Interactions : modéliser une action par une force

Cinq situations : (1) au bout d’une corde, un aimant puissant attire vers lui une clé tombée au fond d’un canal (pêche à l’aimant) ; (2) un jardinier pousse une brouette ; (3) la Terre attire un plongeur qui vient de quitter le plongeoir ; (4) le vent gonfle la voile d’un char à voile ; (5) un club de golf frappe une balle.

1. Situation (1) : l’acteur est .
   L’acteur est celui qui agit : l’aimant ; le receveur est la clé.
2. Situation (1) : action de contact ou à distance ?
   L’aimant attire la clé avant de la toucher : action magnétique, à distance.
3. Situation (4) : le receveur est .
   Le vent (l’air en mouvement) agit sur la voile.
4. Situation (4) : action de contact ou à distance ?
   L’air touche la voile : action de contact.
5. Situation (3) : la force qui modélise cette action porte un nom particulier, .
   L’action de la Terre sur un objet proche de sa surface est modélisée par le poids du plongeur.
6. Situation (5) : pendant le choc, en plus de mettre la balle en mouvement, l’action du club la .
   Le club déforme brièvement la balle, qui s’écrase puis reprend sa forme : une action mécanique peut déformer le receveur.

Une grue soulève lentement une cloche d’église neuve, suspendue à un câble vertical attaché au point A, à l’anneau situé au sommet de la cloche. Le câble exerce sur la cloche une force de valeur 6 300 N.

1. Direction de la force exercée par le câble :
   Un câble tire selon sa propre direction : la force est verticale.
2. Sens de cette force : vers le
   Le câble tire la cloche vers lui : vers le haut.
3. Point d’application : le point
   La force s’applique au point d’attache du câble : A.
4. Longueur de la flèche à l’échelle 1 cm pour 1 500 N : cm
   6 300 ÷ 1 500 = 4,2 cm.
5. Sur un autre schéma, la même force est représentée par une flèche de 3,5 cm. Échelle : 1 cm pour N
   1 cm représente 6 300 ÷ 3,5 = 1 800 N.

Un enfant tire une luge avec une corde attachée au point A. La figure représente la force exercée par la corde sur la luge, sur un quadrillage.

1. Longueur de la flèche : carreaux
   La flèche va de 4 carreaux vers la droite et de 3 carreaux vers le haut ; par le théorème de Pythagore : $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=$ 5 carreaux.
2. Valeur de la force : N
   5 carreaux × 20 N = 100 N.
3. Cette force se note $\overrightarrow{F}$ avec l’indice (acteur/receveur).
   L’acteur est la corde, le receveur la luge : ${\overrightarrow{F}}_{\text{corde/luge}}$.
4. Avec la même échelle, une force horizontale de 60 N serait représentée par une flèche de carreaux.
   60 ÷ 20 = 3 carreaux.

Pour chaque système, compte les forces qui s’exercent sur lui.

1. Un téléphone posé sur un support incliné, lui-même posé sur un bureau ; air négligé. Nombre de forces exercées sur le téléphone :
   La Terre (à distance) et le support (contact) : 2 forces. Le bureau ne touche pas le téléphone.
2. Une bille roule sur le carrelage après une pichenette ; air négligé. Nombre de forces :
   La Terre et le carrelage : 2 forces. Le doigt ne la touche plus.
3. Un ballon gonflé à l’hélium, retenu par une ficelle, immobile ; air pris en compte. Nombre de forces :
   La Terre, la ficelle et l’air : 3 forces. C’est l’air qui pousse le ballon vers le haut.
4. La bille d’un pendule, juste après que la main l’a lâchée ; air négligé. Nombre de forces :
   La Terre et le fil : 2 forces. La main, qui ne la touche plus, n’agit plus.
5. Dans le DOI du ballon d’hélium, le trait qui le relie à la Terre est tracé en .
   L’interaction avec la Terre est à distance : trait en pointillés.

Un grimpeur descend une falaise en rappel : il est suspendu à une corde fixée en haut de la falaise, et ses pieds s’appuient sur la paroi rocheuse. Système : {grimpeur}. L’action de l’air est négligée.

