Pythagore, Thalès & trigonométrie

Exercice 1 — Calculer une longueur avec Pythagore
Corrigé :
$BC$ : d'après Pythagore, $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$, donc $BC = \sqrt{225} = 15$ cm. (2 pts)

$DF$ : $EF^2 = DE^2 + DF^2$, donc $DF^2 = EF^2 - DE^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$, d'où $DF = \sqrt{144} = 12$ cm. (2 pts)

Exercice 2 — Réciproque de Pythagore
Corrigé :
1) Le plus grand côté est $29$ cm. On calcule : $29^2 = 841$ et $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$. Comme $29^2 = 20^2 + 21^2$, d'après la réciproque de Pythagore le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de $29$ cm. (2 pts)

2) Le plus grand côté est $10$ cm. $10^2 = 100$ et $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$. Comme $100 \neq 85$, le triangle n'est pas rectangle. (2 pts)

Exercice 3 — Théorème de Thalès
Corrigé :
$AN$ : d'après Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{12{,}5}$. Par produit en croix : $AN = \dfrac{4 \times 12{,}5}{10} = \dfrac{50}{10} = 5$ cm. (2 pts)

$MN$ : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{MN}{15}$, donc $MN = \dfrac{4 \times 15}{10} = 6$ cm. (2 pts)

Exercice 4 — Trigonométrie : longueur et angle
Corrigé :
1) $AB$ est adjacent à $\widehat{B}$, $BC$ est l'hypoténuse : $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{AB}{BC}$, donc $BC = \dfrac{AB}{\cos(35°)} = \dfrac{8}{0{,}82} \approx 9{,}8$ cm. (3 pts)

2) $\sin(\text{angle}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$. Avec la touche $\sin^{-1}$ : l'angle $= \sin^{-1}(0{,}5) = 30°$. (2 pts)

Exercice 5 — Choisir le bon théorème (raisonnement)
Corrigé :
1) On utilise la trigonométrie (cosinus ou sinus), car un angle intervient : Pythagore ne relie que des longueurs entre elles et ne permet pas d'exploiter un angle connu. (1,5 pt)

2) On applique le théorème de Thalès, car la configuration présente deux droites parallèles coupant deux sécantes : les longueurs des deux triangles sont proportionnelles. (1,5 pt)