Les modèles démographiques

a) En l'absence de migrations, le taux d'accroissement naturel est la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité : $t=13-8=5$ ‰. Comme 1 ‰ = 0,001, on obtient $t=0,005$, soit 0,5 % par an.

b) Chaque année, la population augmente de 0,5 % de son effectif : $u_{n+1}=u_n+0,005u_n=1,005u_n$. On passe d'un terme au suivant en multipliant par la même constante : $(u_n)$ est géométrique de raison 1,005, de premier terme $u_0=8400$. C'est un modèle de Malthus.

c) Pour une suite géométrique, $u_n=u_0{q}^n$, donc $u_n=8400\times 1,{005}^n$.

d) L'année 2034 correspond à $n=2034-2024=10$. Alors $u_{10}=8400\times 1,{005}^{10}\approx 8400\times 1,05114\approx 8829,6$. Le modèle prévoit environ 8 830 habitants au 1er janvier 2034.

a) Village A : $2550-2400=150$ ; $2700-2550=150$ ; $2850-2700=150$ : différences constantes, égales à 150. Village B : $240$ ; $254$ ; $270$ : différences croissantes.

b) Village A : $2550/2400=1,0625\approx 1,063$ ; $2700/2550\approx 1,059$ ; $2850/2700\approx 1,056$ : les quotients diminuent. Village B : $4240/4000=1,06$ ; $4494/4240\approx 1,060$ ; $4764/4494\approx 1,060$ : quotients constants à l'arrondi près.

c) A gagne le même nombre d'habitants à chaque rang : croissance linéaire (suite arithmétique de raison 150) ; son taux de croissance baisse, ce n'est donc pas un modèle de Malthus. B est multiplié par 1,06 à chaque rang : croissance exponentielle de +6 % par rang (suite géométrique de raison 1,06) ; c'est B qui relève du modèle de Malthus. Remarque : au premier rang, les deux villages ont un taux voisin (6,25 % et 6 %) ; une seule étape ne suffit pas pour conclure.

d) A : $2850+150=$ 3 000 habitants. B : on repart de la valeur non arrondie, $4000\times 1,{06}^4\approx 5049,9$, soit environ 5 050 habitants.

a) Le modèle est de type logistique (Verhulst). 2 000 est la capacité d'accueil de l'étang : l'effectif maximal que le milieu (nourriture, oxygène, espace) peut durablement supporter.

b) $u_1=300+0,4\times 300\times (1-\frac{300}{2000})=300+120\times 0,85=$ 402.
$u_2=402+0,4\times 402\times (1-\frac{402}{2000})=402+160,8\times 0,799\approx 402+128,5=530,5$, soit environ 530 poissons.

c) Pour $u_n=1000$ : $0,4\times 1000\times (1-0,5)=$ 200 poissons. Pour $u_n=1900$ : $0,4\times 1900\times (1-0,95)=$ 38 poissons. Près de la capacité d'accueil, la croissance est fortement freinée ; 1 000 étant la moitié de 2 000, l'accroissement y est maximal.

d) Accroissement : $0,4\times 2200\times (1-1,1)=880\times (-0,1)=-88$. L'effectif passerait à $2200-88=$ 2 112 poissons : au-dessus de la capacité d'accueil, le modèle prévoit une diminution vers 2 000.

a) Augmenter de 2,4 % revient à multiplier par $1+0,024=1,024$. La suite $(p_n)$ est géométrique de raison 1,024 et de premier terme 36,5, donc $p_n=36,5\times 1,{024}^n$.

b) 2040 correspond à $n=15$ : $p_{15}=36,5\times 1,{024}^{15}\approx 36,5\times 1,42725\approx 52,09$. Le modèle prévoit environ 52,1 millions d'habitants en 2040.

c) On cherche le plus petit $n$ tel que $p_n\ge 73$ :

p = 36.5
n = 0
while p < 73:
    p = p * 1.024
    n = n + 1
print(n)

d) Pour une population initiale quelconque $p_0>0$ : $p_0\times 1,{024}^n\ge 2p_0⟺1,{024}^n\ge 2$, en divisant par $p_0>0$. Cette condition ne fait plus intervenir $p_0$ : le temps de doublement ne dépend que du taux, pas de l'effectif de départ.

a) La population est multipliée chaque année par 1,015 : $(u_n)$ est géométrique de raison 1,015, $u_n=4,2\times 1,{015}^n$. La production augmente chaque année de 0,045 million : $(v_n)$ est arithmétique de raison 0,045, $v_n=6+0,045n$.

b) $u_{30}=4,2\times 1,{015}^{30}\approx 4,2\times 1,56308\approx$ 6,56 ; $v_{30}=6+30\times 0,045=$ 7,35. En 2050, la production suffit encore, avec une marge d'environ 0,79 million de personnes, plus faible qu'en 2020 (1,8 million).

c) Tableau de valeurs : $u_{42}\approx 7,849$ et $v_{42}=7,890$, donc $u_{42} < v_{42}$ ; $u_{43} \approx 7{,}967$ et $v_{43} = 7{,}935$, donc $u_{43} > v_{43}$. La production devient insuffisante à partir de 2063 ($2020+43$).

