Ondes mécaniques : propagation et périodicité

Indique le type de chaque onde mécanique : transversale ou longitudinale.

1. Un tuyau d’arrosage posé dans l’herbe reçoit une secousse latérale à un bout : onde
   Les points du tuyau bougent de côté, perpendiculairement au tuyau, alors que la secousse avance le long du tuyau : onde transversale, même si elle est horizontale.
2. Le son d’une sirène de pompiers qui se propage dans l’air : onde
   L’air est comprimé puis dilaté dans la direction même où le son avance : onde longitudinale.
3. Les ultrasons d’un sonar qui se propagent dans l’eau de mer : onde
   Comme tout son, les ultrasons compriment et dilatent l’eau dans la direction où ils avancent : onde longitudinale.
4. Le hauban d’un voilier, frappé de côté par une drisse qui claque au vent : onde
   Les points du hauban s’écartent de côté puis reviennent, perpendiculairement au câble le long duquel la secousse avance : onde transversale.

On modélise une corde horizontale par une file de petites billes reliées par des ressorts. On soulève brusquement la première bille, puis on la ramène à sa place. Écris la réponse qui convient parmi celles proposées entre parenthèses.

1. La deuxième bille commence à monter (en même temps que la première, après la première)
   Le ressort doit d’abord tirer sur la deuxième bille, qui, à cause de son inertie, se met en mouvement après la première : c’est l’origine du retard.
2. Pendant le passage de la perturbation, chaque bille se déplace (verticalement, horizontalement)
   Chaque bille reproduit le mouvement de la première, qui monte et descend : elle se déplace verticalement, perpendiculairement à la file. L’onde est transversale.
3. Une fois la perturbation passée, chaque bille est (revenue à sa place, décalée vers l’avant)
   Les ressorts ramènent chaque bille à sa position d’équilibre : elle est revenue à sa place. La perturbation a avancé, pas la matière.
4. Avec des ressorts plus raides et les mêmes billes, la perturbation avance (plus vite, moins vite)
   Un ressort plus raide met plus vite la bille suivante en mouvement : la perturbation avance plus vite. La célérité dépend des propriétés du milieu.

Une bosse se propage à 20 m·s⁻¹ le long d’une corde horizontale. Elle est haute de 4,0 cm ; entre le début de la bosse et son sommet, il y a 10 cm de corde.

1. Durée pendant laquelle un point de la corde monte : ms
   Le point monte pendant que les 10 cm de front de la bosse passent sur lui, à la célérité de l’onde : $\Delta t=\frac{0,10}{20}=0,0050$ s, soit 5,0 ms.
2. Vitesse moyenne de ce point pendant sa montée : m·s⁻¹
   Il monte de 4,0 cm en 5,0 ms : $\frac{0,040}{0,0050}=$ 8,0 m·s⁻¹, verticalement.
3. La célérité de l’onde est plus grande que cette vitesse moyenne : rapport des deux =
   $\frac{20}{8,0}=$ 2,5 : la célérité de l’onde et la vitesse d’un point du milieu sont deux vitesses différentes, de directions perpendiculaires.
4. Distance parcourue par ce point le long de la corde, une fois la bosse passée : m
   Le point est monté puis redescendu à sa place : il n’a pas avancé le long de la corde, 0 m. Seules la perturbation et l’énergie ont avancé.

Calcule la célérité de chaque onde.

1. Une secousse parcourt les 12 m d’un câble tendu en 0,080 s : v = m·s⁻¹
   $v=\frac{12}{0,080}=$ 150 m·s⁻¹.
2. Une salve d’ultrasons traverse un bloc d’aluminium de 19,0 cm d’épaisseur en 30,0 µs : v = × 10³ m·s⁻¹
   19,0 cm = 0,190 m et 30,0 µs = 3,00 × 10⁻⁵ s ; $v=\frac{0,190}{3,00\times {10}^{-5}}\approx$ 6,33 × 10³ m·s⁻¹, une célérité typique d’un métal.
3. Une ride parcourt 36 cm à la surface d’un bassin en 1,2 s : v = m·s⁻¹
   36 cm = 0,36 m ; $v=\frac{0,36}{1,2}=$ 0,30 m·s⁻¹.
4. Le son se propage à 1 480 m·s⁻¹ dans l’eau d’un lac, soit km·h⁻¹
   $1480\times 3,6=$ 5 328 km·h⁻¹.

Une corde de masse linéique µ = 5,0 g·m⁻¹ est tendue par une force de valeur F = 20 N. Donnée : $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{F}{\mu }}}$, avec F en N et µ en kg·m⁻¹.