1. Nombre d’objets reliés au grimpeur dans le DOI :
   La Terre, la corde et la paroi : 3 objets, donc 3 forces : le poids $\overrightarrow{P}$, la force $\overrightarrow{T}$ de la corde et la force $\overrightarrow{R}$ de la paroi.
2. L’objet relié par un trait en pointillés est .
   Seule la Terre agit à distance.
3. La force exercée par la corde a la direction de .
   Une corde tendue tire selon sa propre direction : celle de la corde, inclinée par rapport à la verticale.
4. Elle est orientée du grimpeur vers (le point d’ancrage ou le sol).
   Un fil tire l’objet vers lui : du grimpeur vers le point d’ancrage, en haut de la falaise.
5. On étudie maintenant le système {grimpeur + corde}. Il est relié au rocher du point d’ancrage par un trait .
   La corde fait partie du système et touche le rocher où elle est fixée : interaction de contact, trait plein.

Un aimant décoratif maintient une carte postale contre la porte métallique d’un réfrigérateur. La carte n’est pas magnétique. Tom a tracé le DOI du système {carte postale} ; l’action de l’air est négligée.

1. Le trait entre la carte et la porte doit être .
   La porte touche la carte : trait plein. Sur ce trait, Tom a raison.
2. Le trait entre la carte et la Terre doit être en .
   La Terre agit à distance : pointillés.
3. Le trait entre la carte et l’aimant doit être .
   La carte n’est pas magnétique : l’aimant agit sur elle seulement parce qu’il la touche et la presse contre la porte. Trait plein. Tom a donc fait deux erreurs de trait.
4. Nombre de forces exercées sur la carte :
   Le poids, la force de l’aimant et la force de la porte : 3 forces.
5. L’aimant attire la porte. Nombre de traits qui représentent cette interaction dans le DOI de la carte :
   L’interaction aimant–porte ne concerne pas le système : aucun trait ne la représente dans ce DOI.

Applique le principe des actions réciproques.

1. Pendant une frappe, le pied d’un footballeur exerce sur le ballon une force de 950 N, dirigée vers le but. Le ballon exerce sur le pied une force de N.
   Même valeur : 950 N.
2. Cette force du ballon sur le pied est dirigée à l’opposé du .
   Sens opposé : à l’opposé du but, vers le joueur.
3. Elle s’applique sur .
   ${\overrightarrow{F}}_{\text{ballon/pied}}$ a pour receveur le pied.
4. La Terre attire un satellite en orbite avec une force de 3 800 N. Le satellite attire la Terre avec une force de N.
   Le principe vaut aussi pour les actions à distance : l’action du satellite sur la Terre a la même valeur, 3 800 N, dirigée vers le satellite.
5. Un vase est posé sur une table. La réciproque de la force exercée par la table sur le vase est la force exercée par le vase sur .
   On échange acteur et receveur : action du vase sur la table. Ce n’est pas le poids du vase, dont l’acteur est la Terre.

Pendant un démarrage, un tracteur exerce sur sa remorque une force horizontale de 2 400 N, vers l’avant. L’axe Ox est horizontal, orienté vers l’avant.

1. Valeur de la force exercée par la remorque sur le tracteur pendant ce démarrage : N
   Le principe vaut aussi pendant un mouvement : 2 400 N.
2. Écart entre les valeurs de ces deux forces : N
   0 N : un élève qui dit « le tracteur avance parce qu’il tire plus fort que la remorque ne le retient » se trompe. Le mouvement du tracteur dépend des forces qui s’exercent sur lui, dont celle du sol sur ses roues.
3. Coordonnée sur Ox de ${\overrightarrow{F}}_{\text{remorque/tracteur}}$ : N
   ${\overrightarrow{F}}_{\text{remorque/tracteur}}=-{\overrightarrow{F}}_{\text{tracteur/remorque}}$ : coordonnée −2 400 N, dirigée vers l’arrière.
4. Le bilan des forces exercées sur la remorque contient de ces deux forces.
   Une seule : ${\overrightarrow{F}}_{\text{tracteur/remorque}}$. L’autre s’exerce sur le tracteur.

Deux aimants A (300 g) et B (100 g) sont posés, immobiles, sur une table horizontale, à quelques centimètres l’un de l’autre ; ils s’attirent. Un capteur indique que A exerce sur B une force de 0,40 N. L’action de l’air est négligée ; $g=9,81$ N/kg.

