Dosage par étalonnage : absorbance et loi de Beer-Lambert

Voici le spectre d’absorption d’une solution S. On utilise le cercle chromatique du cours.

1. Longueur d’onde du maximum d’absorption : λ_max = nm
   Le sommet de la bande est à 520 nm : deux petites graduations après 500 nm.
2. Couleur de la lumière la plus absorbée :
   520 nm se situe dans le domaine du vert (≈ 510–570 nm).
3. Couleur de la solution S :
   La solution absorbe le vert et transmet le reste : elle a la couleur complémentaire du vert, le magenta.

Pour chaque solution, on indique le domaine où elle absorbe le plus. Une seule bande d’absorption par solution.

1. Solution A : absorbe surtout entre 440 et 470 nm. Couleur :
   440–470 nm, c’est le bleu ; la complémentaire du bleu est le jaune.
2. Solution B : absorbe surtout entre 600 et 650 nm. Couleur :
   600–650 nm, c’est le rouge-orangé ; la solution a la couleur complémentaire, le cyan, un bleu.
3. Solution C : n’absorbe que dans l’ultraviolet, vers 260 nm. Couleur :
   Aucune radiation visible n’est absorbée : toute la lumière blanche est transmise, la solution est incolore.
4. Solution D : elle paraît jaune. Couleur qu’elle absorbe surtout :
   On lit le cercle dans l’autre sens : une solution jaune absorbe la complémentaire du jaune, le bleu.

Le spectre d’une solution E présente deux bandes : l’une entre 400 et 480 nm, l’autre entre 480 et 580 nm. Au-delà de 590 nm, E n’absorbe presque plus.

1. Couleurs surtout absorbées par E : le bleu et le
   La seconde bande (480–580 nm) couvre surtout le vert.
2. Couleur de la solution E :
   Deux bandes : on cherche ce qui reste transmis. Seules les radiations au-delà de 590 nm traversent : E paraît rouge-orangé.
3. Pour doser E, on choisit entre 450 nm et 650 nm : λ = nm
   À 650 nm, E n’absorbe presque pas : l’absorbance serait trop faible. On mesure là où E absorbe, à 450 nm.
4. Une autre solution, de couleur cyan, absorbe surtout le :
   Le cyan est la complémentaire du rouge : une solution cyan absorbe le rouge.

Mesures à 470 nm, dans une cuve d’épaisseur 1,00 cm. Une solution étalon de concentration 8,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ donne une absorbance de 0,624.

1. Coefficient de la loi A = k × C : k = × 10³ L·mol⁻¹
   k = A ÷ C = 0,624 ÷ (8,00 × 10⁻⁵) = 7,80 × 10³ L·mol⁻¹ ; A étant sans unité, k s’exprime en L·mol⁻¹.
2. Un échantillon donne A = 0,390. Sa concentration : C = × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   C = 0,390 ÷ (7,80 × 10³) = 5,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹. L’absorbance est inférieure à celle de l’étalon : on reste dans le domaine.
3. Absorbance de cet échantillon dilué 4 fois : A ≈
   La concentration est divisée par 4, l’absorbance aussi : 0,390 ÷ 4 = 0,0975, une valeur faible, donc peu précise à mesurer.

Une solution S d’un colorant donne A = 0,320 à λ_max, dans une cuve d’épaisseur 1,00 cm.

1. Absorbance de S dans une cuve de 3,00 cm :
   L’absorbance est proportionnelle à l’épaisseur de la cuve (k = ε × ℓ) : 3 × 0,320 = 0,960.
2. Absorbance, dans la cuve de 1,00 cm, d’une solution 2,5 fois plus concentrée que S :
   A est proportionnelle à C : 2,5 × 0,320 = 0,800.
3. Le coefficient d’absorption molaire du colorant vaut ε = 1,60 × 10⁴ L·mol⁻¹·cm⁻¹. Concentration du colorant dans S : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   k = ε × ℓ = 1,60 × 10⁴ × 1,00 = 1,60 × 10⁴ L·mol⁻¹, donc C = 0,320 ÷ (1,60 × 10⁴) = 2,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹.
4. Concentration la plus grande mesurable dans cette cuve si l’on impose A ≤ 1,00 : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   C = 1,00 ÷ (1,60 × 10⁴) = 6,25 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ ; au-delà, on dilue.

Un étalon à 5,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ donne A = 0,300 dans une cuve de 1,00 cm. Un élève mesure ensuite un échantillon de la même espèce, à la même longueur d’onde, mais dans une cuve de 0,500 cm, et lit A = 0,210.