1. Célérité des ondes sur cette corde : m·s⁻¹
   µ = 5,0 × 10⁻³ kg·m⁻¹ ; $v=\sqrt{\frac{20}{5,0\times {10}^{-3}}}=\sqrt{4000}\approx$ 63,2 m·s⁻¹.
2. Célérité si la tension passe à 80 N : m·s⁻¹
   La tension est multipliée par 4, la célérité par $\sqrt{4}=2$ : $v=\sqrt{16000}\approx$ 126 m·s⁻¹.
3. Tension qui donnerait une célérité de 100 m·s⁻¹ : N
   $F=\mu v^2=5,0\times {10}^{-3}\times {100}^2=$ 50 N.
4. Célérité sur une corde deux fois plus lourde par mètre, tendue à 20 N : m·s⁻¹
   $v=\sqrt{\frac{20}{1,0\times {10}^{-2}}}=\sqrt{2000}\approx$ 44,7 m·s⁻¹ : une corde plus lourde porte des ondes plus lentes.

Au large, un tsunami se propage au-dessus d’un océan de 4 000 m de profondeur. Sa longueur d’onde, de l’ordre de la centaine de kilomètres, est très grande devant la profondeur : on utilise $v=\sqrt{gh}$, avec g = 9,81 m·s⁻².

1. Célérité du tsunami : m·s⁻¹
   $v=\sqrt{9,81\times 4000}=\sqrt{39240}\approx$ 198 m·s⁻¹.
2. Célérité en km·h⁻¹ :
   $198,1\times 3,6\approx$ 713 km·h⁻¹, la vitesse d’un avion de ligne.
3. Durée pour atteindre une côte située à 1 200 km : h
   $\Delta t=\frac{1,2\times {10}^6}{198,1}\approx 6058$ s, soit $\frac{6058}{3600}\approx$ 1,7 h : environ 1 h 40 min.
4. Célérité au-dessus d’un fond de 10 m, près de la côte : m·s⁻¹
   $v=\sqrt{9,81\times 10}\approx$ 9,9 m·s⁻¹ : le tsunami ralentit fortement en approchant du rivage.

Calcule le retard, l’instant ou la célérité demandés.

1. Une ride avance à 0,25 m·s⁻¹. Un bateau en papier flotte à 1,5 m du point où tombe un caillou : il commence à bouger au bout de s
   $\tau =\frac{1,5}{0,25}=$ 6,0 s.
2. Sur une corde, v = 40 m·s⁻¹. Retard d’un point situé à 2,4 m de la source : ms
   $\tau =\frac{2,4}{40}=0,060$ s, soit 60 ms.
3. Un point M a un retard τ = 0,12 s sur la source. À t = 0,50 s, M fait ce que la source faisait à t = s
   $y_M(t)=y_S(t-\tau )$ : à 0,50 s, M reproduit l’état de la source à $0,50-0,12=$ 0,38 s.
4. Une perturbation atteint un point situé à 3,0 m de la source avec un retard de 25 ms : v = m·s⁻¹
   $v=\frac{3,0}{0,025}=$ 120 m·s⁻¹.

La figure donne l’élongation de la source S d’une corde et celle d’un point M situé à 5,0 m de S.

1. Retard de M sur S : τ = s
   La bosse commence en S à 0,05 s et en M à 0,25 s : τ = 0,20 s.
2. Célérité de l’onde : v = m·s⁻¹
   $v=\frac{d}{\tau }=\frac{5,0}{0,20}=$ 25 m·s⁻¹.
3. Instant où M atteint son élongation maximale : t = s
   S est au maximum à 0,10 s ; M l’est 0,20 s plus tard, à 0,30 s.
4. Retard sur S d’un point N situé à 8,0 m de S : s
   ${\tau }_N=\frac{8,0}{25}=$ 0,32 s.

Deux hydrophones A et B sont mouillés dans une baie, à 3,0 km l’un de l’autre ; le son se propage à 1 500 m·s⁻¹ dans l’eau de mer. Un bateau de recherche émet un bref signal sonore depuis un point du segment [AB] : B le reçoit 0,80 s après A.