d) Chaque année, la population gagne $0,015u_n$ millions, quantité qui grandit avec $u_n$, tandis que la production gagne toujours 0,045 million. Dès que $0,015u_n>0,045$, c'est-à-dire $u_n>3$ (déjà vrai en 2020), l'écart $v_n-u_n$ diminue, et de plus en plus vite : il finit par devenir négatif. Plus généralement, une suite géométrique de raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser une suite arithmétique. Limites : la production peut croître plus vite que linéairement (progrès agricoles, révolution verte) ; le taux de croissance démographique n'est pas constant (transition démographique) ; la région peut importer de la nourriture ; les migrations sont ignorées.

a) Coefficient multiplicateur : $\frac{689000}{612000}\approx$ 1,1258. Taux d'évolution : $(1,1258-1)\times 100\approx$ +12,58 % en dix ans.

b) Dans le modèle de Malthus, la population est multipliée par $q$ chaque année, donc par $q^{10}$ en dix ans : $q^{10}=\frac{689000}{612000}$, d'où $q={\left(\frac{689000}{612000}\right)}^{1/10}\approx 1,01192$. Le taux annuel moyen est d'environ 1,19 %.

c) De 2020 à 2030, la population est de nouveau multipliée par $q^{10}=\frac{689000}{612000}$ : $689000\times \frac{689000}{612000}\approx 775688$. Le modèle prévoit environ 775 700 habitants en 2030.

d) Les taux d'évolution successifs ne s'additionnent pas : les coefficients multiplicateurs se multiplient. Avec 1,258 % par an, on obtient sur dix ans $1,{01258}^{10}\approx 1,1332$, soit +13,32 % et non +12,58 : le taux annuel est surestimé. Sa prévision, $689000\times 1,{01258}^{10}\approx 780751$, dépasse celle du modèle correct d'environ 5 000 habitants.

a) $P(0)=\frac{900}{1+14\times e^0}=\frac{900}{15}=$ 60 cerfs.

b) $e^{-2,8}\approx 0,06081$, donc $1+14e^{-2,8}\approx 1,85134$ et $P(10)\approx \frac{900}{1,85134}\approx 486,1$, soit environ 486 cerfs.

c) Une exponentielle est strictement positive, donc $14e^{-0,28t}>0$ et le dénominateur $1+14e^{-0,28t}$ est strictement supérieur à 1. En divisant 900 par un nombre supérieur à 1, on obtient un résultat inférieur à 900 : $P(t) < 900$ pour tout $t \geq 0$. Quand $t$ devient grand, $e^{-0,28t}$ tend vers 0 et $P(t)$ tend vers 900 : c'est la capacité d'accueil de l'île.

d) On cherche le premier entier $t$ tel que $P(t)>450$. La calculatrice donne $P(9)\approx 423$ et $P(10)\approx 486$. L'effectif dépasse 450 cerfs au bout de 10 ans (il franchit ce seuil au cours de la dixième année).

1. $\frac{2,3}{1,2}\approx 1,92$ ; $\frac{4,2}{2,3}\approx 1,83$ ; $\frac{7,3}{4,2}\approx 1,74$ ; et pour le dernier intervalle $\frac{21,9}{21,3}\approx 1,03$. Au début, l'effectif est multiplié par un facteur voisin de 1,8 à 1,9 toutes les 2 h : la croissance est presque exponentielle. À la fin, le quotient est proche de 1 : l'effectif se stabilise.

2. $1,{85}^8\approx 137,2$, donc $1,2\times 1,{85}^8\approx$ 164,6 millions de cellules par mL, environ 7,5 fois la valeur mesurée (21,9). Le modèle de Malthus ne décrit que la phase initiale ; il devient absurde dès que la croissance ralentit.

3. $u_1=1,2+0,9\times 1,2\times (1-\frac{1,2}{22})\approx 1,2+1,08\times 0,9455\approx 1,2+1,021\approx 2,22$, soit 2,2 au dixième, conformément au document 2. Le nombre 22 est la capacité d'accueil du milieu : l'effectif maximal (22 millions de cellules par mL) que les conditions de culture permettent ; la suite s'en approche sans le dépasser.

4. Les écarts entre mesures et modèle ne dépassent pas 0,4 million de cellules par mL (à 12 h : 20,0 contre 19,6, soit un écart relatif d'environ 2 %). Le modèle logistique reproduit les trois phases observées (croissance rapide, ralentissement, plateau) : il est bien adapté entre 0 et 16 h.

5. Dans un milieu fermé, les levures consomment les nutriments (sucres), qui ne sont pas renouvelés, et accumulent des déchets toxiques (éthanol notamment) ; la place disponible est limitée : la croissance ralentit quand l'effectif augmente. Le modèle suppose une capacité $K$ constante : il prévoit que l'effectif reste voisin de 22 indéfiniment. Or à 30 h on mesure 17,5, valeur inférieure : l'épuisement du milieu fait diminuer la capacité d'accueil au cours du temps, et la population décline. Le modèle n'est valable que sur la période qui a servi à le construire.

