Les modèles démographiques

En 2025, une ville compte 27 500 habitants ; le taux de natalité vaut 12,4 ‰ et le taux de mortalité 9,2 ‰, les migrations étant négligeables. On note $u_n$ la population en l'année $2025+n$.
a) Calculer le taux d'accroissement naturel et en déduire le coefficient multiplicateur annuel.

1. Justifier la nature de la suite $(u_n)$ et exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. Estimer la population en 2045, arrondie à l'unité.
3. Un journal écrit : « En 20 ans, la population augmentera de 20 × 3,2 ‰ = 6,4 %. » Expliquer l'erreur et donner le pourcentage d'augmentation correct, au centième.

En 2020, une région compte 1,8 million d'habitants et sa population augmente de 2,6 % par an. Sa production alimentaire permet de nourrir 2,25 millions de personnes, et ce nombre augmente de 42 000 par an. On note $u_n$ et $v_n$ (en millions) la population et le nombre de personnes pouvant être nourries en $2020+n$.
a) Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.

1. Calculer $u_{10}$ et $v_{10}$ au centième.
2. Déterminer la première année où la production ne suffit plus.
3. Expliquer le raisonnement de Malthus sur cette situation, puis donner deux raisons pour lesquelles la famine généralisée qu'il redoutait ne s'est pas produite à l'échelle mondiale.

Une population de lapins introduite dans un enclos évolue selon $u_{n+1}=u_n+0,35u_n(1-\frac{u_n}{4800})$, avec $u_0=600$ ($n$ en années).
a) Interpréter les nombres 0,35 et 4 800.

1. Calculer $u_1$, arrondi à l'unité.
2. Calculer l'accroissement annuel lorsque $u_n=2400$, puis lorsque $u_n=4500$. Commenter.
3. Après un lâcher, l'effectif atteint 5 280. Un élève affirme que la population va continuer à croître. Le réfuter par un calcul.

Le nombre de bactéries d'une culture, en milliers, est modélisé par $Q(t)=\frac{250}{1+49e^{-0,8t}}$, où $t$ est en heures.
a) Calculer $Q(0)$.

1. Calculer $Q(5)$, arrondi au dixième.
2. Montrer que $Q(t) < 250$ pour tout $t \geq 0$.
3. Vers quelle valeur tend $Q(t)$ quand $t$ devient grand ? Interpréter, puis expliquer pourquoi la croissance est presque exponentielle au début.

Population d'un pays (en millions) et prévisions d'un modèle de Malthus calé sur 1980 et 1990, avec le même coefficient multiplicateur à chaque décennie :

1. Calculer l'écart relatif du modèle en 2020, en pourcentage.
2. Calculer le coefficient multiplicateur observé pour chaque décennie et décrire son évolution.
3. Proposer un modèle plus adapté et deux facteurs démographiques pouvant expliquer l'écart.