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Mathématiques · Classe de 3ᵉ

Calcul littéral & identités remarquables

Développer, réduire et factoriser des expressions avec les trois identités remarquables — programme de 3e

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Calcul littéral & identités remarquables » en troisième permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de troisième et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Vocabulaire : expression littérale, terme, facteur, Développer avec la distributivité, Réduire une expression, Les trois identités remarquables. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 45 min · Noté sur 20
45:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Développer et réduire

/ 4 pts
  1. Développer et réduire $A = 4(x - 3) + (x + 2)(x - 5)$.
  2. Développer et réduire $B = (x + 4)^2 - (x - 1)(x + 1)$.

Exercice 2 — Identités remarquables

/ 5 pts
  1. Développer $(2x - 3)^2$.
  2. Développer $(5x + 4)(5x - 4)$.
  3. Factoriser $x^2 + 14x + 49$ à l'aide d'une identité remarquable.

Exercice 3 — Factoriser

/ 5 pts
  1. Factoriser $20x^2 - 15x$ en mettant en facteur le plus grand facteur commun.
  2. Factoriser $x^2 - 81$.
  3. Factoriser $5(x - 3) + x(x - 3)$, puis résoudre $5(x - 3) + x(x - 3) = 0$.

Exercice 4 — Calcul rapide par le calcul littéral

/ 3 pts
  1. En utilisant l'identité $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, calculer $302 \times 298$ sans calculatrice.
  2. En utilisant une identité remarquable, calculer $1\,002^2$.

Exercice 5 — Problème : aire d'un cadre

/ 3 pts
  1. Un carré de carton a un côté de $(x + 6)$ cm. On découpe en son centre un carré de côté $x$ cm. Exprime l'aire du carton restant en fonction de $x$, développée et réduite.
  2. Pour quelle valeur de $x$ cette aire vaut-elle 60 cm² ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Développer et réduire
Corrigé :
A : $4(x-3) = 4x - 12$ ; $(x+2)(x-5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$.
Donc $A = 4x - 12 + x^2 - 3x - 10 = x^2 + x - 22$. (2 pts)

B : $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$ ; $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$.
Donc $B = x^2 + 8x + 16 - (x^2 - 1) = 8x + 17$. (2 pts)

Exercice 2 — Identités remarquables
Corrigé :
$(2x-3)^2$ : $(a-b)^2$ avec $a = 2x$, $b = 3$ : $(2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$. (2 pts)

$(5x+4)(5x-4)$ : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a = 5x$, $b = 4$ : $25x^2 - 16$. (1,5 pt)

Factorisation : $x^2 + 14x + 49 = x^2 + 2 \times x \times 7 + 7^2 = (x+7)^2$. (1,5 pt)

Exercice 3 — Factoriser
Corrigé :
$20x^2 - 15x$ : facteur commun $5x$ → $5x(4x - 3)$. (1 pt)

$x^2 - 81$ : $x^2 - 9^2 = (x + 9)(x - 9)$. (1,5 pt)

$5(x-3) + x(x-3)$ : facteur commun $(x-3)$ → $(x-3)(5 + x)$. (1,5 pt)
Résolution : $(x-3)(x+5) = 0 \Rightarrow x - 3 = 0$ ou $x + 5 = 0 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -5$. (1 pt)

Exercice 4 — Calcul rapide par le calcul littéral
Corrigé :
$302 \times 298$ : $302 = 300 + 2$ et $298 = 300 - 2$, donc $(300+2)(300-2) = 300^2 - 2^2 = 90\,000 - 4 = 89\,996$. (1,5 pt)

$1\,002^2$ : $1\,002 = 1\,000 + 2$, donc $(1000+2)^2 = 1\,000^2 + 2 \times 1\,000 \times 2 + 2^2 = 1\,000\,000 + 4\,000 + 4 = 1\,004\,004$. (1,5 pt)

Exercice 5 — Problème : aire d'un cadre
Corrigé :
Aire du grand carré : $(x+6)^2 = x^2 + 12x + 36$.
Aire du carré découpé : $x^2$.
Aire restante : $(x^2 + 12x + 36) - x^2 = 12x + 36$. (2 pts)

$12x + 36 = 60 \Rightarrow 12x = 24 \Rightarrow x = 2$ cm. (1 pt)

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