Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie

Énergie électrique : puissance, effet Joule et rendement

Porteurs de charge et intensité comme débit de charges ; puissance et énergie électriques ; effet Joule dans un dipôle ohmique ; bilan de puissance et rendement d’un convertisseur ; modèle d’une source réelle de tension et sa caractéristique.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : un chauffe-eau d’appoint, le rendement d’un panneau photovoltaïque, le nombre de recharges permises par une batterie externe, les pertes d’une ligne électrique selon la tension de transport, et l’étude expérimentale d’une pile alcaline avec un script Python.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère la chaîne : qui fournit l’énergie, qui la reçoit, sous quelle forme elle est utile, où sont les pertes.
Je convertis : A, s ou h, Ω, W ; mAh en C ou en A·h ; kWh en J (× 3,6 × 10⁶).
J’enchaîne les relations : $I = \frac{Q}{Δ t}$ , $P = U \times I$ , $E = P \times Δ t$ , $P_{J} = R \times I^{2}$ , $η = \frac{P_{u}}{P_{a}}$ , $U = E - r \times I$ .
J’écris le bilan : puissance absorbée = puissance utile + pertes ; je garde les valeurs non arrondies pour la suite.
Je contrôle : rendement inférieur à 1, $U < E$ pour une source qui débite, ordre de grandeur plausible.

Problème 1 · Un chauffe-eau d’appoint★★★Facile

Un chauffe-eau d’appoint contient 1,5 L d’eau à 18 °C, que l’on veut porter à 95 °C. Sa puissance électrique vaut 2 200 W et 92 % de l’énergie électrique reçue est transmise à l’eau. Sa résistance chauffante est un dipôle ohmique de 24,0 Ω. Données : masse volumique de l’eau 1,0 kg·L⁻¹ ; l’énergie à fournir à une masse

m

d’eau pour élever sa température de

Δ θ

vaut

Q = m \times c \times Δ θ

, avec

c = 4 185

J·kg⁻¹·°C⁻¹.

1. Énergie à fournir à l’eau : Q ≈ × 10⁵ J
$m = 1, 0 \times 1, 5 = 1, 5$ kg ; $Δ θ = 95 - 18 = 77$ °C ; $Q = 1, 5 \times 4 185 \times 77 = 483 367, 5$ J $\approx$ 4,83 × 10⁵ J.
2. Puissance reçue par l’eau : W
$P_{u} = η \times P_{e} = 0, 92 \times 2 200 =$ 2 024 W.
3. Durée de la chauffe : Δt ≈ s
$Δ t = \frac{Q}{P_{u}} = \frac{483 367, 5}{2 024} \approx$ 239 s, soit 3 min 59 s.
4. Énergie électrique consommée : × 10⁵ J
$E = P_{e} \times Δ t = 2 200 \times 238, 8 \approx$ 5,25 × 10⁵ J (ou $\frac{Q}{η} = \frac{483 367, 5}{0, 92}$ ).
5. soit kWh
$\frac{5, 254 \times 10^{5}}{3, 6 \times 10^{6}} \approx$ 0,146 kWh.
6. Énergie perdue : × 10⁴ J
$5, 254 \times 10^{5} - 4, 834 \times 10^{5} \approx$ 4,2 × 10⁴ J, les 8 % non transmis à l’eau : ils chauffent la cuve et l’air ; un couvercle et une cuve isolée les réduiraient.
7. Intensité dans la résistance chauffante : A
Toute la puissance électrique est dissipée par effet Joule : $P_{e} = R \times I^{2}$ , donc $I = \sqrt{\frac{2 200}{24, 0}} \approx$ 9,57 A.
8. Tension entre ses bornes : V
$U = R \times I = 24, 0 \times 9, 574 \approx$ 230 V : c’est la tension du secteur, l’appareil se branche sur une prise.

Problème 2 · Le rendement d’un panneau photovoltaïque★★★Moyen

Un panneau photovoltaïque de 1,6 m² reçoit du Soleil une puissance lumineuse de 850 W par mètre carré. Il débite 6,00 A sous 34,0 V. L’énergie produite est revendue 0,1740 € le kilowattheure.

1. Puissance lumineuse reçue : W
$P_{a} = 850 \times 1, 6 =$ 1 360 W.
2. Puissance électrique délivrée : W
$P_{u} = U \times I = 34, 0 \times 6, 00 =$ 204 W.
3. Rendement de conversion : %
$η = \frac{204}{1 360} = 0, 150$ , soit 15,0 %.
4. Puissance non convertie en électricité : W
$1 360 - 204 =$ 1 156 W, en partie réfléchis, surtout convertis en énergie thermique : le panneau chauffe au soleil.
5. Énergie produite en 5,0 h dans ces conditions : kWh
$E = 0, 204 \times 5, 0 =$ 1,02 kWh.
6. soit × 10⁶ J
$1, 02 \times 3, 6 \times 10^{6} \approx$ 3,67 × 10⁶ J.
7. Recette : centimes
$1, 02 \times 0, 1740 \approx 0, 177$ €, soit 17,7 centimes.
8. La caractéristique U = f(I) du panneau n’est pas une : on ne peut pas le modéliser par une source réelle de résistance interne constante.
Jusqu’à une certaine intensité, la tension reste presque constante, puis elle chute brutalement : le quotient $\frac{Δ U}{Δ I}$ change d’un point à l’autre. La caractéristique n’est pas une droite d’équation $U = E - r \times I$ .

