Son : caractéristiques et perception

a) La durée de 20,0 ms correspond à 8 périodes, donc $T=\frac{20,0\times {10}^{-3}}{8}=2,50\times {10}^{-3}$ s. La période vaut $T=2,50$ ms.

b) Par définition, $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2,50\times {10}^{-3}}=400$ Hz. Cette valeur appartient à l'intervalle 20 Hz – 20 kHz : le son est audible, $f=400$ Hz (son de hauteur moyenne).

c) La longueur d'onde vérifie $\lambda =\frac{v}{f}=\frac{341}{400}=0,8525$ m, soit $\lambda =0,85$ m avec deux chiffres significatifs. Conclusion : pendant une période de 2,50 ms, l'onde parcourt 85 cm dans l'air.

a) De $L=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$ on tire $I=I_0\times {10}^{L/10}$. Ainsi $I_1$$=1,0\times {10}^{-12}\times {10}^{5,2}$$=1,0\times {10}^{-12}\times 1,58\times {10}^5$, soit $I_1=1,6\times {10}^{-7}$ W·m⁻².

b) De même, $I_2$$=1,0\times {10}^{-12}\times {10}^{8,5}$$=1,0\times {10}^{-12}\times 3,16\times {10}^8$, soit $I_2=3,2\times {10}^{-4}$ W·m⁻².

c) Le facteur vaut $\frac{I_2}{I_1}$$=\frac{3,16\times {10}^{-4}}{1,58\times {10}^{-7}}$$={10}^{(85-52)/10}$$={10}^{3,3}$$=2,0\times {10}^3$. L'intensité sonore a été multipliée par environ 2000, alors que le niveau n'a augmenté que de 33 dB : c'est toute la compression de l'échelle logarithmique.

a) La célérité se calcule par $v=\frac{d}{\Delta t}=\frac{750}{2,21}=339,4$ m·s⁻¹, soit $v=339$ m·s⁻¹ (trois chiffres significatifs). Cette valeur est cohérente avec la célérité attendue dans l'air, de l'ordre de 340 m·s⁻¹.

b) De $v=\frac{d}{\Delta t}$ on tire $\Delta t=\frac{d}{v}=\frac{750}{1480}=0,5068$ s, soit $\Delta t=0,507$ s. La durée est divisée par un facteur voisin de 4,4.

c) Dans un liquide, les molécules sont beaucoup plus proches et les interactions entre elles bien plus fortes que dans un gaz. La perturbation de pression se transmet donc d'une molécule à la suivante plus rapidement : plus un milieu est dense et peu compressible, plus la célérité du son y est grande. C'est encore plus net dans un solide comme l'acier.

a) Pour une corde fixée à ses deux extrémités, $f_1=\frac{v}{2L}$, donc $v=2L{f}_1=2\times 0,648\times 110=142,56$ m·s⁻¹, soit $v=143$ m·s⁻¹. Cette célérité concerne l'onde sur la corde, pas le son dans l'air.

b) Les modes propres vérifient $f_n=n{f}_1$, donc $f_3=3\times 110=\mathbf{330}\mathbf{H}\mathbf{z}$.

c) La tension et la masse linéique n'ayant pas changé, la célérité $v$ sur la corde reste la même. Alors $f_1^{\prime }$$=\frac{v}{2L^{\prime }}$$=\frac{142,56}{2\times 0,432}$$=\frac{142,56}{0,864}$$=\mathbf{165}\mathbf{H}\mathbf{z}$.

d) Le rapport des fréquences vaut $\frac{f_1^{\prime }}{f_1}$$=\frac{v/(2L^{\prime })}{v/(2L)}$$=\frac{L}{L^{\prime }}$$=\frac{0,648}{0,432}$$=1,500$. Donc $f_1^{\prime }=\frac{3}{2}{f}_1$, ce qui correspond à l'intervalle musical de quinte : raccourcir la corde d'un tiers monte le son d'une quinte.

a) Un haut-parleur seul donne $I_1=I_0\times {10}^{7,3}$. Deux sources identiques apportent chacune la même intensité, donc $I=2I_1$. Le niveau devient $L$$=10\log \left(\frac{2I_1}{I_0}\right)$$=10\log \left(\frac{I_1}{I_0}\right)+10\log 2$$=73+3,0$. On obtient bien $L=76$ dB : doubler l'intensité ajoute 3 dB, pas 73 dB.

b) Avec quatre haut-parleurs, $I=4I_1$ et $10\log 4=6,0$ dB, donc $L=73+6,0=\mathbf{79}\mathbf{d}\mathbf{B}$.

c) Passer de 73 dB à 83 dB représente un écart de 10 dB, donc une intensité multipliée par ${10}^{10/10}=10$. Comme chaque haut-parleur apporte $I_1$, il en faut 10 au total. On mesure ici le coût énergétique du volume : dix fois plus de matériel pour un son perçu seulement « deux fois plus fort ».

a) L'énergie se répartit uniformément sur une sphère de surface $S=4\pi d^2$, donc $I=\frac{P}{4\pi d^2}=\frac{1,8}{4\pi \times (5,0{)}^2}=\frac{1,8}{314,2}$, soit $I=5,73\times {10}^{-3}$ W·m⁻².

b) $L$$=10\log \left(\frac{5,73\times {10}^{-3}}{1,0\times {10}^{-12}}\right)$$=10\log (5,73\times {10}^9)$$=10\times 9,758$, soit $L=97,6$ dB. Ce niveau dépasse le seuil de risque : il ne faut pas rester à 5 m de la sirène.

