Algorithmes, boucles, variables et repérage dans le plan
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Initiation à la programmation (Scratch) » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'un algorithme ?, La séquence : enchaîner les instructions, Se repérer dans le plan : les coordonnées, Déplacements et nombres relatifs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'un algorithme ?
2 · La séquence : enchaîner les instructions
3 · Se repérer dans le plan : les coordonnées
4 · Déplacements et nombres relatifs
5 · Les boucles « répéter N fois »
6 · Tracer un polygone régulier avec une boucle
7 · Les variables : mémoriser un nombre
8 · Répéter jusqu'à… et suivre un programme
1Qu'est-ce qu'un algorithme ?
Avant d'écrire un programme sur l'ordinateur, il faut savoir ce qu'on veut faire et dans quel ordre. C'est tout le sens du mot algorithme.
Définition. Un algorithme est une suite d'instructions (des ordres) écrites dans un ordre précis, qui permet de réaliser une tâche ou de résoudre un problème. Chaque instruction doit être claire et sans ambiguïté.
Tu utilises des algorithmes tous les jours sans le savoir : une recette de cuisine, le mode d'emploi d'un meuble à monter, l'itinéraire pour aller au collège… sont des algorithmes.
Exemple — faire une tartine : 1) Prendre une tranche de pain. 2) Prendre le couteau. 3) Étaler la confiture. 4) Poser le couteau. Si on change l'ordre (étaler avant de prendre le pain), l'algorithme ne marche plus !
Le vocabulaire à connaître. · Instruction : un ordre simple (« avance », « tourne »). · Programme : un algorithme écrit dans un langage que la machine comprend. · Exécuter : faire effectuer le programme par la machine (sur Scratch, on clique sur le drapeau vert 🟢). · Bug : une erreur dans le programme ; on dit qu'on le débogue quand on le corrige.
💡 Sur Scratch, on programme un personnage appelé un lutin (souvent le chat). On assemble des blocs colorés comme des pièces de puzzle : ils s'emboîtent de haut en bas, et la machine les lit dans cet ordre.
2La séquence : enchaîner les instructions
La façon la plus simple de programmer est la séquence : on place les blocs les uns sous les autres et la machine les exécute de haut en bas, l'un après l'autre.
Règle d'or. Dans une séquence, les instructions sont exécutées une par une, dans l'ordre où elles sont écrites. La machine ne « devine » rien : elle obéit exactement.
Sur Scratch, un programme commence presque toujours par le bloc-chapeau quand drapeau vert cliqué. Voici un petit programme écrit en texte :
quand 🟢 cliqué
dire « Bonjour ! » pendant 2 secondes
avancer de 100 pas
tourner ↻ de 90 degrés
Le lutin dit d'abord « Bonjour ! », puis avance, puis tourne. L'ordre compte : si on met avancer avant dire, le lutin bougera d'abord et parlera ensuite.
⚠️ Une séquence n'est pas une liste « en vrac ». Inverser deux blocs change souvent complètement le résultat. Quand un programme ne fait pas ce qu'on veut, relis-le ligne par ligne, dans l'ordre, comme le fait la machine.
💡 Pour suivre un programme à la main, prends un crayon et joue le rôle de la machine : exécute chaque ligne dans l'ordre et note ce qui se passe. C'est ce qu'on appelle « dérouler » le programme.
3Se repérer dans le plan : les coordonnées
Sur la scène de Scratch, chaque point a une adresse faite de deux nombres : son abscisse x et son ordonnée y. C'est un repère, exactement comme en géométrie.
À retenir. Le point (0 ; 0) est le centre de la scène. · x = déplacement horizontal : positif vers la droite, négatif vers la gauche. · y = déplacement vertical : positif vers le haut, négatif vers le bas.
On note un point (x ; y) : d'abord x, puis y. Par exemple (100 ; 60) est à droite et en haut du centre.
Sur Scratch, deux blocs servent à utiliser les coordonnées :
aller à x : ... y : ... → le lutin saute directement au point donné.
ajouter ... à x ou ajouter ... à y → on décale le lutin (on ajoute un relatif).
⚠️ Attention au signe ! ajouter -50 à x déplace le lutin de 50 vers la gauche. Un nombre négatif en x va à gauche, un négatif en y va vers le bas.
4Déplacements et nombres relatifs
Pour déplacer un lutin, on combine des déplacements (avancer) et des rotations (tourner). En 5e, on fait bien la différence entre une position et un déplacement.
Position ≠ déplacement. ·aller à x : 50 y : 0 place le lutin à l'endroit (50 ; 0), peu importe d'où il vient. ·ajouter 50 à xajoute 50 à sa position actuelle : c'est un déplacement relatif.
Exemple. Le lutin est en (20 ; 10).
Après ajouter 30 à x : il est en (50 ; 10).
Après ajouter -15 à y : il est en (50 ; -5).
On ajoute le relatif à la coordonnée concernée, en respectant le signe.
Pour les rotations, deux blocs :
tourner ↻ de 90 degrés : rotation vers la droite (sens des aiguilles d'une montre).
tourner ↺ de 90 degrés : rotation vers la gauche.
s'orienter à 90 : le lutin pointe vers la droite (0 = vers le haut, 90 = droite, 180 = bas, -90 = gauche).
💡 Pour faire avancer un lutin en diagonale ou tracer un trait précis, le plus sûr est souvent d'utiliser les coordonnées : aller à pour le point de départ, puis ajouter ... à x et ajouter ... à y.