1. Distance entre le point d’émission et A : m
   Avec $x$ la distance à A : $\Delta t=\frac{3000-x}{1500}-\frac{x}{1500}=\frac{3000-2x}{1500}$, d’où $x=\frac{3000-1500\times 0,80}{2}=$ 900 m.
2. Durée du trajet du son jusqu’à A : s
   $\frac{900}{1500}=$ 0,60 s ; jusqu’à B : $\frac{2100}{1500}=1,40$ s, soit bien 0,80 s de plus.
3. Un second signal arrive en A 1,20 s après B. Distance entre ce point d’émission et A : m
   Cette fois $t_B-t_A=-1,20$ s : $x=\frac{3000+1500\times 1,20}{2}=$ 2 400 m, plus près de B.
4. Écart maximal possible entre les deux arrivées, pour un point d’émission sur [AB] : s
   L’écart est maximal quand la source est sur un hydrophone : le son parcourt alors 3,0 km de plus pour atteindre l’autre, $\frac{3000}{1500}=$ 2,0 s.

Calcule. Convertis d’abord en unités du Système international.

1. Période T = 25 ms : fréquence f = Hz
   $f=\frac{1}{0,025}=$ 40 Hz.
2. Célérité 15 m·s⁻¹ et période 25 ms : λ = m
   $\lambda =vT=15\times 0,025=$ 0,375 m.
3. Distance parcourue par cette onde pendant trois périodes : m
   En une période, l’onde avance d’une longueur d’onde : $3\times 0,375=$ 1,125 m.
4. Un son de 500 Hz se propage à 340 m·s⁻¹ : λ = m
   $\lambda =\frac{v}{f}=\frac{340}{500}=$ 0,68 m.

Une onde sinusoïdale se propage le long d’une corde. On donne l’élongation d’un point au cours du temps, puis l’aspect de la corde à un instant donné.

1. Période de l’onde : T = ms
   Sur le graphique en fonction du temps, trois motifs occupent 150 ms : T = 50 ms.
2. Fréquence : f = Hz
   $f=\frac{1}{0,050}=$ 20 Hz.
3. Longueur d’onde : λ = m
   Sur l’aspect de la corde, trois motifs occupent 2,40 m : λ = 0,80 m.
4. Célérité : v = m·s⁻¹
   $v=\frac{\lambda }{T}=\frac{0,80}{0,050}=$ 16 m·s⁻¹.

Dans une cuve à ondes, un vibreur entretient des rides à la surface de l’eau. L’élongation d’un point de la surface reprend le même motif toutes les 80 ms. Sur une photographie, sept crêtes successives s’étendent sur 10,8 cm, de la première à la dernière.

1. Longueur d’onde : λ = cm
   Sept crêtes délimitent 6 intervalles : $\lambda =\frac{10,8}{6}=$ 1,80 cm.
2. Fréquence : f = Hz
   $f=\frac{1}{0,080}=$ 12,5 Hz.
3. Célérité des rides : v = m·s⁻¹
   $v=\lambda f=0,0180\times 12,5=$ 0,225 m·s⁻¹ : quelques dizaines de centimètres par seconde, comme les rides d’une cuve à ondes.
4. Distance entre la 1re et la 11e crête : cm
   Entre la 1re et la 11e crête, il y a 10 intervalles : $10\times 1,80=$ 18,0 cm.

Une onde sinusoïdale de longueur d’onde 0,50 m se propage le long d’une corde. Pour chaque paire de points, alignés dans la direction de propagation, écris : en phase, en opposition de phase, ou décalés.

1. Points distants de 1,50 m :
   $\frac{1,50}{0,50}=3$, nombre entier : en phase.
2. Points distants de 1,25 m :
   $\frac{1,25}{0,50}=2,5$ : en opposition de phase.
3. Points distants de 0,60 m :
   $\frac{0,60}{0,50}=1,2$, ni entier ni demi-entier : décalés.
4. Points distants de 0,25 m :
   $\frac{0,25}{0,50}=0,5$ : en opposition de phase, à une demi-longueur d’onde.

Une onde sinusoïdale se propage le long d’une très longue corde à la célérité 10,5 m·s⁻¹. La source S vibre à la fréquence 60 Hz.

1. Longueur d’onde : λ = m
   $\lambda =\frac{10,5}{60}=$ 0,175 m ; la période vaut $\frac{1}{60}\approx 16,7$ ms.
2. Un point M est à 1,05 m de S. Nombre de longueurs d’onde entre S et M :
   $\frac{1,05}{0,175}=$ 6 : M vibre en phase avec S, avec un retard de 6 périodes, soit 0,100 s.
3. Un point N est à 0,4375 m de S. Son retard sur S : τ = ms
   $\tau =\frac{0,4375}{10,5}\approx 0,0417$ s, soit 41,7 ms = 2,5 périodes : N vibre en opposition de phase avec S.
4. Plus petite distance à S d’un point qui a un quart de période de retard sur S : cm
   Un quart de période de retard correspond à un quart de longueur d’onde : $\frac{0,175}{4}=0,04375$ m, soit 4,4 cm.

