Son : caractéristiques et perception

1. Le domaine audible de l'oreille humaine s'étend de 20 Hz à 20 kHz. Or $f=38$ kHz $=38000$ Hz $>20000$ Hz : il s'agit d'ultrasons, inaudibles pour l'être humain. L'équipage ne perçoit donc rien, même si l'émission est puissante.

2. La longueur d'onde vérifie $\lambda =\frac{v}{f}=\frac{1520}{38000}=4,0\times {10}^{-2}$ m. $\lambda =4,0$ cm dans l'eau de mer.

3. Entre l'émission et la réception, l'onde effectue un aller-retour jusqu'au fond : elle parcourt $2h$. Donc $2h=v\Delta t$, d'où $$h=\frac{v\Delta t}{2}=\frac{1520\times 0,096}{2}=\frac{145,9}{2}=72,96\text{m}$$ La profondeur est $h=73,0$ m.

4. Une variation $\delta (\Delta t)=0,002$ s de la durée entraîne une variation de profondeur $\delta h=\frac{v\times \delta (\Delta t)}{2}=\frac{1520\times 0,002}{2}=1,5$ m. La profondeur s'écrit donc $h=73,0\pm 1,5$ m, soit une incertitude relative de $\frac{1,5}{73,0}=2\%$. Pour améliorer la mesure, il faut un chronométrage plus fin, et non un signal plus puissant.

5. Dans l'air, ${\lambda }_{\text{air}}=\frac{342}{38000}=9,0\times {10}^{-3}$ m, soit 9,0 mm. La fréquence est imposée par la source et reste la même dans les deux milieux ; c'est la célérité qui change, donc la longueur d'onde. Le rapport $\frac{4,0\times {10}^{-2}}{9,0\times {10}^{-3}}=4,4$ est exactement celui des célérités $\frac{1520}{342}=4,4$ : la longueur d'onde est proportionnelle à la célérité du milieu.

6. Un obstacle n'est correctement détecté que s'il est plus grand que la longueur d'onde du signal qui l'éclaire. Comme $\lambda =\frac{v}{f}$, augmenter la fréquence diminue la longueur d'onde et permet de résoudre des reliefs plus petits : à 38 kHz, la résolution est de l'ordre de 4 cm, contre plusieurs mètres pour un signal audible de quelques centaines de hertz.

1. Pour une source isotrope, la puissance se répartit sur une sphère : $I=\frac{P}{4\pi d^2}=\frac{96}{4\pi \times (12{)}^2}=\frac{96}{1810}=5,31\times {10}^{-2}$ W·m⁻². $I=5,3\times {10}^{-2}$ W·m⁻².

2. $L$$=10\log \left(\frac{5,31\times {10}^{-2}}{1,0\times {10}^{-12}}\right)$$=10\log (5,31\times {10}^{10})$$=10\times 10,725$$=\mathbf{107}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{d}\mathbf{B}$. Ce niveau reste inférieur au seuil de douleur (120 dB), mais dépasse très largement le seuil de risque de 85 dB : l'exposition prolongée est dangereuse.

3. À 95 dB, $I^{\prime }=I_0\times {10}^{9,5}=3,16\times {10}^{-3}$ W·m⁻². La distance correspondante vaut $$d^{\prime }=\sqrt{\frac{P}{4\pi I^{\prime }}}=\sqrt{\frac{96}{4\pi \times 3,16\times {10}^{-3}}}=\sqrt{2,42\times {10}^3}=49,2\text{m}$$ Il faut donc se tenir à au moins 49 m de la scène.

4. Soit $L(d)=10\log \left(\frac{P}{4\pi d^2{I}_0}\right)$. Alors $$L(2d)-L(d)=10\log \left(\frac{P}{4\pi (2d{)}^2{I}_0}\right)-10\log \left(\frac{P}{4\pi d^2{I}_0}\right)=10\log \left(\frac{d^2}{4d^2}\right)=10\log \left(\frac{1}{4}\right)$$ soit $-10\log 4=-6,0$ dB. Le niveau diminue donc de 6,0 dB à chaque doublement de la distance, quelle que soit la distance de départ.

5. Le niveau perçu vaut $L_{\text{perçu}}=107,2-21=\mathbf{86}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{d}\mathbf{B}$. Une atténuation de 21 dB correspond à une division de l'intensité par ${10}^{21/10}={10}^{2,1}=1,3\times {10}^2$ : l'intensité est divisée par environ 126.

6. Même avec les bouchons, le niveau perçu (86,2 dB) reste au-dessus du seuil de risque de 85 dB. La protection est donc nécessaire mais insuffisante à 12 m : il faut en plus s'éloigner de la scène ou limiter la durée d'exposition, le risque auditif dépendant du couple niveau–durée.

1. On teste si les fréquences sont des multiples entiers de la plus basse : $466=2\times 233$, $699=3\times 233$ et $932=4\times 233$. Toutes les raies sont donc des harmoniques d'une même fréquence : le son est périodique, de fondamental $f_1=233$ Hz, et il contient les harmoniques de rangs 1 à 4.

