Évolution d’un système : le tableau d’avancement

Système chimique. C’est l’ensemble des espèces chimiques présentes, avec leur état physique, la température et la pression. Dans une équation, on note l’état physique de chaque espèce : (s) solide, (l) liquide, (g) gaz, (aq) espèce dissoute dans l’eau. L’état initial est l’état du système avant la transformation ; l’état final, celui où il n’évolue plus.

Équation ajustée (rappel de 2^de). Réactifs à gauche, produits à droite ; les nombres stœchiométriques (on dit aussi coefficients) conservent les éléments et la charge ; les espèces spectatrices n’y figurent pas (voir Transformations chimiques, en seconde). Tout ce chapitre part d’une équation ajustée.

Avancement. L’avancement, noté x, est une quantité de matière, en mol, qui mesure la progression de la transformation : x = 0 à l’état initial. Pour la réaction a A + b B → c C + d D, quand l’avancement vaut x :

• il a été consommé a × x mol de A et b × x mol de B ;
• il s’est formé c × x mol de C et d × x mol de D.

Évolution qualitative. Les quantités des réactifs diminuent, celles des produits augmentent, d’autant plus vite que le nombre stœchiométrique est grand. Tracées en fonction de x, ce sont des droites de coefficient directeur −a et −b pour les réactifs, +c et +d pour les produits.

Les quantités initiales, en mol. Un tableau d’avancement ne contient que des quantités de matière. On convertit d’abord les données (voir Quantité de matière et concentrations) : n = m ÷ M pour une masse ; n = c × V pour une espèce dissoute ; n = V ÷ V_m pour un gaz.

Le tableau. Une colonne par espèce de l’équation, une ligne par état. Pour a A + b B → c C + d D :

Le plus souvent, il n’y a aucun produit au départ : n_C(0) = n_D(0) = 0. Quand l’eau est le solvant, ou qu’un réactif est en très large excès, on écrit « solvant » ou « excès » dans sa colonne au lieu d’une quantité. Les espèces spectatrices n’ont pas de colonne : elles ne sont pas dans l’équation.

Transformation totale. Une transformation qui s’arrête parce qu’un réactif a entièrement disparu est dite totale : son avancement final est l’avancement maximal, x_f = x_max.

Trouver x_max. Une quantité de matière ne peut pas devenir négative. Pour chaque réactif, je résous l’équation du premier degré « quantité restante = 0 » : n_A(0) − a x = 0 donne x = n_A(0) ÷ a, et n_B(0) − b x = 0 donne x = n_B(0) ÷ b. L’avancement maximal est la plus petite de ces valeurs.

Réactif limitant. C’est le réactif qui donne cette plus petite valeur : il est entièrement consommé à l’état final. L’autre réactif est en excès : il en reste. S’il n’y a qu’un réactif (une décomposition, ou l’autre réactif est en excès), il est forcément limitant.

Composition de l’état final. Je remplace x par x_max dans toute la ligne finale, puis je reviens aux grandeurs demandées : m = n × M pour une masse ; V = n × V_m pour un gaz ; c = n ÷ V pour une espèce dissoute, avec le volume total de la solution.

Définition. Le mélange initial est stœchiométrique quand les réactifs sont introduits dans les proportions de l’équation : n_A(0) ÷ a = n_B(0) ÷ b. Les équations « quantité restante = 0 » ont alors la même solution.

Conséquence. Si la transformation est totale, tous les réactifs sont entièrement consommés en même temps : l’état final ne contient plus aucun réactif, seulement les produits (et les espèces spectatrices ou le solvant).

Préparer un mélange stœchiométrique. Pour une quantité n_A(0) donnée, il faut n_B(0) = (b ÷ a) × n_A(0). Pour des gaz pris dans les mêmes conditions de température et de pression, les volumes sont proportionnels aux quantités de matière : ils sont aussi dans le rapport b ÷ a.

C’est la situation recherchée à l’équivalence d’un titrage (voir Titrage).

Avancement final. L’avancement final x_f est la valeur de x quand le système n’évolue plus. On le détermine à partir de la description expérimentale de l’état final : une quantité mesurée d’un produit ou d’un réactif, reliée à x_f par la ligne finale du tableau.

• Produit C formé, mesuré : n_C(f) = c x_f, donc x_f = n_C(f) ÷ c (s’il n’y avait pas de C au départ).
• Réactif A restant, mesuré : n_A(f) = n_A(0) − a x_f, donc x_f = (n_A(0) − n_A(f)) ÷ a.

Totale ou non totale. On compare x_f à x_max, calculé comme si la transformation était totale :

• x_f = x_max : la transformation est totale, le réactif limitant a disparu ;
• x_f < x_max : la transformation est non totale. À l’état final, réactifs et produits coexistent : aucun réactif n’a entièrement disparu.

On ne peut jamais trouver x_f > x_max. Pour une transformation non totale, la composition de l’état final se calcule avec x_f, jamais avec x_max.

Capacité numérique du programme. Un programme peut déterminer la composition de l’état final d’une transformation totale à partir de l’équation et des quantités initiales. Il suit la méthode faite à la main : rapports n(0) ÷ nombre stœchiométrique, le plus petit est x_max, puis la ligne finale du tableau.

# a A + b B -> c C + d D, transformation totale
a, b, c, d = 2, 3, 2, 0
nA0, nB0 = 0.400, 0.450   # en mol
xmax = min(nA0 / a, nB0 / b)
nA = nA0 - a * xmax
nB = nB0 - b * xmax
nC = c * xmax
nD = d * xmax
print("xmax =", round(xmax, 3))
print(round(nA, 3), round(nB, 3))
print(round(nC, 3), round(nD, 3))

• min(…) renvoie la plus petite des valeurs : c’est x_max.
• Une ligne par espèce : quantité initiale − nombre stœchiométrique × xmax pour un réactif, nombre stœchiométrique × xmax pour un produit absent au départ.
• Une espèce absente de l’équation reçoit le nombre stœchiométrique 0 (ici d = 0 : il n’y a qu’un produit).
• round(…, 3) arrondit l’affichage au millième : Python stocke les décimaux en binaire et afficherait sinon 0.10000000000000003 au lieu de 0.1. Python écrit les décimaux avec un point.

Repérer le réactif limitant. On ajoute un test qui compare les deux rapports :

if nA0 / a < nB0 / b:
    print("A est limitant")
elif nA0 / a > nB0 / b:
    print("B est limitant")
else:
    print("stœchiométrique")