Un haut-parleur étanche, placé à la surface d’une piscine, émet un son de 2,5 kHz à la fois dans l’air et dans l’eau. Célérités : 344 m·s⁻¹ dans l’air, 1 500 m·s⁻¹ dans l’eau.

1. Longueur d’onde dans l’air : cm
   ${\lambda }_{\text{air}}=\frac{344}{2500}=0,1376$ m, soit 13,8 cm.
2. Longueur d’onde dans l’eau : cm
   ${\lambda }_{\text{eau}}=\frac{1500}{2500}=0,600$ m, soit 60,0 cm.
3. Fréquence du son reçu par un nageur sous l’eau : Hz
   La fréquence est imposée par la source : 2 500 Hz dans l’eau comme dans l’air. Le nageur entend la même note.
4. Rapport λ dans l’eau ÷ λ dans l’air :
   À fréquence égale, les longueurs d’onde sont dans le rapport des célérités : $\frac{1500}{344}\approx$ 4,36.

Un haut-parleur, alimenté par un générateur, émet un son de 1 700 Hz. Deux micros alignés avec lui donnent d’abord des signaux en phase ; on éloigne le micro 2 et les signaux se retrouvent en phase 5 fois sur 1,00 m.

1. Longueur d’onde : λ = m
   Le micro 2 a reculé de 5 longueurs d’onde : $\lambda =\frac{1,00}{5}=$ 0,200 m.
2. Période du son, au millième : T = ms
   $T=\frac{1}{1700}\approx 5,88\times {10}^{-4}$ s, soit 0,588 ms.
3. Célérité du son : v = m·s⁻¹
   $v=\lambda f=0,200\times 1700=$ 340 m·s⁻¹.
4. La position du micro 2 est lue à 0,5 cm près : incertitude sur λ = ± mm
   L’incertitude de 0,5 cm porte sur toute la distance, donc sur 5 longueurs d’onde : $\frac{0,5}{5}=0,1$ cm, soit 1 mm. Compter beaucoup de retours en phase rend la mesure plus précise.

Un module à ultrasons, relié à une carte à microcontrôleur, est posé face à un mur, à 0,800 m mesurés au mètre ruban. La carte mesure la durée de l’aller-retour d’une salve : 4,68 ms.

1. Célérité des ultrasons dans l’air de la salle : v = m·s⁻¹
   La salve parcourt l’aller et le retour, 1,600 m : $v=\frac{1,600}{4,68\times {10}^{-3}}\approx$ 342 m·s⁻¹.
2. Le programme calcule ensuite une distance par d = 340 × Δt ÷ 2. Pour Δt = 2,94 ms, il affiche d = m
   $d=\frac{340\times 2,94\times {10}^{-3}}{2}\approx$ 0,500 m.
3. Sans la division par 2, il afficherait pour la même durée : m
   $340\times 2,94\times {10}^{-3}\approx$ 1,00 m : c’est la longueur de l’aller-retour, le double de la distance du mur.
4. Durée de l’aller-retour pour un mur placé à 2,00 m, avec 340 m·s⁻¹ : ms
   $\Delta t=\frac{2\times 2,00}{340}\approx 0,0118$ s, soit 11,8 ms.

On représente un signal sinusoïdal avec ce programme Python.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
A, T = 3.0, 0.020            # mm, s
t = np.linspace(0, 0.10, 500)  # instants (s)
y = A * np.sin(2 * np.pi * t / T)
plt.plot(t, y)
plt.show()

1. Nombre de motifs complets tracés :
   Les instants vont de 0 à 0,10 s et un motif dure $T=0,020$ s : $\frac{0,10}{0,020}=$ 5 motifs.
2. Fréquence du signal représenté : Hz
   $f=\frac{1}{0,020}=$ 50 Hz.
3. Premier instant où y atteint sa valeur maximale : ms
   Le sinus atteint 1 quand son argument vaut $\frac{\pi }{2}$, soit un quart de période : $\frac{20}{4}=$ 5,0 ms. y vaut alors A = 3,0 mm ; changer A étire la courbe en hauteur sans changer les motifs.
4. Valeur à donner à T pour ne tracer que 2 motifs sur la même durée : s
   Deux motifs en 0,10 s : $T=\frac{0,10}{2}=$ 0,050 s. Augmenter T espace les motifs.