Qu'est-ce que le modèle de Malthus ?

Proposé par Thomas Malthus en 1798, il suppose que la population augmente chaque année d'un même pourcentage : elle suit une suite géométrique, donc une croissance exponentielle. Comme il supposait que les ressources n'augmentent que d'une quantité fixe par an (croissance linéaire), il en concluait qu'une pénurie était inévitable.

Quelle différence entre le modèle de Malthus et le modèle logistique de Verhulst ?

Chez Malthus, le taux de croissance est constant et la population croît sans limite. Chez Verhulst (1838), la croissance ralentit à mesure que la population approche une valeur maximale K, la capacité d'accueil du milieu : la courbe prend une forme de S et tend vers K.

Comment calculer une population avec une suite géométrique ?

On calcule le taux d'accroissement t (natalité moins mortalité, sous forme décimale), puis la raison q = 1 + t. La population après n années vaut alors u0 × q puissance n, où n est le nombre d'années écoulées depuis l'année de départ.

Quelles sont les limites des modèles démographiques ?

Les modèles démographiques simples résument une population par un seul nombre et ignorent la structure par âge, les migrations, les épidémies ou les politiques familiales. Leurs paramètres sont estimés sur le passé et peuvent changer : une prévision lointaine est donc très incertaine et doit toujours être discutée.

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Les modèles démographiques

Q: Quelles sont les prévisions de population mondiale ?

La population mondiale a atteint 8 milliards en novembre 2022 et croît aujourd'hui de moins de 1 % par an. Selon le scénario médian des projections de l'ONU publiées en 2024, elle atteindrait un maximum d'environ 10,3 milliards au milieu des années 2080, puis diminuerait légèrement.

Modèle de Malthus (suite géométrique), modèle logistique de Verhulst, ressources, prévisions de population mondiale et limites des modèles

À propos de cette page

Ce cours d' en terminale sur « Les modèles démographiques » suit le programme officiel d' de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Le modèle de Malthus : une croissance exponentielle, Population et ressources : la « catastrophe malthusienne », Le modèle logistique de Verhulst. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en .

L'essentiel

Population, modèle démographique. Une population est un ensemble d'individus d'une même espèce vivant sur un même territoire. Son effectif varie sous l'effet des naissances, des décès et des migrations. Un modèle démographique décrit mathématiquement cette évolution (par une suite ou une fonction) à partir d'hypothèses simples, afin d'en comprendre les mécanismes et de faire des prévisions.

Taux de natalité, de mortalité, d'accroissement naturel. Le taux de natalité (resp. de mortalité) est le nombre de naissances (resp. de décès) de l'année rapporté à l'effectif de la population ; il s'exprime souvent en ‰. En l'absence de migrations, le taux d'accroissement naturel vaut

t = natalité - mortalité

Croissance linéaire ou exponentielle.
• Linéaire : on ajoute chaque année la même quantité

a

v_{n + 1} = v_{n} + a

(suite arithmétique), donc

v_{n} = v_{0} + n a

.
• Exponentielle : on multiplie chaque année par le même coefficient

q

u_{n + 1} = q u_{n}

(suite géométrique), donc

u_{n} = u_{0} q^{n}

Modèle	Hypothèse	Évolution prévue
Malthus (1798)	accroissement proportionnel à l'effectif	exponentielle, sans limite
Verhulst (1838)	croissance freinée par les limites du milieu	logistique : tend vers une capacité $K$

Le modèle de Malthus : une croissance exponentielle

Hypothèse de Malthus. Chaque année, la variation de la population est proportionnelle à son effectif :

u_{n + 1} - u_{n} = t u_{n}

, avec

t

constant. Donc

u_{n + 1} = (1 + t) u_{n}

: la suite

(u_{n})

est géométrique de raison $q = 1 + t$ et

u_{n} = u_{0} (1 + t)^{n} .

Propriété. Si

t > 0

(donc

q > 1

), la population croît sans limite, et l'augmentation annuelle en nombre,

t u_{n}

, grandit elle aussi : c'est une croissance exponentielle. Si $t < 0$ (donc $0 < q < 1$), la population décroît vers 0.

Exemple. Une ville de 50 000 habitants a un taux de natalité de 18 ‰ et un taux de mortalité de 6 ‰. Le taux d'accroissement vaut 18 − 6 = 12 ‰, soit

t = 0, 012

q = 1, 012

. Dix ans plus tard :

u_{10} = 50 000 \times 1, 012^{10} \approx 56 335

habitants.

Temps de doublement. C'est le plus petit entier

n

tel que

q^{n} \geq 2

; il ne dépend pas de

u_{0}

. Ordre de grandeur : environ

70

divisé par le taux exprimé en %. Ici

70 / 1, 2 \approx 58

; le calcul exact donne 59 ans (méthode 3).