1. $t$ = natalité − mortalité : 1950 : 22 ‰ = 2,2 % ; 1970 : 27 ‰ = 2,7 % ; 1990 : 23 ‰ = 2,3 % ; 2010 : 14 ‰ = 1,4 % ; 2030 : 7 ‰ = 0,7 %. Le taux augmente puis diminue nettement.

2. Raison $q=1,022$ ; 1990 correspond à $n=40$ : $10,0\times 1,{022}^{40}\approx 10,0\times 2,388\approx$ 23,9 millions. La valeur observée est 26,7 millions : le modèle sous-estime d'environ 2,8 millions (écart relatif d'environ −10,6 %). En effet, le taux n'est pas resté constant : il a augmenté jusqu'en 1970 car la mortalité a baissé plus vite que la natalité.

3. Sur 20 ans, $q^{20}=\frac{38,6}{26,7}\approx 1,4457$, donc $q={\left(\frac{38,6}{26,7}\right)}^{1/20}\approx 1,0186$ : taux annuel moyen ≈ 1,86 %.

4. $38,6\times 1,{0186}^{20}\approx 38,6\times 1,4457\approx$ 55,8 millions. Or le taux d'accroissement naturel est déjà de 1,4 % en 2010 et serait de 0,7 % en 2030 : sur 2010-2030, le taux moyen sera nettement inférieur à 1,86 %. Par exemple, avec un taux moyen de 1 %, on obtiendrait $38,6\times 1,{01}^{20}\approx 47,1$ millions. La prévision de l'élève est donc surestimée : elle suppose constant un taux qui baisse.

5. Vers 1950 : natalité et mortalité élevées (début de transition). Entre 1950 et 1970 : forte baisse de la mortalité (24 → 13 ‰) alors que la natalité reste élevée : l'accroissement est maximal (27 ‰). Ensuite, la natalité baisse (40 → 14 ‰) : la croissance ralentit. En 2030, natalité et mortalité seraient basses : croissance faible, fin de transition. L'évolution de la population (croissance rapide puis ralentie) évoque une courbe en S : un modèle logistique est plus adapté qu'un modèle de Malthus, en restant prudent sur la valeur de sa limite.

1. Pour $r=0,6$ : $u_1=800+0,6\times 800\times (1-\frac{800}{5000})=800+480\times 0,84=1203,2$, soit 1 203. Pour $r=2,5$ : $u_1=800+2000\times 0,84=800+1680=$ 2 480. Les deux valeurs sont conformes au document.

2. $u_{n+1}-5000=(u_n-5000)+r{u}_n\times \frac{5000-u_n}{5000}=(u_n-5000)-\frac{r{u}_n}{5000}(u_n-5000)$. En factorisant par $u_n-5000$ : $u_{n+1}-5000=(u_n-5000)(1-\frac{r{u}_n}{5000})$.

3. Si $0 < u_n < 5\,000$ et $0 < r \leq 1$, alors $0 < \frac{r\,u_n}{5\,000} < 1$, donc $1 - \frac{r\,u_n}{5\,000} > 0$ ; comme $u_n - 5\,000 < 0$, le produit est négatif : $u_{n+1} < 5\,000$. Par ailleurs $u_{n+1} - u_n = r\,u_n\left(1 - \frac{u_n}{5\,000}\right) > 0$ comme produit de nombres positifs : $u_{n+1}>u_n$. Ainsi $u_n < u_{n+1} < 5\,000$, et de proche en proche tous les termes restent entre 0 et 5 000. La ligne $r=0,6$ le confirme : l'effectif croît (800 → 4 400) sans dépasser 5 000, avec un accroissement qui finit par diminuer : c'est la croissance logistique, vers la capacité d'accueil.

4. Pour $r=2,5$, les valeurs oscillent autour de 5 000 (2 480 ; 5 605 ; 3 910 ; 6 041 ; 2 897 ; 5 943) sans se stabiliser. Avec $u_1=2480$ : $u_1 - 5\,000 = -2\,520 < 0$ et $1 - \frac{2{,}5 \times 2\,480}{5\,000} = 1 - 1{,}24 = -0{,}24 < 0$. Le produit est positif : $u_2 - 5\,000 = (-2\,520) \times (-0{,}24) = 604{,}8$, donc $u_2=5604,8>5000$. Dès que $r{u}_n>5000$ (ici $u_n>2000$), le terme suivant « saute » au-delà de la capacité : la condition $r\le 1$ de la question 3 n'est plus remplie.

5. Les populations humaines croissent de quelques pour cent par an au plus : $r$ est de l'ordre de 0,01 à 0,03, très inférieur à 1. On est alors dans le cas de la question 3 : croissance régulière en S vers la capacité d'accueil. Les oscillations obtenues pour un grand $r$ rappellent celles de certaines populations animales à reproduction explosive, mais le comportement du modèle dépend fortement de son paramètre : il faut toujours vérifier que le réglage choisi est compatible avec les données.