23 900 - 12 475, 95 = 11 424, 05$ . La perte cumulée sur 4 ans est bien la différence entre la valeur d'achat et la valeur début 2030.

def annee_seuil():
    V = 23900
    n = 0
    while V >= 5000:
        V = 0.85 * V
        n = n + 1
    return n

La fonction renvoie 10 : $V_{9} \approx 5 536$ € $\geq 5000$ et $V_{10} \approx 4 705$ € $< 5000$ . La valeur de la voiture passe sous 5 000 € au début de l'année 2036, et y reste puisque la suite est décroissante.

Problème 3 — Les adhérents d'une association

Difficile

Une association compte 1 000 adhérents en 2026. Chaque année, 10 % des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion et 250 nouvelles personnes adhèrent. On note $u_{n}$ le nombre d'adhérents en $2026 + n$ ; ainsi $u_{0} = 1000$ .

1. Justifier que, pour tout $n$ , $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 250$ , puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2. La suite $(u_{n})$ est-elle géométrique ? Justifier.
3. On pose, pour tout $n$ , $v_{n} = u_{n} - 2500$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
4. En déduire que, pour tout $n$ , $u_{n} = 2500 - 1500 \times 0, 9^{n}$ .
5. Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ .
6. La présidente affirme que l'association dépassera 2 000 adhérents avant 2035. A-t-elle raison ? Justifier.

1. Si 10 % des adhérents partent, 90 % restent, soit $0, 9 u_{n}$ ; on ajoute les 250 nouveaux : $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 250$ . Alors $u_{1} = 0, 9 \times 1000 + 250 =$ 1 150 et $u_{2} = 0, 9 \times 1150 + 250 = 1035 + 250 =$ 1 285.

2. $\frac{u_{1}}{u_{0}} = 1, 15$ et $\frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1285}{1150} \approx 1, 117$ . Le quotient n'est pas constant : $(u_{n})$ n'est pas géométrique (l'ajout de 250 casse la proportionnalité).

3. Pour tout $n$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 2500 = 0, 9 u_{n} + 250 - 2500 = 0, 9 u_{n} - 2250 = 0, 9 (u_{n} - 2500) = 0, 9 v_{n}$ . Donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 9$ et de premier terme $v_{0} = 1000 - 2500 = - 1500$ .

4. D'après le cours, $v_{n} = - 1500 \times 0, 9^{n}$ . Comme $u_{n} = v_{n} + 2500$ , on obtient $u_{n} = 2500 - 1500 \times 0, 9^{n}$ . Contrôle : $u_{2} = 2500 - 1500 \times 0, 81 = 1285$ .

5. $u_{n + 1} - u_{n} = - 1500 \times 0, 9^{n + 1} + 1500 \times 0, 9^{n} = 1500 \times 0, 9^{n} \times (1 - 0, 9) = 150 \times 0, 9^{n} > 0$ . La suite $(u_{n})$ est strictement croissante. (On le voit aussi sur $(v_{n})$ : $v_{0} < 0$ et $0 < 0, 9 < 1$ , donc $(v_{n})$ croît, et $(u_{n})$ aussi.)

6. $u_{n} > 2000 ⟺ 1500 \times 0, 9^{n} < 500 ⟺ 0, 9^{n} < \frac{1}{3}$ . À la calculatrice : $0, 9^{10} \approx 0, 3487 > \frac{1}{3}$ et $0, 9^{11} \approx 0, 3138 < \frac{1}{3}$ . La suite $(0, 9^{n})$ étant décroissante, le premier rang est $n = 11$ : $u_{10} \approx 1977$ et $u_{11} \approx 2029$ . Le seuil de 2 000 est franchi en 2037. Avant 2035 (donc pour $n \leq 8$ ), la suite étant croissante, $u_{n} \leq u_{8} \approx 1854$ . La présidente a tort.

Problème 4 — Le tapis de Sierpiński

Difficile

On part d'un carré de côté 81 cm. À l'étape 1, on le partage en 9 carrés identiques et on retire le carré central. À chaque étape suivante, on fait de même avec chacun des carrés restants. Après $n$ étapes, on note $N_{n}$ le nombre de carrés restants, $c_{n}$ leur côté (en cm) et $A_{n}$ l'aire restante (en cm²) ; ainsi $N_{0} = 1$ , $c_{0} = 81$ et $A_{0} = 6561$ .