2. $T=\frac{1}{f_1}=\frac{1}{233}=4,29\times {10}^{-3}$ s, soit $T=4,29$ ms.

3. On applique $I=I_0\times {10}^{L/10}$ à chaque raie :
$I_1=1,0\times {10}^{-12}\times {10}^{7,8}=6,31\times {10}^{-5}$ W·m⁻² ;
$I_2=1,0\times {10}^{-12}\times {10}^{7,2}=1,58\times {10}^{-5}$ W·m⁻² ;
$I_3=1,0\times {10}^{-12}\times {10}^{6,9}=7,94\times {10}^{-6}$ W·m⁻² ;
$I_4=1,0\times {10}^{-12}\times {10}^{6,1}=1,26\times {10}^{-6}$ W·m⁻².

4. Les intensités, elles, s'additionnent : $$I_{\text{tot}}=(6,31+1,58+0,794+0,126)\times {10}^{-5}=8,81\times {10}^{-5}{\text{W·m}}^{-2}$$ d'où $L_{\text{tot}}$$=10\log \left(\frac{8,81\times {10}^{-5}}{1,0\times {10}^{-12}}\right)$$=10\log (8,81\times {10}^7)$$=\mathbf{79}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{d}\mathbf{B}$. Le fondamental, à lui seul, porte 72 % de l'intensité : le total ne dépasse la raie la plus forte que de 1,4 dB.

5. Deux sources identiques doublent l'intensité : $I^{\prime }=2\times 8,81\times {10}^{-5}=1,76\times {10}^{-4}$ W·m⁻², donc $L^{\prime }=L_{\text{tot}}+10\log 2=79,4+3,0=\mathbf{82}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{d}\mathbf{B}$. Doubler le nombre de chanteuses n'ajoute que 3,0 dB.

6. La hauteur d'un son est fixée par la fréquence de son fondamental. Supprimer les raies de rangs 2 et 4 laisse intactes celles de 233 Hz et 699 Hz : le fondamental reste 233 Hz. La hauteur n'est donc pas modifiée ; en revanche, la répartition des harmoniques change, donc le timbre est différent : la voix paraît plus « creuse », proche d'une clarinette.

7. Le décibel n'est pas une grandeur additive : il mesure un logarithme de rapport d'intensités. Additionner des niveaux revient à multiplier les rapports d'intensité, ce qui n'a aucun sens physique ici. La bonne démarche est celle de la question 4 : revenir aux intensités, les additionner, puis repasser au niveau. On trouve 79,4 dB et non 280 dB — une valeur qui dépasserait d'ailleurs largement le seuil de douleur.

1. $I_1$$=I_0\times {10}^{L_1/10}$$=1,0\times {10}^{-12}\times {10}^{10,8}$$=1,0\times {10}^{-12}\times 6,31\times {10}^{10}$, soit $I_1=6,31\times {10}^{-2}$ W·m⁻².

2. À 1,0 m, toute la puissance traverse la sphère de rayon 1,0 m : $P$$=I_1\times 4\pi d^2$$=6,31\times {10}^{-2}\times 4\pi \times (1,0{)}^2$$=0,793$ W, soit $P=0,79$ W. Moins d'un watt acoustique suffit à produire un vacarme : l'oreille est un capteur extraordinairement sensible.

3. À 45 m, $I$$=\frac{P}{4\pi d^2}$$=\frac{0,793}{4\pi \times (45{)}^2}$$=\frac{0,793}{2,54\times {10}^4}$$=3,12\times {10}^{-5}$ W·m⁻². Alors $L$$=10\log \left(\frac{3,12\times {10}^{-5}}{1,0\times {10}^{-12}}\right)$$=10\log (3,12\times {10}^7)$$=\mathbf{74}\mathbf{,}\mathbf{9}\mathbf{d}\mathbf{B}$.

4. On écrit le rapport des intensités à $d$ et à 1,0 m : $\frac{I(d)}{I_1}$$=\frac{P/(4\pi d^2)}{P/(4\pi \times 1^2)}$$=\frac{1}{d^2}$ ($d$ exprimée en mètres). Donc $$L(d)=10\log \left(\frac{I(d)}{I_0}\right)=10\log \left(\frac{I_1}{I_0}\right)+10\log \left(\frac{1}{d^2}\right)=L_1-20\log d$$ Vérification : $L(45)$$=108-20\log 45$$=108-20\times 1,653$$=108-33,1$$=74,9$ dB, en accord avec la question 3.

5. Avec le mur, $L^{\prime }=74,9-14=\mathbf{60}\mathbf{,}\mathbf{9}\mathbf{d}\mathbf{B}$, un niveau comparable à celui d'une conversation. Le facteur de division de l'intensité vaut ${10}^{14/10}={10}^{1,4}=25$ : l'intensité est divisée par 25.

6. On cherche $d$ tel que $L(d)=80$ dB, soit $80=108-20\log d$, donc $20\log d=28$ et $\log d=1,4$, d'où $d={10}^{1,4}=25,1$ m. L'ouvrier devrait se tenir à plus de 25 m de l'outil, ce qui est évidemment impossible pour celui qui le manipule : le port d'une protection auditive est donc obligatoire sur le chantier.