Ressources · Terminale ·
Les modèles démographiques
Modèle de Malthus (suite géométrique), modèle logistique de Verhulst, ressources, prévisions de population mondiale et limites des modèles
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Les 24 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 8 questions
Dans le modèle de Malthus, l'effectif d'une population d'une année à l'autre est décrit par :
- A. une suite arithmétique
- B. une fonction logistique
- C. une suite géométrique
- D. une fonction affine du temps
Réponse
C. une suite géométrique — On multiplie chaque année par le même coefficient q = 1 + t : c'est une suite géométrique, donc une croissance exponentielle.
Selon Malthus, les ressources alimentaires (subsistances) augmentent :
- A. de façon linéaire
- B. de façon exponentielle
- C. de façon logistique
- D. de façon géométrique
Réponse
A. de façon linéaire — Malthus suppose qu'on ajoute chaque année la même quantité de subsistances : croissance linéaire, décrite par une suite arithmétique.
Le taux d'accroissement naturel d'une population, pour une année, est égal :
- A. au taux de natalité moins le taux de mortalité
- B. au taux de mortalité moins le taux de natalité
- C. au taux de natalité plus le solde migratoire annuel
- D. au produit des taux de natalité et de mortalité
Réponse
A. au taux de natalité moins le taux de mortalité — L'accroissement naturel ne tient compte que des naissances et des décès : natalité − mortalité. Le solde migratoire s'y ajoute pour obtenir l'accroissement total.
Dans le modèle de Verhulst, la constante K désigne :
- A. le taux de natalité annuel du milieu
- B. la capacité d'accueil du milieu
- C. la population initiale observée
- D. le temps de doublement de la population
Réponse
B. la capacité d'accueil du milieu — K est l'effectif maximal que le milieu peut durablement supporter ; la population tend vers K.
La courbe représentant une croissance logistique a l'allure :
- A. d'une droite croissante
- B. d'une courbe en cloche
- C. d'une parabole tournée vers le haut
- D. d'une courbe en S
Réponse
D. d'une courbe en S — Croissance presque exponentielle au début, puis ralentissement et stabilisation vers K : c'est une sigmoïde, en forme de S.
L'Essai sur le principe de population, publié en 1798, est l'œuvre de :
- A. Pierre-François Verhulst
- B. Thomas Malthus
- C. Charles Darwin
- D. Jean-Baptiste Lamarck
Réponse
B. Thomas Malthus — Le pasteur et économiste anglais Thomas Malthus publie cet essai en 1798 ; Verhulst propose son modèle logistique en 1838.
La population mondiale a franchi le seuil de 8 milliards d'habitants :
- A. vers 1987
- B. vers 2011
- C. en 2022
- D. après 2030
Réponse
C. en 2022 — Le cap des 8 milliards a été franchi en novembre 2022 ; celui des 5 milliards vers 1987 et celui des 7 milliards en 2011.
Une suite géométrique de raison q > 1 modélise une population qui :
- A. augmente d'une quantité fixe chaque année
- B. diminue d'un même pourcentage chaque année
- C. se stabilise vers une valeur limite
- D. croît d'un même pourcentage chaque année
Réponse
D. croît d'un même pourcentage chaque année — Multiplier par q > 1, c'est augmenter de (q − 1) × 100 % chaque année : l'augmentation en nombre grandit avec la population.
Niveau moyen — 8 questions
Une population de 3 600 individus augmente de 4 % par an. Son effectif après n années est :
- A. 3 600 + 144n
- B. 3 600 × (1 + 4)ⁿ
- C. 3 600 × 1,04ⁿ
- D. 3 600 × 0,04ⁿ
Réponse
C. 3 600 × 1,04ⁿ — Augmenter de 4 %, c'est multiplier par 1,04 ; au bout de n années : 3 600 × 1,04ⁿ. La forme 3 600 + 144n correspondrait à une croissance linéaire.
Taux de natalité 19 ‰, taux de mortalité 9 ‰, migrations nulles. Le coefficient multiplicateur annuel de la population est :
- A. 1,01
- B. 1,028
- C. 0,99
- D. 1,1
Réponse
A. 1,01 — t = 19 − 9 = 10 ‰ = 0,01, donc q = 1 + 0,01 = 1,01. Attention : 10 ‰ vaut 1 %, pas 10 %.
Dans un modèle de Malthus, une population double en 30 ans. En 90 ans, elle est multipliée par :
- A. ×6
- B. ×3
- C. ×27
- D. ×8
Réponse
D. ×8 — 90 ans = 3 périodes de doublement : 2 × 2 × 2 = 8. Les coefficients se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Avec uₙ₊₁ = uₙ + 0,2 uₙ (1 − uₙ / 9 000) et uₙ = 5 400, l'accroissement de l'année vaut :
- A. 1 080
- B. 648
- C. 5 832
- D. 432
Réponse
D. 432 — 0,2 × 5 400 × (1 − 5 400/9 000) = 1 080 × 0,4 = 432 individus ; 5 832 serait l'effectif de l'année suivante, pas l'accroissement.