1. Coefficient k pour la cuve de 1,00 cm : × 10³ L·mol⁻¹
   k = 0,300 ÷ (5,00 × 10⁻⁵) = 6,00 × 10³ L·mol⁻¹.
2. Coefficient k pour la cuve de 0,500 cm : × 10³ L·mol⁻¹
   k = ε × ℓ : une cuve deux fois moins épaisse divise k par 2, soit 3,00 × 10³ L·mol⁻¹.
3. Concentration de l’échantillon : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   C = 0,210 ÷ (3,00 × 10³) = 7,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹.
4. Concentration trouvée s’il utilise par erreur le k de la cuve de 1,00 cm : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   0,210 ÷ (6,00 × 10³) = 3,50 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ : deux fois trop peu. Étalons et échantillon se mesurent dans la même cuve.

On dispose d’une solution mère S₀ d’un colorant à C₀ = 1,00 × 10⁻³ mol·L⁻¹ et de fioles jaugées de 100,0 mL.

1. Volume de S₀ à prélever pour un étalon à 5,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ : mL
   V₀ = 100,0 × 5,00 × 10⁻⁵ ÷ (1,00 × 10⁻³) = 5,00 mL.
2. Volume de S₀ pour un étalon à 1,00 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ : mL
   V₀ = 100,0 × 1,00 × 10⁻⁴ ÷ (1,00 × 10⁻³) = 10,0 mL.
3. Volume de S₀ pour un étalon à 2,50 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ : mL
   V₀ = 100,0 × 2,50 × 10⁻⁴ ÷ (1,00 × 10⁻³) = 25,0 mL, prélevés à la pipette jaugée.
4. Facteur de dilution de l’étalon à 2,50 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ : F =
   F = C₀ ÷ C = 1,00 × 10⁻³ ÷ (2,50 × 10⁻⁴) = 4, soit aussi 100,0 ÷ 25,0.

Mesures à λ_max, même cuve :

1. Rapport A ÷ C du premier étalon : × 10⁴ L·mol⁻¹
   0,245 ÷ (1,00 × 10⁻⁵) = 2,45 × 10⁴ L·mol⁻¹.
2. Rapport A ÷ C du troisième étalon : × 10⁴ L·mol⁻¹
   0,736 ÷ (3,00 × 10⁻⁵) ≈ 2,45 × 10⁴ L·mol⁻¹ : les rapports sont constants, la loi de Beer-Lambert est vérifiée.
3. Absorbance attendue pour un étalon à 2,50 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ :
   A = k × C = 2,45 × 10⁴ × 2,50 × 10⁻⁵ ≈ 0,613, entre les absorbances des étalons voisins.

Un colorant a son maximum d’absorption à λ_max = 540 nm, où k = 2,00 × 10⁴ L·mol⁻¹. Un élève fait toute sa gamme et sa mesure à 480 nm, où le colorant absorbe moins : à cette longueur d’onde, toutes les absorbances valent 0,40 fois celles mesurées à 540 nm.

1. Coefficient obtenu par l’élève à 480 nm : k′ = × 10³ L·mol⁻¹
   k′ = 0,40 × 2,00 × 10⁴ = 8,00 × 10³ L·mol⁻¹.
2. Son échantillon donne A = 0,120 à 480 nm. Concentration : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   C = 0,120 ÷ (8,00 × 10³) = 1,50 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹ : le résultat reste juste, car étalons et échantillon sont mesurés à la même longueur d’onde.
3. Absorbance de cet échantillon à 540 nm :
   A = 2,00 × 10⁴ × 1,50 × 10⁻⁵ = 0,300.
4. Écart d’absorbance entre deux étalons distants de 1,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹, à 480 nm :
   8,00 × 10³ × 1,00 × 10⁻⁵ = 0,0800, contre 0,200 à 540 nm : à λ_max, la mesure distingue mieux deux concentrations voisines. Elle est plus sensible.

Chaque mesure est dans le domaine de sa gamme étalon.

1. k = 1,25 × 10³ L·mol⁻¹ et A = 0,480 : C = × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   C = 0,480 ÷ (1,25 × 10³) = 3,84 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹.
2. k = 6,40 × 10² L·mol⁻¹ et A = 0,352 : C = × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   C = 0,352 ÷ (6,40 × 10²) = 5,50 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹.
3. Ce dernier échantillon provenait d’une solution diluée 10 fois. Concentration de cette solution : × 10⁻³ mol·L⁻¹
   On remonte en multipliant : 10 × 5,50 × 10⁻⁴ = 5,50 × 10⁻³ mol·L⁻¹.

Droite d’étalonnage d’une espèce colorée :

1. Coefficient directeur de la droite : k = × 10³ L·mol⁻¹
   Le point C = 4,0 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹, A = 0,80 donne k = 0,80 ÷ (4,0 × 10⁻⁴) = 2,00 × 10³ L·mol⁻¹.
2. Concentration d’une solution d’absorbance 0,70, lue sur la droite : × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   On part de 0,70 en ordonnée, on rejoint la droite et on descend : C = 3,5 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ (calcul : 0,70 ÷ (2,00 × 10³) = 3,5 × 10⁻⁴).
3. Absorbance attendue pour C = 1,5 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ :
   A = 2,00 × 10³ × 1,5 × 10⁻⁴ = 0,30.