1. Valeur de la force exercée par B sur A : N
   Actions réciproques : 0,40 N, bien que B soit trois fois moins massif que A.
2. Le poids de A vaut N (au centième).
   $P=0,300\times 9,81\approx$ 2,94 N (masse en kg).
3. La force exercée par B sur A est dirigée vers (A ou B).
   Les aimants s’attirent : B attire A vers lui, la force exercée par B sur A est dirigée vers B, sur la droite qui joint les deux aimants.
4. Dans le DOI de l’aimant B, l’aimant A est relié par un trait en .
   Les aimants ne se touchent pas : interaction magnétique à distance, pointillés.
5. Nombre de forces exercées sur B :
   La Terre, la table et l’aimant A : 3 forces.

Complète avec le vocabulaire du cours.

1. Un palet glisse sur une glace parfaitement lisse : la force exercée par la glace sur le palet est à la glace.
   Sans frottement, la force d’un support est perpendiculaire à la surface de contact.
2. Un fil tendu exerce sur l’objet une force orientée de l’objet vers .
   Un fil tire l’objet : de l’objet vers le fil.
3. Un fil peut tirer un objet, mais jamais le .
   Un fil ne peut que tirer : il ne pousse jamais.
4. La force exercée par un support se représente au de la surface de contact.
   Elle est répartie sur toute la surface : on la représente en son centre.
5. Un fil détendu, attaché à un objet, exerce sur lui une force de N.
   Un fil détendu ne tire pas : 0 N.

Une piñata de masse 1,35 kg pend, immobile, à une branche par une cordelette verticale attachée au point A de son anneau ; son centre de gravité G est situé sous A. L’action de l’air est négligée ; $g=9,81$ N/kg. On admet que les deux forces exercées sur la piñata se compensent.

1. Valeur du poids (au dixième) : N
   $P=mg=1,35\times 9,81\approx$ 13,2 N.
2. La force exercée par la cordelette s’applique au point .
   Au point d’attache : A.
3. Elle est verticale, orientée vers le .
   La cordelette tire la piñata vers elle : vers le haut.
4. Sa valeur : N
   Elle compense le poids : même valeur, 13,2 N.
5. À l’échelle 1 cm pour 4 N, chaque flèche mesure (au dixième) cm.
   13,2 ÷ 4 = 3,3 cm : $\overrightarrow{P}$ part de G vers le bas, $\overrightarrow{T}$ part de A vers le haut, sur la même verticale.

Deux bacs de rangement sont empilés, immobiles, sur le sol horizontal d’un garage : le bac du haut, de masse 3,20 kg, repose sur le couvercle du bac du bas, de masse 5,60 kg. L’action de l’air est négligée ; $g=9,81$ N/kg.

1. Nombre de forces exercées sur le bac du haut :
   La Terre (pointillés) et le bac du bas (trait plein). Le sol ne touche pas le bac du haut : 2 forces.
2. Valeur de la force exercée par le bac du bas sur le bac du haut (au dixième) : N
   Le bac du haut est immobile, soumis à deux forces qui se compensent : $R=P=3,20\times 9,81\approx$ 31,4 N, verticale, vers le haut.
3. La force exercée par le bac du haut sur le bac du bas est verticale, orientée vers le .
   C’est la réciproque de la force précédente : même droite, même valeur (31,4 N), sens opposé, vers le bas, appliquée au couvercle du bac du bas.
4. Cette force est-elle le poids du bac du haut ? (oui ou non) :
   Non : elle a la même valeur, mais le poids du bac du haut a pour acteur la Terre et s’exerce sur le bac du haut ; cette force-ci a pour acteur le bac du haut et s’exerce sur le bac du bas.
5. Nombre de forces exercées sur le bac du bas :
   La Terre, le sol et le bac du haut : 3 forces.
6. On admet que la force exercée par le sol, verticale vers le haut, compense à elle seule les deux autres forces exercées sur le bac du bas, toutes deux verticales vers le bas. Sa valeur (au dixième) : N
   Poids du bac du bas : $5,60\times 9,81\approx 54,9$ N ; force du sol : 54,9 + 31,4 = 86,3 N. Le sol porte les deux bacs, pas seulement celui qu’il touche.

Utilise les proportionnalités de la loi $F=G{\displaystyle \frac{m_A{m}_B}{d^2}}$.

