Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Ondes mécaniques : propagation et périodicité

Onde progressive, transversale ou longitudinale ; célérité et milieu ; retard et localisation d’une source ; double périodicité, λ = vT ; points en phase, changement de milieu ; mesures et simulation en Python.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : mesurer la célérité des ultrasons à l’oscilloscope, localiser l’épicentre d’un séisme avec trois stations, trouver une fuite avec un corrélateur, étudier la houle d’un canal selon la profondeur et contrôler une barre d’acier par ultrasons.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je décris l’onde : source, milieu, type, et ce que mesure chaque appareil (durée d’un trajet, écart entre deux arrivées, aller-retour).
Je convertis toutes les grandeurs en unités SI : m, s, Hz (attention aux ms, µs, cm, kHz, MHz).
J’écris les relations du cours : $v = \frac{d}{Δ t}$ , $τ = \frac{d}{v}$ , $λ = v T = \frac{v}{f}$ , ou la relation fournie par l’énoncé.
Je calcule dans l’ordre des questions et je réutilise les valeurs non arrondies.
Je contrôle l’ordre de grandeur de la célérité et je vérifie un résultat par un second chemin quand c’est possible.

Problème 1 · Mesurer la célérité des ultrasons au laboratoire★★★Facile

Un émetteur d’ultrasons et deux récepteurs R₁ et R₂, alignés avec lui, sont reliés à un oscilloscope. L’oscillogramme ci-dessous montre les signaux de R₁ (voie 1) et de R₂ (voie 2). On place d’abord R₁ et R₂ côte à côte, signaux en phase, puis on recule R₂ : leurs signaux se retrouvent en phase 14 fois quand R₂ a reculé de 11,9 cm. La salle est à 20 °C ; dans l’air,

v \approx 331 + 0, 6 θ

(θ en °C).

1. Durée de 4 motifs sur l’oscillogramme : µs
Les 4 motifs occupent les 10 divisions : $10 \times 10 =$ 100 µs.
2. Période : T = µs
$T = \frac{100}{4} =$ 25 µs.
3. Fréquence : f = kHz
$f = \frac{1}{25 \times 10^{- 6}} = 40 000$ Hz, soit 40 kHz : des ultrasons.
4. Longueur d’onde : λ = mm
R₂ a reculé de 14 longueurs d’onde : $λ = \frac{119}{14} =$ 8,5 mm.
5. Célérité mesurée : v = m·s⁻¹
$v = λ f = 8, 5 \times 10^{- 3} \times 40 \times 10^{3} =$ 340 m·s⁻¹.
6. Célérité attendue à 20 °C : m·s⁻¹
$v \approx 331 + 0, 6 \times 20 =$ 343 m·s⁻¹.
7. Écart relatif entre la mesure et la valeur attendue : %
$\frac{343 - 340}{343} \approx 0, 0087$ , soit 0,87 % : la mesure est en bon accord avec la valeur attendue.
8. Célérité obtenue si l’on avait compté par erreur 13 retours en phase sur la même distance : m·s⁻¹
$λ = \frac{119}{13} \approx 9, 15$ mm et $v \approx 9, 154 \times 10^{- 3} \times 40 \times 10^{3} \approx$ 366 m·s⁻¹ : un retour oublié fausse la mesure de près de 8 %. D’où l’intérêt de compter sur une grande distance et de recompter.

Problème 2 · Localiser l’épicentre d’un séisme★★★Moyen

Un séisme émet depuis son foyer des ondes P et des ondes S. Dans la croûte terrestre de la région, on prend

v_{P} = 5, 8

km·s⁻¹ et

v_{S} = 3, 4

km·s⁻¹. Trois stations enregistrent l’écart Δt entre l’arrivée des ondes P et celle des ondes S.