Repère historique. Dans son Essai sur le principe de population (1798), le pasteur et économiste anglais Thomas Malthus affirme qu'une population que rien ne freine double environ tous les 25 ans, c'est-à-dire croît selon une progression géométrique.

Population et ressources : la « catastrophe malthusienne »

Hypothèse sur les ressources. Malthus suppose que les subsistances (production agricole) n'augmentent que d'une quantité fixe chaque année : croissance linéaire, modélisée par une suite arithmétique

v_{n} = v_{0} + n a

Propriété. Une suite géométrique de raison

q > 1

et de premier terme positif finit toujours par dépasser une suite arithmétique, quels que soient les termes initiaux : l'augmentation annuelle de la population,

(q - 1) u_{n}

, grandit sans cesse, alors que celle des ressources reste égale à

a

. Dans le modèle, la pénurie est donc inévitable : c'est la « catastrophe malthusienne ». Malthus préconisait de limiter les naissances par la « contrainte morale » (mariage tardif).

Exemple. Population : 2 millions, +2 % par an,

u_{n} = 2 \times 1, 02^{n}

. Ressources : de quoi nourrir 3 millions de personnes, +0,1 million par an,

v_{n} = 3 + 0, 1 n

(en millions).

$n$	0	45	90	91
$u_{n}$	2	4,88	11,89	12,12
$v_{n}$	3	7,5	12	12,1

La population dépasse les ressources à partir de

n = 91

, malgré l'avantage initial des ressources.

Ce que l'histoire a montré. Au XX^e siècle, la production agricole mondiale a augmenté plus vite que la population (engrais, irrigation, sélection de variétés, mécanisation : la « révolution verte ») : l'hypothèse linéaire de Malthus s'est révélée fausse à l'échelle mondiale. Les ressources restent pourtant limitées : sols, eau douce, énergie, biodiversité, climat.

Le modèle logistique de Verhulst

Hypothèse de Verhulst (1838). Le mathématicien belge Pierre-François Verhulst suppose que la croissance ralentit quand l'effectif approche une valeur maximale

K

, la capacité d'accueil (ou capacité limite) du milieu. Modèle discret :

u_{n + 1} = u_{n} + r u_{n} (1 - \frac{u_{n}}{K}), r > 0 .

Propriétés.
• Si

u_{n}

est petit devant

K

, alors

1 - u_{n} / K \approx 1

: on retrouve le modèle de Malthus, avec

q = 1 + r

.
• L'accroissement

r u_{n} (1 - u_{n} / K)

est nul pour

u_{n} = K

, maximal pour

u_{n} = K / 2

, négatif si

u_{n} > K

.
• Pour $0 < r \leq 1$ et $0 < u_0 < K$, la suite est croissante et tend vers $K$ sans la dépasser.

Fonction logistique. En temps continu, l'effectif s'écrit

P (t) = \frac{K}{1 + A e^{- r t}}

avec

A = \frac{K - P_{0}}{P_{0}}

. Sa courbe en forme de S (sigmoïde) a pour asymptote horizontale la droite d'équation

y = K

Exemple.

K = 1 200

r = 0, 5

u_{0} = 150

u_{1} = 150 + 0, 5 \times 150 \times (1 - 0, 125) = 215, 625

, puis

u_{2} \approx 304, 1

. L'accroissement augmente (65,6 puis 88,4) tant que l'effectif reste inférieur à

K / 2 = 600

; il diminuera ensuite.

Les modèles démographiques face à la population mondiale

Année	≈ 1800	1927	1960	1974	1987	1999	2011	2022
Population mondiale (milliards)	1	2	3	4	5	6	7	8

Un ralentissement observé. Le taux de croissance mondial a dépassé 2 % par an dans les années 1960 ; il est aujourd'hui inférieur à 1 %. C'est l'effet de la transition démographique : la mortalité baisse d'abord (hygiène, vaccins, alimentation), puis la natalité baisse à son tour. Entre les deux, la croissance est très forte ; ensuite, elle ralentit : l'allure devient logistique plutôt qu'exponentielle.

Prévisions. Selon le scénario médian des projections de l'ONU publiées en 2024, la population mondiale atteindrait un maximum d'environ 10,3 milliards au milieu des années 2080, puis diminuerait légèrement d'ici 2100. Ces projections sont données avec une fourchette (variantes haute et basse) qui dépend surtout de l'évolution de la fécondité.

Limites des modèles. Malthus et Verhulst résument une population par un seul nombre : ils ignorent la structure par âge, les migrations, les épidémies, les guerres, les politiques familiales. Leurs paramètres (

t

r

K

) sont estimés sur le passé et peuvent changer ;

K

dépend des techniques et des modes de consommation. Un modèle est d'autant moins fiable qu'on l'utilise loin des données qui ont servi à le construire.

