Mouvement : système, référentiel et vecteur vitesse

Système. C’est l’objet, ou l’ensemble d’objets, dont on étudie le mouvement. On le nomme avant toute description : « le ballon », « le centre de la Lune », « la valve de la roue ».

Échelles caractéristiques. Avant de décrire un mouvement, on repère l’ordre de grandeur des distances parcourues et des durées en jeu : elles guident le choix du référentiel et des instruments de mesure.

Modèle du point. On remplace le système par un seul point, en général son centre, pour décrire son mouvement d’ensemble. Ce modèle entraîne une perte d’informations : on ne voit plus la rotation du système sur lui-même, ni ses déformations, ni le mouvement de ses différentes parties. Il est d’autant mieux justifié que les dimensions du système sont petites devant les distances parcourues.

Position et trajectoire. Dans un repère, la position du point à la date t est M(x ; y). La trajectoire est l’ensemble des positions successives occupées par le point au cours du temps, dans un référentiel donné. Elle est rectiligne (portion de droite), circulaire (portion de cercle) ou curviligne (courbe quelconque).

Représenter les positions avec Python. On range les coordonnées dans deux listes, puis on place un point par position :

import matplotlib.pyplot as plt
# positions d’un ballon-sonde, toutes les 0,5 s
x = [0, 1.2, 2.4, 3.6, 4.8]   # abscisses en m
y = [0, 0.9, 1.8, 2.7, 3.6]   # altitudes en m
plt.plot(x, y, "o")           # un point par position
plt.xlabel("x (m)")
plt.ylabel("y (m)")
plt.show()

Référentiel. C’est l’objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement. On lui associe un repère d’espace (une origine et des axes) et une horloge (une origine des dates) : on peut alors repérer la position M à chaque date t.

Relativité du mouvement. La description d’un mouvement (immobilité ou non, trajectoire, vitesse) dépend du référentiel. « Le système est immobile » n’a de sens que si l’on précise par rapport à quoi.

Translation. Un référentiel R′ est en translation par rapport à R si tout segment lié à R′ garde la même direction au cours du mouvement : un wagon sur une voie droite, un tapis roulant, l’eau d’une rivière qui coule tout droit, l’air quand le vent souffle tout droit. Pour une translation rectiligne, les vitesses portées par un même axe orienté s’ajoutent algébriquement :

$v_{/R}=v_{/R\prime }+v_{R\prime /R}$

Chaque vitesse est une grandeur algébrique : positive dans le sens de l’axe, négative dans l’autre sens.

Vitesse moyenne. $v_{\text{moy}}={\displaystyle \frac{d}{\Delta t}}$, avec d la distance parcourue le long de la trajectoire (en m) et Δt la durée (en s). Unité du Système international : le m·s⁻¹. Conversion : 1 m·s⁻¹ = 3,6 km·h⁻¹ (on multiplie par 3,6 pour passer en km·h⁻¹, on divise par 3,6 pour revenir en m·s⁻¹).

Vecteur déplacement. Entre deux positions M(x ; y) et M′(x′ ; y′), le vecteur $\overrightarrow{MM\prime }$ a pour origine M, pour extrémité M′ et pour coordonnées (x′ − x ; y′ − y). Sa norme est la distance en ligne droite entre les deux positions : $MM\prime =\sqrt{(x\prime -x{)}^2+(y\prime -y{)}^2}$.

Vecteur vitesse moyenne entre les dates t et t′ = t + Δt : ${\overrightarrow{v}}_{\text{moy}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{MM\prime }}{\Delta t}}$. Il a la direction et le sens de $\overrightarrow{MM\prime }$, et pour norme ${\displaystyle \frac{MM\prime }{\Delta t}}$.

Distance parcourue ≠ norme du déplacement. Sur une trajectoire courbe, la corde MM′ est plus courte que le chemin suivi : la norme du vecteur vitesse moyenne est inférieure à la vitesse moyenne. Après un tour complet, le déplacement est nul, donc le vecteur vitesse moyenne aussi, alors que la vitesse moyenne ne l’est pas.

Approcher le vecteur vitesse. Si M_i et M_i+1 sont deux positions successives séparées d’une durée Δt courte, le vecteur vitesse moyenne entre elles approche le vecteur vitesse du point en M_i :

${\overrightarrow{v}}_i\approx {\displaystyle \frac{\overrightarrow{M_i{M}_{i+1}}}{\Delta t}}$

• origine : le point M_i ;
• direction : la tangente à la trajectoire en M_i (en pratique, celle de la droite (M_iM_i+1)) ;
• sens : celui du mouvement ;
• valeur : $v_i\approx {\displaystyle \frac{M_i{M}_{i+1}}{\Delta t}}$, en m·s⁻¹. Avec des coordonnées : $v_x={\displaystyle \frac{x_{i+1}-x_i}{\Delta t}}$, $v_y={\displaystyle \frac{y_{i+1}-y_i}{\Delta t}}$ et $v_i=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.

Chronophotographie et vidéo. Une chronophotographie superpose les positions successives enregistrées à intervalles de temps égaux τ (tau) ; une vidéo exploitée image par image (pointage) donne le même document, avec τ = durée entre deux images. On utilise deux échelles différentes : l’échelle des longueurs du document (pour calculer les distances réelles) et l’échelle des vitesses (pour tracer les flèches, par exemple 1 cm ↔ 2 m·s⁻¹).

Pointage d’une boule de pétanque lancée en cloche : positions toutes les 0,10 s et deux vecteurs vitesse tracés.

Avec Python. On calcule les coordonnées du vecteur vitesse en chaque position, puis on trace la flèche avec plt.quiver. Avec les options angles="xy", scale_units="xy", scale=k, une flèche représentant une vitesse v mesure v ÷ k en unités des axes : avec k = 2, 1 m sur le graphique représente 2 m·s⁻¹.

for i in range(len(x) - 1):          # 6 positions → 5 vecteurs
    vx = (x[i+1] - x[i]) / dt
    vy = (y[i+1] - y[i]) / dt
    plt.quiver(x[i], y[i], vx, vy, angles="xy", scale_units="xy", scale=2)

Nature d’un mouvement : on donne la forme de la trajectoire et l’évolution de la valeur de la vitesse, dans un référentiel précisé.

Un mouvement rectiligne accéléré ou ralenti est un mouvement rectiligne non uniforme. Le vecteur vitesse n’est constant que dans le mouvement rectiligne uniforme.

Décrire la variation du vecteur vitesse : on dit ce qui change entre deux positions, sa direction, son sens ou sa valeur.

Sur un graphique x = f(t) (position sur un axe en fonction du temps) : une droite traduit un mouvement uniforme (x augmente de la même quantité à chaque seconde) ; une courbe qui se redresse, un mouvement accéléré.