Pythagore, Thalès & trigonométrie

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 4{,}8$ cm et $BC = 7{,}3$ cm. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.

1. Calcule la longueur $AC$.
2. Calcule la mesure de l'angle ABC, arrondie au degré.
3. Calcule l'aire du triangle $ABC$.
4. En utilisant deux expressions de l'aire, calcule la longueur $AH$ arrondie au millimètre.

Trois triangles ont été mesurés. Pour chacun, on veut savoir s'il est rectangle.

1. Démontre que le triangle $T_1$ est rectangle et précise quel côté est opposé à l'angle droit.
2. Le triangle $T_2$ est-il rectangle ? Rédige la justification.
3. Le triangle $T_3$ est-il rectangle ? Attention aux unités.
4. Dans le triangle $T_1$, calcule la mesure de l'angle opposé au côté de $4{,}2$ cm, arrondie au degré.

Un poteau vertical $[BC]$ est maintenu par un câble rectiligne $[AC]$ fixé au sol au point $A$, avec $AB = 6{,}5$ m. Un piquet vertical $[MN]$ de $1{,}26$ m est planté sur le segment $[AB]$ à $2{,}1$ m de $A$ ; son sommet $N$ touche exactement le câble.

1. Explique pourquoi les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
2. Calcule la hauteur $BC$ du poteau.
3. Calcule la longueur du câble $[AC]$, arrondie au centimètre.
4. Calcule l'angle que fait le câble avec le sol, arrondi au degré.

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse et justifie par un calcul ou une propriété.

1. « Un triangle dont les côtés mesurent $15$ mm, $3{,}6$ cm et $3{,}9$ cm est rectangle. »
2. « Dans un triangle rectangle, on peut avoir cos B $= 1{,}04$ si l'angle est très petit. »
3. « Si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)$ et $(BC)$ sont toujours parallèles. »
4. « Dans un triangle $ABC$, si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors le triangle n'est pas rectangle en $A$. »

Une tyrolienne relie une plateforme de départ, dont le point d'accroche est à $12{,}4$ m au-dessus du sol, à une plateforme d'arrivée dont le point d'accroche est à $2{,}8$ m du sol. La distance horizontale entre les deux plateformes est de $54$ m. Le câble est supposé rectiligne. La réglementation impose un angle du câble avec l'horizontale inférieur à $12°$. Le câble est vendu par rouleaux de $10$ m au prix de $38$ € le rouleau.

1. Fais un schéma de la situation et calcule le dénivelé entre les deux points d'accroche.
2. Calcule la longueur du câble tendu, arrondie au centimètre.
3. Cette tyrolienne respecte-t-elle la réglementation ? Justifie.
4. Combien coûte le câble ? On prévoit $1{,}5$ m de plus à chaque extrémité pour les fixations. Toute trace de recherche sera prise en compte.