1. La distance entre les centres est multipliée par 3 : la force est divisée par .
   $F$ est inversement proportionnelle à $d^2$ : $3^2=$ 9.
2. La masse de l’un des corps est multipliée par 5, la distance reste la même : la force est multipliée par .
   $F$ est proportionnelle à chacune des masses : ×5.
3. La distance est divisée par 2 : la force est multipliée par .
   $d^2$ est divisé par $2^2=4$, donc $F$ est multipliée par 4.
4. Les deux masses sont doublées et la distance aussi : la force est multipliée par .
   Numérateur × 4, dénominateur × 4 : la force est multipliée par 1, elle ne change pas.
5. Un objet est transporté de la surface de la Terre à une altitude égale à 3 rayons terrestres : la force exercée par la Terre est divisée par .
   La distance au centre passe de $R$ à $R+3R=4R$ : force divisée par $4^2=$ 16, et non par $3^2$, car $d$ se compte depuis le centre.

Données : $M_S=1,99\times {10}^{30}$ kg (Soleil) ; $M_T=5,97\times {10}^{24}$ kg (Terre) ; distance moyenne entre les centres $d=1,50\times {10}^{11}$ m ; $G=6,67\times {10}^{-11}$ N·m²·kg⁻². Le vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_{ST}$ est orienté du Soleil vers la Terre.

1. Valeur de la force exercée par le Soleil sur la Terre : × 10²² N
   $F=6,67\times {10}^{-11}\times {\displaystyle \frac{1,99\times {10}^{30}\times 5,97\times {10}^{24}}{(1,50\times {10}^{11}{)}^2}}\approx$ 3,52 × 10²² N.
2. La force exercée par la Terre sur le Soleil est dirigée vers .
   C’est une attraction : la Terre attire le Soleil vers elle, avec la même valeur, $3,52\times {10}^{22}$ N.
3. Dans l’écriture ${\overrightarrow{F}}_{S/T}=k{\overrightarrow{u}}_{ST}$, le nombre $k$ est (positif ou négatif).
   ${\overrightarrow{F}}_{S/T}$ attire la Terre vers le Soleil, à l’opposé de ${\overrightarrow{u}}_{ST}$ : $k=-G{\displaystyle \frac{M_S{M}_T}{d^2}}$ est négatif.
4. Début juillet, la distance atteint $1,52\times {10}^{11}$ m. Nouvelle valeur : × 10²² N
   $F\prime =F\times {\left({\displaystyle \frac{1,50}{1,52}}\right)}^2\approx 3,522\times {10}^{22}\times 0,9739\approx$ 3,43 × 10²² N.
5. Diminution de la force, en pourcentage (au dixième) : %
   $1-0,9739=0,0261$ : 2,6 % environ, pour une distance augmentée de 1,3 % seulement (effet du carré).

Une sonde de masse $m$ se trouve sur le segment qui joint le centre T de la Terre et le centre L de la Lune, à la distance $x$ de T. Données : $M_T=5,97\times {10}^{24}$ kg ; $M_L=7,35\times {10}^{22}$ kg ; $TL=D=3,84\times {10}^8$ m. On cherche le point où les forces exercées par la Terre et par la Lune ont la même valeur ; on montre que cela équivaut à ${\displaystyle \frac{D-x}{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}$.

1. Valeur de $\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}$ (à 0,001 près) :
   $F_T=F_L⟺{\displaystyle \frac{M_T}{x^2}}={\displaystyle \frac{M_L}{(D-x{)}^2}}$, soit ${\left({\displaystyle \frac{D-x}{x}}\right)}^2={\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}$ ; ${\displaystyle \frac{D-x}{x}}>0$, d’où la racine. $\sqrt{0,01231}\approx$ 0,111.
2. Valeur de $x$ : × 10⁸ m
   ${\displaystyle \frac{D}{x}}-1=0,111$, donc $x={\displaystyle \frac{3,84\times {10}^8}{1,111}}\approx$ 3,46 × 10⁸ m.
3. Distance entre la sonde et le centre de la Lune, au millier de kilomètres : km
   $D-x\approx 3,84\times {10}^8-3,456\times {10}^8\approx 3,8\times {10}^7$ m, soit environ 38 000 km : le point est bien plus près de la Lune, moins massive.
4. En ce point, la somme des deux forces exercées sur la sonde est .
   Même valeur, même droite, sens opposés : leur somme est nulle. La sonde subit pourtant deux forces ; elles se compensent.