c) À 74 dB, l'intensité vaut $I^{\prime }=I_0\times {10}^{7,4}=2,51\times {10}^{-5}$ W·m⁻². De $I^{\prime }=\frac{P}{4\pi d^{\prime 2}}$ on tire $d^{\prime }$$=\sqrt{\frac{P}{4\pi I^{\prime }}}$$=\sqrt{\frac{1,8}{4\pi \times 2,51\times {10}^{-5}}}$$=\sqrt{5,70\times {10}^3}$$=75,5$ m. Il faut donc s'éloigner à environ 76 m. Vérification : passer de 5,0 m à 75,5 m multiplie la distance par 15,1, ce qui retire $20\log (15,1)=23,6$ dB, et $97,6-23,6=74,0$ dB.

a) Entre l'émission et la réception de l'écho, l'onde parcourt un aller-retour, soit une distance $d_{\text{tot}}=2\times 102=204$ m. Donc $v=\frac{2d}{\Delta t}=\frac{204}{0,60}=\mathbf{340}\mathbf{m}\mathbf{·}{\mathbf{s}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$, valeur conforme à l'ordre de grandeur attendu dans l'air.

b) La distance parcourue est inchangée, donc une durée plus grande signifie une célérité plus faible : $v=\frac{2d}{\Delta t}$ diminue quand $\Delta t$ augmente. La célérité du son dans l'air diminue lorsque la température baisse, car l'agitation thermique des molécules, qui transmet la perturbation, est plus faible.

c) Il a oublié l'aller-retour : la distance réellement parcourue par l'onde n'est pas 102 m mais 204 m. En divisant par deux la distance, il obtient une célérité deux fois trop petite ($\frac{102}{0,60}=170$ m·s⁻¹). Dans toute mesure par écho, il faut écrire $v=\frac{2d}{\Delta t}$.

a) Le fondamental est la raie de plus basse fréquence : $f_1=262$ Hz pour A comme pour B. La période vaut $T=\frac{1}{262}=3,82\times {10}^{-3}$ s, soit $T=3,82$ ms pour les deux sons.

b) La hauteur d'un son est fixée par la fréquence de son fondamental. Les deux fondamentaux étant égaux à 262 Hz, les deux sons ont la même hauteur : ils correspondent à la même note (un do₃).

c) Pour A : $524=2\times 262$, $786=3\times 262$, $1048=4\times 262$ ; les rangs 1, 2, 3 et 4 sont présents. Pour B : $786=3\times 262$ et $1310=5\times 262$ ; seuls les rangs 1, 3 et 5 — tous impairs — sont présents.

d) Les deux sons ont la même hauteur, mais des spectres différents : ils ne diffèrent donc que par le timbre, seule caractéristique liée au nombre et à l'amplitude relative des harmoniques. L'instrument B, dont le spectre ne comporte que des harmoniques de rang impair, a le comportement d'un tuyau fermé à une extrémité : c'est la clarinette.

a) $I_A$$=I_0\times {10}^{8,8}$$=1,0\times {10}^{-12}\times 6,31\times {10}^8$$=6,31\times {10}^{-4}$ W·m⁻² et $I_B$$=I_0\times {10}^{9,1}$$=1,0\times {10}^{-12}\times 1,26\times {10}^9$$=1,26\times {10}^{-3}$ W·m⁻². $I_A=6,31\times {10}^{-4}$ W·m⁻², $I_B=1,26\times {10}^{-3}$ W·m⁻².

b) Les intensités s'additionnent : $I_{\text{tot}}=6,31\times {10}^{-4}+1,26\times {10}^{-3}=1,89\times {10}^{-3}$ W·m⁻². D'où $L_{\text{tot}}$$=10\log \left(\frac{1,89\times {10}^{-3}}{1,0\times {10}^{-12}}\right)$$=10\log (1,89\times {10}^9)$$=\mathbf{92}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{d}\mathbf{B}$. On remarque que le niveau total n'est que de 1,8 dB au-dessus du plus fort des deux, et non de 179 dB.

c) Le seuil de 85 dB correspond à $I_{\text{lim}}=I_0\times {10}^{8,5}=3,16\times {10}^{-4}$ W·m⁻². Le facteur de réduction nécessaire vaut $\frac{1,89\times {10}^{-3}}{3,16\times {10}^{-4}}=5,98$, soit une division de l'intensité par environ 6. En décibels, l'atténuation vaut $10\log (5,98)=\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{d}\mathbf{B}$ : capotage des machines ou protections individuelles sont donc indispensables.

a) Pour une colonne d'air ouverte aux deux extrémités, les modes propres vérifient $f_n=n\frac{v}{2L}$. Le fondamental vaut donc $f_1=\frac{346}{2\times 0,55}=\frac{346}{1,10}=314,5$ Hz, soit $f_1=315$ Hz.

b) $f_2=2f_1=2\times 314,5=\mathbf{629}\mathbf{H}\mathbf{z}$ et $f_3=3f_1=3\times 314,5=\mathbf{944}\mathbf{H}\mathbf{z}$.

c) La longueur du tuyau est inchangée, seule $v$ varie : $f_1^{\prime }=\frac{334}{1,10}=303,6$ Hz, soit $f_1^{\prime }=304$ Hz. L'écart vaut $314,5-303,6=10,9$ Hz, soit une baisse relative de $\frac{10,9}{314,5}=3,5\%$. L'orgue joue donc nettement plus bas à froid : c'est pourquoi on chauffe les églises avant un concert.

d) Le mode fondamental est imposé par la géométrie du tuyau : il correspond à une demi-longueur d'onde entre les deux extrémités, soit ${\lambda }_1=2L=2\times 0,55=1,10$ m. Cette relation ne fait intervenir ni $v$ ni la température. Vérification : ${\lambda }_1=\frac{v}{f_1}=\frac{346}{314,5}=1,10$ m et $\frac{334}{303,6}=1,10$ m. C'est la fréquence, et non la longueur d'onde, qui suit les variations de célérité.