Une solution S₀ d’un colorant (M = 319,9 g·mol⁻¹) a une concentration inconnue C₀. On prélève 5,00 mL de S₀, que l’on complète à 250,0 mL dans une fiole jaugée : c’est S₁. À λ_max, S₁ donne A₁ = 0,612 ; l’étalonnage, avec la même cuve, donne k = 1,53 × 10³ L·mol⁻¹.

1. Facteur de dilution : F =
   F = 250,0 ÷ 5,00 = 50.
2. Concentration de S₁ : × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   C₁ = A₁ ÷ k = 0,612 ÷ (1,53 × 10³) = 4,00 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹.
3. Concentration de S₀ : × 10⁻² mol·L⁻¹
   C₀ = F × C₁ = 50 × 4,00 × 10⁻⁴ = 2,00 × 10⁻² mol·L⁻¹.
4. Masse de colorant dans 100,0 mL de S₀ : g
   n = 2,00 × 10⁻² × 0,1000 = 2,00 × 10⁻³ mol ; m = 2,00 × 10⁻³ × 319,9 ≈ 0,640 g. Une mesure d’absorbance, sans pesée, donne une masse.

Une gamme étalon va de A = 0,080 à A = 0,800, avec k = 4,00 × 10³ L·mol⁻¹. L’échantillon pur donne A = 1,62.

1. Concentration que l’on trouverait à tort par C = A ÷ k avec 1,62 : × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   1,62 ÷ (4,00 × 10³) = 4,05 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ ; mais 1,62 dépasse 0,800 : cette valeur n’est pas fiable.
2. Dilué 4 fois, l’échantillon donne A = 0,452. Concentration de la solution diluée : × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   0,452 est dans le domaine : C′ = 0,452 ÷ (4,00 × 10³) = 1,13 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹.
3. Concentration de l’échantillon : × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   C = 4 × 1,13 × 10⁻⁴ = 4,52 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹.
4. Écart relatif de la valeur fausse par rapport à la bonne : %
   (4,52 − 4,05) ÷ 4,52 ≈ 0,104, soit 10,4 % : au-delà du domaine, l’absorbance croît moins vite que la concentration.

Une solution contient une espèce colorée en bleu. Un étalon de concentration 1,20 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹ donne une absorbance de 0,504. Mesurée directement, la solution étudiée donne A = 1,64 ; diluée 5 fois, elle donne A′ = 0,372.

1. Les mesures se font-elles vers 450 nm ou vers 620 nm ? λ = nm
   Une solution bleue absorbe le rouge-orangé, vers 620 nm ; vers 450 nm, elle transmet le bleu et absorbe très peu.
2. Coefficient de la droite d’étalonnage : k = × 10³ L·mol⁻¹
   k = 0,504 ÷ (1,20 × 10⁻⁴) = 4,20 × 10³ L·mol⁻¹.
3. Concentration de la solution diluée : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   A′ = 0,372 est dans le domaine : C′ = 0,372 ÷ (4,20 × 10³) ≈ 8,86 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹.
4. Concentration de la solution étudiée : × 10⁻⁴ mol·L⁻¹
   C = 5 × 8,857 × 10⁻⁵ ≈ 4,43 × 10⁻⁴ mol·L⁻¹. La mesure directe (1,64) était hors domaine : C = A ÷ k y aurait donné une valeur trop petite.

Un élève fait le blanc avec une cuve vide au lieu d’une cuve d’eau distillée : toutes ses absorbances sont augmentées de 0,040. Son étalon, à 5,00 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹, aurait dû donner 0,400 ; son échantillon aurait dû donner 0,200.

1. Coefficient k que l’élève calcule avec son étalon : × 10³ L·mol⁻¹
   Il lit 0,400 + 0,040 = 0,440 : k = 0,440 ÷ (5,00 × 10⁻⁵) = 8,80 × 10³ L·mol⁻¹.
2. Concentration qu’il trouve pour l’échantillon : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   Il lit 0,240 : C = 0,240 ÷ (8,80 × 10³) ≈ 2,73 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹.
3. Vraie concentration de l’échantillon : × 10⁻⁵ mol·L⁻¹
   Vrai k = 0,400 ÷ (5,00 × 10⁻⁵) = 8,00 × 10³ L·mol⁻¹ ; C = 0,200 ÷ (8,00 × 10³) = 2,50 × 10⁻⁵ mol·L⁻¹.
4. Erreur relative commise : %
   (2,727 − 2,50) ÷ 2,50 ≈ 0,091, soit 9,1 % de trop. Le décalage du blanc rompt la proportionnalité : la droite ne passe plus par l’origine.