Station	A	B	C
Δt (s)	22	35	12

1. Valeur de $\frac{1}{v_{S}} - \frac{1}{v_{P}}$ , au millième : s·km⁻¹
$\frac{1}{3, 4} - \frac{1}{5, 8} \approx 0, 29412 - 0, 17241 \approx$ 0,122 s·km⁻¹ : chaque kilomètre ajoute 0,122 s d’écart.
2. Distance de la station A à l’épicentre : km
$Δ t = d (\frac{1}{v_{S}} - \frac{1}{v_{P}})$ , donc $d_{A} = \frac{22}{0, 12170} \approx$ 181 km.
3. Distance de la station B à l’épicentre : km
$d_{B} = \frac{35}{0, 12170} \approx$ 288 km.
4. Distance de la station C à l’épicentre : km
$d_{C} = \frac{12}{0, 12170} \approx$ 98,6 km : la station au plus petit écart est la plus proche.
5. Durée du trajet des ondes P jusqu’à C : s
$t_{P} = \frac{98, 6}{5, 8} \approx$ 17,0 s ; les ondes S arrivent 12 s plus tard, au bout de 29,0 s.
6. Nombre minimal de stations pour placer l’épicentre sans ambiguïté :
Une station donne un cercle, deux cercles se coupent en deux points : il en faut 3, l’épicentre étant le point commun aux trois cercles.
7. Écart entre les ondes P et S à une station située à 50 km de l’épicentre : s
$Δ t = 50 \times 0, 12170 \approx$ 6,1 s. Les systèmes d’alerte exploitent cette avance des ondes P, moins destructrices, sur les ondes S.

Problème 3 · Le corrélateur de fuites★★★Moyen

Pour trouver une fuite sur une conduite d’eau enterrée, on pose deux capteurs acoustiques A et B sur la conduite, à 420 m l’un de l’autre. Le bruit de la fuite se propage le long de la conduite dans les deux sens ; un appareil, le corrélateur, mesure l’écart

Δ t = t_{B} - t_{A}

entre ses arrivées en B et en A. Pour cette conduite, la célérité du bruit vaut 1 250 m·s⁻¹. Le corrélateur mesure Δt = 0,104 s.

1. Distance entre la fuite et le capteur A : m
Avec $x$ la distance à A : $Δ t = \frac{420 - x}{1 250} - \frac{x}{1 250}$ , d’où $x = \frac{420 - 1 250 \times 0, 104}{2} = \frac{420 - 130}{2} =$ 145 m.
2. Durée du trajet du bruit jusqu’à A : s
$\frac{145}{1 250} =$ 0,116 s.
3. Durée du trajet du bruit jusqu’à B : s
$\frac{420 - 145}{1 250} = \frac{275}{1 250} =$ 0,220 s : on retrouve bien $0, 220 - 0, 116 = 0, 104$ s.
4. Plus grand écart Δt possible pour une fuite située entre A et B : s
Fuite contre A : le bruit parcourt 420 m de plus pour atteindre B, $\frac{420}{1 250} =$ 0,336 s.
5. L’opérateur règle par erreur 1 200 m·s⁻¹ : position annoncée de la fuite, à partir de A : m
$x = \frac{420 - 1 200 \times 0, 104}{2} = \frac{420 - 124, 8}{2} =$ 147,6 m.
6. Écart entre la position annoncée et la vraie position : m
$147, 6 - 145 =$ 2,6 m : de quoi creuser au mauvais endroit. Il faut connaître la célérité propre à la conduite (matériau, diamètre).

Problème 4 · La houle dans un canal de laboratoire★★★Difficile

Dans un canal de laboratoire, un batteur de fréquence 0,20 Hz crée une houle. On mesure sa longueur d’onde pour plusieurs profondeurs d’eau

h

. Donnée : g = 9,81 m·s⁻².