Méthodes

Méthode 1 — Construire un modèle de Malthus et faire une prévision

Calculer le taux d'accroissement $t$ = natalité − mortalité et l'écrire sous forme décimale (1 ‰ = 0,001).
En déduire la raison $q = 1 + t$ .
Écrire $u_{n} = u_{0} q^{n}$ , où $n$ = année visée − année de départ.
Calculer, arrondir de façon réaliste (à l'unité pour des personnes) et conclure par une phrase.

Exemple rédigé. Une commune compte 12 000 habitants en 2020 ; natalité 15,5 ‰, mortalité 9,5 ‰. On a

t = 15, 5 - 9, 5 = 6

‰

= 0, 006

, donc

q = 1, 006

u_{n} = 12 000 \times 1, 006^{n}

. L'année 2035 correspond à

n = 15

u_{15} = 12 000 \times 1, 006^{15} \approx 13 127

. Le modèle prévoit environ 13 127 habitants en 2035.

Méthode 2 — Reconnaître une croissance linéaire ou exponentielle

Calculer les différences successives $u_{n + 1} - u_{n}$ : si elles sont constantes, la croissance est linéaire.
Sinon, calculer les quotients $u_{n + 1} / u_{n}$ : s'ils sont constants (ou presque), la croissance est exponentielle de raison $q$ .
Traduire $q$ en pourcentage : taux $= (q - 1) \times 100$ %.

Exemple rédigé. Effectifs : 400 ; 440 ; 484 ; 532,4. Les différences (40 ; 44 ; 48,4) ne sont pas constantes. Les quotients valent

440 / 400 = 484 / 440 = 532, 4 / 484 = 1, 1

: croissance exponentielle, de +10 % par étape.

Méthode 3 — Déterminer un seuil avec un algorithme

Initialiser l'effectif et un compteur d'années.
Tant que le seuil n'est pas atteint, appliquer la relation de récurrence et ajouter 1 au compteur.
Afficher le compteur, puis le traduire en année.

Exemple rédigé. Temps de doublement de la ville de la partie 2 :

u = 50000
n = 0
while u < 100000:
    u = u * 1.012
    n = n + 1
print(n)

Le programme affiche 59, car $1{,}012^{58} \approx 1{,}997 < 2$ et $1{,}012^{59} \approx 2{,}021 \geq 2$ : la population double en 59 ans. Au tableur : B3 = B2*1,012, recopiée vers le bas.

Méthode 4 — Confronter un modèle aux données

Calculer l'écart relatif $\frac{valeur du modèle - valeur observée}{valeur observée}$ .
Dire si le modèle surestime (écart positif) ou sous-estime (écart négatif).
Relier l'écart à une hypothèse du modèle qui n'est plus vérifiée.

Exemple rédigé. Un modèle prévoit 8,6 millions d'habitants ; on en observe 8,1 millions. Écart relatif :

\frac{8, 6 - 8, 1}{8, 1} \approx 0, 062

. Le modèle surestime de 6,2 % : le taux de croissance a baissé, l'hypothèse d'un taux constant n'est plus valable.

Pièges et erreurs classiques

Confondre $t$ et $q$ . Pour +1,2 % par an, on multiplie par 1,012, pas par 0,012 ni par 1,2.

Mélanger ‰ et %. 12 ‰ = 1,2 % = 0,012. Une erreur d'un facteur 10 fausse toute la prévision.

Additionner les taux. +1 % par an pendant 10 ans ne fait pas +10 % :

1, 01^{10} \approx 1, 1046

, soit +10,46 %. Inversement, un taux annuel moyen s'obtient par une racine :

q = (coefficient global)^{1 / n}

, et non en divisant le taux global par

n

Décalage d'indice. Si

u_{0}

correspond à 2025, l'année 2040 correspond à

n = 15

, ni à

n = 16

ni à

n = 2040

Confondre $r$ et le taux observé. Dans le modèle logistique, le taux de croissance effectif vaut

r (1 - u_{n} / K)

: il n'est proche de

r

que pour une population petite devant

K

Prendre une prévision pour une certitude. Un modèle ajusté sur quelques décennies ne « prouve » rien sur l'an 2100 : il faut toujours discuter ses hypothèses et ses paramètres.

En bref

Malthus (1798) : taux constant, $u_{n} = u_{0} (1 + t)^{n}$ , croissance exponentielle ; avec des ressources linéaires, la pénurie est inévitable dans le modèle.
$t$ = natalité − mortalité ; $q = 1 + t$ ; temps de doublement : plus petit $n$ tel que $q^{n} \geq 2$ .
Verhulst (1838) : $u_{n + 1} = u_{n} + r u_{n} (1 - u_{n} / K)$ ; croissance freinée, courbe en S, limite $K$ (capacité d'accueil) ; accroissement maximal pour $u_{n} = K / 2$ .
Population mondiale : 8 milliards en 2022, croissance inférieure à 1 % par an, pic projeté vers 10,3 milliards dans les années 2080 (ONU, 2024).
Tout modèle repose sur des hypothèses : le confronter aux données (écart relatif) et discuter ses limites.

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