1. Justifier que $(N_{n})$ et $(c_{n})$ sont géométriques, exprimer $N_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $c_{4}$ .
2. Montrer que $A_{n} = 6561 \times {(\frac{8}{9})}^{n}$ et en déduire le sens de variation de $(A_{n})$ .
3. Pour $n \geq 1$ , on note $r_{n} = A_{n - 1} - A_{n}$ l'aire retirée à l'étape $n$ . Montrer que $r_{n} = 729 \times {(\frac{8}{9})}^{n - 1}$ .
4. Calculer $R_{n} = r_{1} + r_{2} + \dots + r_{n}$ en fonction de $n$ et vérifier que $R_{n} = A_{0} - A_{n}$ .
5. Déterminer le nombre minimal d'étapes pour que l'aire retirée dépasse la moitié de l'aire initiale.
6. Un élève affirme : « À chaque étape, on retire 8 fois plus de carrés qu'à la précédente, donc l'aire retirée est multipliée par 8. » Expliquer son erreur.

1. À chaque étape, chaque carré restant est remplacé par 8 carrés : $N_{n + 1} = 8 N_{n}$ . Donc $(N_{n})$ est géométrique de raison 8 et de premier terme 1 : $N_{n} = 8^{n}$ . Le côté est divisé par 3 : $c_{n + 1} = \frac{1}{3} c_{n}$ , suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ : $c_{n} = \frac{81}{3^{n}}$ . Ainsi $c_{4} = \frac{81}{81} =$ 1 cm.

2. $A_{n} = N_{n} \times c_{n}^{2} = 8^{n} \times \frac{81^{2}}{9^{n}} = 6561 \times \frac{8^{n}}{9^{n}}$ , soit $A_{n} = 6561 \times {(\frac{8}{9})}^{n}$ . $(A_{n})$ est géométrique de premier terme $6561 > 0$ et de raison $\frac{8}{9}$ , avec $0 < \frac{8}{9} < 1$ : $(A_{n})$ est strictement décroissante.

3. Pour $n \geq 1$ : $r_{n} = 6561 {(\frac{8}{9})}^{n - 1} - 6561 {(\frac{8}{9})}^{n} = 6561 {(\frac{8}{9})}^{n - 1} (1 - \frac{8}{9}) = \frac{6561}{9} {(\frac{8}{9})}^{n - 1}$ , d'où $r_{n} = 729 \times {(\frac{8}{9})}^{n - 1}$ . Contrôle : $r_{1} = 729 = 27^{2}$ , aire du carré central retiré à l'étape 1.

4. $(r_{n})$ est géométrique de raison $\frac{8}{9} \neq 1$ ; $R_{n}$ est la somme de $n$ termes de premier terme $r_{1} = 729$ : $R_{n} = 729 \times \frac{1 - (8 / 9)^{n}}{1 - 8 / 9} = 729 \times 9 \times (1 - {(\frac{8}{9})}^{n})$ , soit $R_{n} = 6561 (1 - {(\frac{8}{9})}^{n})$ . On a bien $A_{0} - A_{n} = 6561 - 6561 {(\frac{8}{9})}^{n} = R_{n}$ : l'aire retirée est l'aire perdue.

5. $R_{n} > \frac{6561}{2} ⟺ A_{n} < \frac{6561}{2} ⟺ {(\frac{8}{9})}^{n} < \frac{1}{2}$ . Or ${(\frac{8}{9})}^{5} = \frac{32 768}{59 049} \approx 0, 5549$ et ${(\frac{8}{9})}^{6} \approx 0, 4933$ . Un programme le confirme :

A = 6561
n = 0
while A >= 6561 / 2:
    A = A * 8 / 9
    n = n + 1
print(n)

Il affiche 6 : il faut au moins 6 étapes.

6. Le nombre de carrés retirés est bien multiplié par 8 (il vaut $8^{n - 1}$ à l'étape $n$ ), mais chaque carré retiré a un côté 3 fois plus petit, donc une aire 9 fois plus petite. L'aire retirée est multipliée par $8 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ : elle diminue à chaque étape, conformément à la question 3.

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