5Les boucles « répéter N fois »
Quand on doit répéter plusieurs fois la même chose, on évite de recopier les blocs : on utilise une boucle. C'est l'un des grands intérêts de la programmation.
Définition. Une bouclerépéter N fois exécute les instructions placées à l'intérieur exactement N fois de suite, puis s'arrête.
Comparons deux programmes qui font la même chose : avancer 4 fois de 50 pas.
Sans boucle (lourd)
Avec boucle (malin)
avancer de 50 avancer de 50 avancer de 50 avancer de 50
répéter 4 fois avancer de 50
Les deux donnent le même résultat, mais la boucle est plus courte, plus claire, et facile à modifier (pour faire 10 fois, on change juste le nombre).
Exemple — un escalier :
répéter 5 fois
avancer de 30 pas
ajouter 30 à y
Le lutin monte 5 « marches » identiques.
⚠️ Tout ce qui doit être répété doit être à l'intérieur de la boucle (les blocs « encastrés »). Un bloc placé après la boucle ne s'exécute qu'une seule fois, à la fin.
💡 Pour compter combien d'actions au total : nombre de répétitions × nombre d'actions dans la boucle. Une boucle répéter 5 fois qui contient 2 blocs exécute 5 × 2 = 10 instructions.
6Tracer un polygone régulier avec une boucle
C'est l'usage star de la boucle ! Pour tracer un polygone régulier (tous les côtés et tous les angles égaux), on répète : avancer puis tourner.
La règle de l'angle. Pour tracer un polygone régulier à n côtés, le lutin tourne à chaque sommet d'un angle :
angle de rotation = 360n degrés
Pourquoi 360 ? Parce qu'en faisant le tour complet de la figure, le lutin effectue un tour entier, soit 360° au total, répartis également sur les n sommets.
Figure
n côtés
Calcul 360 ÷ n
Angle
Triangle équilatéral
3
360 ÷ 3
120°
Carré
4
360 ÷ 4
90°
Pentagone
5
360 ÷ 5
72°
Hexagone
6
360 ÷ 6
60°
Programme qui trace un carré de côté 100 :
stylo en position d'écriture
répéter 4 fois
avancer de 100 pas
tourner ↻ de 90 degrés
Exemple — triangle équilatéral :
répéter 3 fois
avancer de 100 pas
tourner ↻ de 120 degrés
⚠️ Piège fréquent : on croit qu'il faut tourner de l'angle intérieur de la figure. Non ! Le lutin tourne de l'angle extérieur, qui vaut 360 ÷ n. Pour le triangle on tourne de 120° (et non de 60°).
7Les variables : mémoriser un nombre
Une variable est comme une boîte étiquetée dans laquelle on range un nombre. On peut lire ce qu'elle contient, le changer, et s'en servir dans le programme.
Définition. Une variable a un nom (l'étiquette) et une valeur (le nombre rangé dedans). On peut : ·mettre score à 0 : on fixe la valeur. ·ajouter 1 à score : on modifie la valeur (ici on l'augmente de 1).
Exemple — un compteur :
mettre score à 0
répéter 3 fois
ajouter 1 à score
À la fin, la variable score contient 3 (0 → 1 → 2 → 3).
Une variable peut servir à rendre un programme réglable. Par exemple, pour tracer un polygone dont on choisit le côté :
mettre côté à 80
répéter 4 fois
avancer de (côté) pas
tourner ↻ de 90 degrés
Il suffit de changer la valeur de côté pour obtenir un carré plus grand ou plus petit, sans toucher au reste.
💡 Pour suivre un programme avec variable, fais un petit tableau de la variable : tu écris sa valeur après chaque ligne. C'est la meilleure méthode pour ne pas se tromper.
8Répéter jusqu'à… et suivre un programme
Parfois on ne sait pas combien de fois répéter : on veut continuer tant qu'une condition n'est pas remplie. C'est la boucle répéter jusqu'à.
Définition.répéter jusqu'à ce que (condition) répète les instructions intérieures tant que la condition est fausse, et s'arrête dès qu'elle devient vraie. On teste la condition avant chaque tour.
Exemple.
mettre x à 0
répéter jusqu'à ce que x = 10
ajouter 2 à x
La boucle s'arrête quand x atteint 10. Valeurs successives : 2, 4, 6, 8, 10 → elle tourne 5 fois.
⚠️ Si la condition n'est jamais vraie, la boucle ne s'arrête plus : c'est une boucle infinie. Vérifie toujours que la condition finira par être atteinte (ici, x augmente bien et passe par 10 exactement).
Méthode : suivre (dérouler) un programme
Pas à pas.
1) Repère le bloc de départ (drapeau vert).
2) Exécute chaque ligne dans l'ordre, comme la machine.
3) À chaque boucle, compte les tours et note la valeur des variables dans un tableau.
4) Note la position finale du lutin ou la figure obtenue.
🎓 Récap express : un algorithme = suite d'instructions ordonnées · séquence = de haut en bas · coordonnées (x ; y) : x droite/gauche, y haut/bas · relatif = on ajoute en respectant le signe · boucle « répéter N fois » pour répéter · polygone régulier à n côtés → on tourne de 360 ÷ n · variable = boîte qui mémorise un nombre · « répéter jusqu'à » s'arrête quand la condition devient vraie.