Données : $M_{\text{Mars}}=6,42\times {10}^{23}$ kg ; $R_{\text{Mars}}=3,39\times {10}^6$ m ; $G=6,67\times {10}^{-11}$ N·m²·kg⁻² ; $g_{\text{Terre}}=9,81$ N/kg. Un rover a une masse de 1 025 kg.

1. Intensité de la pesanteur à la surface de Mars (au centième) : N/kg
   $mg=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}$ donne $g=6,67\times {10}^{-11}\times {\displaystyle \frac{6,42\times {10}^{23}}{(3,39\times {10}^6{)}^2}}\approx$ 3,73 N/kg.
2. Poids du rover sur Mars : × 10³ N
   $P_M=1025\times 3,73\approx 3823$ N, soit 3,82 × 10³ N.
3. Poids du rover sur Terre : × 10⁴ N
   $P_T=1025\times 9,81\approx 10055$ N, soit 1,01 × 10⁴ N.
4. Rapport $P_{\text{Terre}}÷P_{\text{Mars}}$ (au centième) :
   À masse égale, le rapport des poids est celui des $g$ : $9,81÷3,73\approx$ 2,63.
5. Sur Mars, le poids du rover est dirigé vers .
   Le poids est porté par la verticale du lieu, vers le centre de Mars.

On assimile le poids d’un objet situé à l’altitude $h$ à la force gravitationnelle exercée par la Terre. Données : $M_T=5,97\times {10}^{24}$ kg ; $R_T=6,37\times {10}^6$ m ; $G=6,67\times {10}^{-11}$ N·m²·kg⁻² ; au sol, $g_0=9,81$ N/kg.

1. $g$ à l’altitude des satellites géostationnaires, $h=35800$ km (à 0,001 près) : N/kg
   $R_T+h=6,37\times {10}^6+3,58\times {10}^7=4,217\times {10}^7$ m ; $g=6,67\times {10}^{-11}\times {\displaystyle \frac{5,97\times {10}^{24}}{(4,217\times {10}^7{)}^2}}\approx$ 0,224 N/kg.
2. Au sol, $g$ est environ fois plus grand (à l’unité).
   $9,81÷0,224\approx 43,8$, soit environ 44 fois.
3. Altitude à laquelle $g$ vaut la moitié de sa valeur au sol : × 10⁶ m
   ${\displaystyle \frac{1}{(R_T+h{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{2R_T^2}}$ donne $R_T+h=\sqrt{2}{R}_T$, donc $h=(\sqrt{2}-1)R_T\approx 0,414\times 6,37\times {10}^6\approx$ 2,64 × 10⁶ m.
4. Poids en orbite d’un satellite géostationnaire de 1 250 kg : N
   $P=1250\times 0,224=$ 280 N. Avec $g_0$, on trouverait 1,23 × 10⁴ N, environ 44 fois trop.

« Peser la Terre ». Au sol, on mesure $g_0=9,81$ N/kg ; le rayon terrestre vaut $R_T=6,37\times {10}^6$ m et $G=6,67\times {10}^{-11}$ N·m²·kg⁻². Les roches de la croûte continentale ont une masse volumique moyenne d’environ $2,7\times {10}^3$ kg/m³.

1. Masse de la Terre déduite de $g_0=G{\displaystyle \frac{M_T}{R_T^2}}$ : × 10²⁴ kg
   $M_T={\displaystyle \frac{g_0{R}_T^2}{G}}={\displaystyle \frac{9,81\times (6,37\times {10}^6{)}^2}{6,67\times {10}^{-11}}}\approx$ 5,97 × 10²⁴ kg.
2. Volume de la Terre, $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R_T^3$ : × 10²¹ m³
   $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times (6,37\times {10}^6{)}^3\approx$ 1,08 × 10²¹ m³.
3. Masse volumique moyenne de la Terre : × 10³ kg/m³
   $\rho ={\displaystyle \frac{M_T}{V}}\approx {\displaystyle \frac{5,968\times {10}^{24}}{1,083\times {10}^{21}}}\approx$ 5,51 × 10³ kg/m³ (5,53 si l’on divise les valeurs arrondies).
4. La Terre est en moyenne environ fois plus dense que les roches de sa croûte continentale (à l’unité).
   $5,51÷2,7\approx 2,0$ : environ 2 fois. L’intérieur de la Terre est donc bien plus dense que sa surface.