h (cm)	4,0	8,0	12,0	16,0
λ (m)	3,13	4,42	5,42	6,26

1. Célérité de la houle pour h = 4,0 cm : m·s⁻¹
La fréquence est imposée par le batteur : $v = λ f = 3, 13 \times 0, 20 =$ 0,626 m·s⁻¹.
2. Célérité pour h = 16,0 cm : m·s⁻¹
$v = 6, 26 \times 0, 20 \approx$ 1,25 m·s⁻¹ : la houle est plus rapide en eau plus profonde.
3. Valeur commune du quotient v² ÷ h, h en mètres : m·s⁻²
$\frac{0, 626^{2}}{0, 040} \approx 9, 80$ ; $\frac{0, 884^{2}}{0, 080} \approx 9, 77$ ; $\frac{1, 084^{2}}{0, 120} \approx 9, 79$ ; $\frac{1, 252^{2}}{0, 160} \approx 9, 80$ : le quotient vaut environ 9,8 m·s⁻², la valeur de $g$ . D’où $v = \sqrt{g h}$ .
4. Célérité prévue par $v = \sqrt{g h}$ pour h = 10,0 cm : m·s⁻¹
$v = \sqrt{9, 81 \times 0, 100} \approx$ 0,990 m·s⁻¹.
5. Longueur d’onde prévue pour h = 10,0 cm : m
$λ = \frac{v}{f} = \frac{0, 990}{0, 20} \approx$ 4,95 m.
6. Au bout du canal, le fond remonte de 16,0 cm à 4,0 cm de profondeur : la longueur d’onde est divisée par
La fréquence se conserve, donc λ varie comme $v = \sqrt{g h}$ : profondeur divisée par 4, λ divisée par $\sqrt{4} =$ 2. Le tableau le confirme : $\frac{6, 26}{3, 13} = 2, 00$ .
7. Période de la houle dans la partie la moins profonde : s
La période ne dépend que du batteur : $T = \frac{1}{0, 20} =$ 5,0 s, partout dans le canal.

Problème 5 · Contrôler une barre d’acier par ultrasons★★★Difficile

Pour vérifier qu’une barre d’acier de longueur L = 1,20 m n’a pas de fissure, une sonde posée à une extrémité émet des salves d’ultrasons de 2,5 MHz et enregistre les échos. Sur une barre saine, l’« écho de fond », renvoyé par l’autre extrémité, revient 407 µs après l’émission. Le technicien exploite ses mesures avec la fonction Python suivante.

def position(dt, v):
    return v * dt / 2

1. Célérité des ultrasons dans l’acier : v = × 10³ m·s⁻¹
L’écho de fond a parcouru l’aller et le retour, 2,40 m : $v = \frac{2, 40}{407 \times 10^{- 6}} \approx 5 897$ m·s⁻¹, soit 5,90 × 10³ m·s⁻¹.
2. Sur une autre barre, un écho supplémentaire revient 235 µs après l’émission : distance entre la fissure et la sonde : m
Aller-retour jusqu’à la fissure : $x = \frac{5 897 \times 235 \times 10^{- 6}}{2} \approx$ 0,693 m, bien à l’intérieur de la barre.
3. Durée dt à donner à la fonction, avec v = 5897, pour qu’elle renvoie 0.300 (fissure à 30,0 cm de la sonde), à la microseconde près : µs
position(dt, 5897) = 0,300 donne $d t = \frac{2 \times 0, 300}{5 897} \approx 1, 02 \times 10^{- 4}$ s, soit 102 µs : l’écho d’une fissure à 30 cm de la sonde reviendrait 102 µs après l’émission.
4. Longueur d’onde des ultrasons dans l’acier : λ = mm
$λ = \frac{v}{f} = \frac{5 897}{2, 5 \times 10^{6}} \approx 2, 36 \times 10^{- 3}$ m, soit 2,36 mm.
5. On admet qu’un défaut n’est détecté que s’il dépasse λ ÷ 2. Plus petite fissure détectable : mm
$\frac{2, 36}{2} =$ 1,18 mm.
6. Fréquence minimale de la sonde pour détecter une fissure de 0,80 mm : MHz
Il faut $\frac{λ}{2} ⩽ 0, 80$ mm, soit $λ ⩽ 1, 60$ mm : $f ⩾ \frac{5 897}{1, 60 \times 10^{- 3}} \approx 3, 69 \times 10^{6}$ Hz, soit 3,7 MHz. Une fréquence plus haute donne une longueur d’onde plus courte.
7. Il contrôle ensuite une pièce d’aluminium (6 320 m·s⁻¹) en laissant v = 5 897 dans son programme. Position annoncée d’un défaut situé en réalité à 50,0 cm de la sonde : cm
La durée mesurée correspond à la vraie célérité : $Δ t = \frac{2 \times 0, 500}{6 320}$ . Le programme calcule $\frac{5 897 \times Δ t}{2} = 0, 500 \times \frac{5 897}{6 320} \approx$ 46,7 cm : la position annoncée est trop petite, car l’aluminium conduit les ultrasons plus vite que l’acier.

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