Pour uₙ₊₁ = uₙ + r uₙ (1 − uₙ / K) avec K = 7 400, l'accroissement uₙ₊₁ − uₙ est maximal lorsque uₙ vaut :
- A. 3 700
- B. 7 400
- C. 0
- D. 14 800
Réponse
A. 3 700 — L'accroissement r uₙ (1 − uₙ/K) s'annule en 0 et en K ; il est maximal au milieu, pour uₙ = K/2 = 3 700.
Une ville passe de 40 000 à 44 100 habitants en 2 ans, à taux annuel constant. Ce taux vaut :
- A. 10,25 %
- B. 5 %
- C. 5,125 %
- D. 4,1 %
Réponse
B. 5 % — 44 100 / 40 000 = 1,1025 = 1,05² : le taux annuel est de 5 %. Diviser 10,25 % par 2 (5,125 %) oublie l'effet cumulé.
Des ressources nourrissent 7 200 personnes en 2025 et ce nombre augmente de 260 par an (modèle linéaire). En 2035, elles peuvent en nourrir :
- A. 7 460
- B. 9 800
- C. 9 540
- D. 10 060
Réponse
B. 9 800 — Suite arithmétique : 7 200 + 10 × 260 = 9 800 personnes (2035 correspond à n = 10).
Le modèle P(t) = 480 / (1 + 5 e^(−0,25 t)) donne un effectif initial de :
- A. 96
- B. 480
- C. 80
- D. 2 400
Réponse
C. 80 — P(0) = 480 / (1 + 5 × 1) = 480 / 6 = 80 ; 480 est la limite (capacité d'accueil), pas la valeur initiale.
Niveau difficile — 8 questions
Une population augmente de 10 % pendant une décennie, puis diminue de 10 % la décennie suivante. Sur les vingt ans :
- A. elle retrouve son niveau initial
- B. elle a diminué de 1 %
- C. elle a augmenté de 1 %
- D. elle a diminué de 10 %
Réponse
B. elle a diminué de 1 % — 1,1 × 0,9 = 0,99 : la population a perdu 1 %. Les pourcentages ne se compensent pas, car ils s'appliquent à des effectifs différents.
Dans le modèle de Malthus, si le taux de natalité est inférieur au taux de mortalité (migrations nulles), la population :
- A. croît vers une valeur limite
- B. reste constante
- C. décroît géométriquement vers 0
- D. décroît d'une quantité fixe chaque année
Réponse
C. décroît géométriquement vers 0 — t < 0 donc 0 < q = 1 + t < 1 : la suite géométrique décroît vers 0 ; elle perd chaque année le même pourcentage, pas la même quantité.
Dans le modèle uₙ₊₁ = uₙ + r uₙ (1 − uₙ / K) avec 0 < r ≤ 1, un apport d'individus porte uₙ au-dessus de K. Alors uₙ₊₁ :
- A. dépasse encore davantage K
- B. est inférieur à uₙ
- C. est exactement égal à K
- D. est égal à uₙ
Réponse
B. est inférieur à uₙ — Si uₙ > K, le facteur (1 − uₙ/K) est négatif : l'accroissement est négatif et la population diminue vers K.
On compare uₙ = 120 × 1,01ⁿ et vₙ = 700 + 35n. Quelle affirmation est vraie ?
- A. vₙ reste toujours supérieur à uₙ
- B. uₙ et vₙ ne se croisent jamais
- C. uₙ dépasse vₙ dès n = 5
- D. uₙ finit par dépasser vₙ
Réponse
D. uₙ finit par dépasser vₙ — Une suite géométrique de raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser une suite arithmétique, même si elle part de plus bas et croît lentement au début : c'est l'argument de Malthus. Pour n = 5, u₅ ≈ 126 reste loin de v₅ = 875.
Un modèle de Malthus calé sur la croissance mondiale des années 1960 surestime nettement la population de 2020. La cause principale est :
- A. la baisse de la fécondité
- B. une erreur sur la raison de la suite
- C. la forte hausse de la mortalité mondiale
- D. l'arrêt des migrations entre pays
Réponse
A. la baisse de la fécondité — Avec la transition démographique, la natalité a baissé : le taux de croissance est passé de plus de 2 % à moins de 1 % par an, ce qu'un modèle à taux constant ignore. Les migrations ne modifient pas la population mondiale.
Selon le scénario médian des projections de l'ONU publiées en 2024, la population mondiale :
- A. croîtrait de façon exponentielle jusqu'en 2100
- B. a déjà atteint son maximum historique
- C. atteindrait un pic dans les années 2080
- D. doublerait d'ici 2050 par rapport à 2020
Réponse
C. atteindrait un pic dans les années 2080 — Le scénario médian prévoit un maximum d'environ 10,3 milliards vers le milieu des années 2080, puis une légère baisse : une allure proche d'une logistique, pas d'une exponentielle.
Un élève affirme : « Le modèle logistique prouve que la population mondiale ne dépassera jamais K. » Cette affirmation est :
- A. exacte, car K est une loi de la nature
- B. exacte, car la fonction logistique est croissante
- C. fausse : la fonction logistique finit par décroître
- D. fausse : K est un paramètre estimé et révisable
Réponse
D. fausse : K est un paramètre estimé et révisable — Un modèle ne prouve rien sur le réel : K est estimé à partir de données passées et dépend des techniques, des ressources et des comportements, qui changent. La fonction logistique, elle, ne décroît pas.
Une population qui croît de 0,8 % par an double en :
- A. environ 87 ans
- B. environ 8 ans
- C. environ 125 ans
- D. environ 50 ans
Réponse
A. environ 87 ans — On cherche le plus petit n tel que 1,008ⁿ ≥ 2 : la calculatrice donne n = 87 (règle approchée : 70 / 0,8 ≈ 87). 125 = 1 / 0,008 est un piège : il oublie l'effet cumulé.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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