Problème 3 · Combien de recharges avec une batterie externe ?★★★Moyen

Une batterie externe porte les indications « 10 000 mAh » et « 3,7 V » (tension de ses éléments). Sa sortie USB transmet au téléphone 85 % de l’énergie prélevée dans ses éléments. La batterie du smartphone à recharger porte « 4 000 mAh » et « 3,85 V » ; pendant la recharge, 90 % de l’énergie reçue par le téléphone est stockée dans sa batterie. Sur la sortie USB, on mesure 5,12 V à vide et 4,96 V quand elle débite 2,0 A.

1. Charge stockée dans la batterie externe : C
$Q = 10 \times 3 600 =$ 36 000 C (10 000 mAh = 10 A·h).
2. Énergie stockée : Wh
$E = U \times Q = 3, 7 \times 10 =$ 37 Wh.
3. soit × 10⁵ J
$37 \times 3 600 = 133 200$ J $\approx$ 1,33 × 10⁵ J.
4. Énergie que la batterie externe peut transmettre au téléphone : Wh
$0, 85 \times 37 =$ 31,45 Wh.
5. Énergie à transmettre au téléphone pour une recharge complète : Wh
Énergie stockée par le téléphone : $3, 85 \times 4, 0 = 15, 4$ Wh ; il doit en recevoir $\frac{15, 4}{0, 90} \approx$ 17,1 Wh.
6. Nombre de recharges complètes possibles :
$\frac{31, 45}{17, 11} \approx$ 1,84 : une recharge complète et un peu plus de huit dixièmes d’une seconde, loin des 2,5 recharges que suggère le rapport $\frac{10 000}{4 000}$ .
7. Résistance interne de la sortie USB : r = Ω
À vide, $U = E = 5, 12$ V ; $r = \frac{5, 12 - 4, 96}{2, 0} = \frac{0, 16}{2, 0} =$ 0,080 Ω.
8. Puissance dissipée dans cette résistance quand la sortie débite 2,0 A : W
$r \times I^{2} = 0, 080 \times 2, 0^{2} =$ 0,32 W, une petite partie des pertes de la batterie externe.

Problème 4 · Pourquoi transporter l’électricité sous haute tension★★★Difficile

Une ligne électrique doit acheminer une puissance

P = 3, 0

MW vers une zone industrielle. Ses câbles, aller et retour compris, ont une résistance

R = 1, 8

Ω. On compare deux tensions de transport :

U_{1} = 20

kV et

U_{2} = 5, 0

kV.

1. Intensité dans la ligne sous U₁ : A
$P = U \times I$ , donc $I_{1} = \frac{3, 0 \times 10^{6}}{20 \times 10^{3}} =$ 150 A.
2. Pertes par effet Joule sous U₁ : kW
$P_{J 1} = R \times I_{1}^{2} = 1, 8 \times 150^{2} = 1, 8 \times 22 500 = 40 500$ W, soit 40,5 kW.
3. soit % de la puissance transportée
$\frac{40 500}{3, 0 \times 10^{6}} = 0, 0135$ , soit 1,35 %.
4. Intensité sous U₂ : A
$I_{2} = \frac{3, 0 \times 10^{6}}{5, 0 \times 10^{3}} =$ 600 A.
5. Pertes sous U₂ : kW
$P_{J 2} = 1, 8 \times 600^{2} = 648 000$ W, soit 648 kW.
6. soit % de la puissance transportée
$\frac{648 000}{3, 0 \times 10^{6}} = 0, 216$ , soit 21,6 % : diviser la tension par 4 multiplie les pertes par 16.
7. En établissant $P_{J} = \frac{R \times P^{2}}{U^{2}}$ , pertes sous 40 kV : kW
$P_{J} = R \times I^{2}$ et $I = \frac{P}{U}$ donnent $P_{J} = \frac{R \times P^{2}}{U^{2}}$ . Sous 40 kV : $\frac{1, 8 \times (3, 0 \times 10^{6})^{2}}{(40 \times 10^{3})^{2}} = \frac{1, 62 \times 10^{13}}{1, 6 \times 10^{9}} \approx$ 10,1 kW, quatre fois moins que sous 20 kV.
8. Énergie perdue en 24 h sous 20 kV : kWh
$E = 40, 5 \times 24 =$ 972 kWh, soit environ $3, 5 \times 10^{5}$ kWh sur une année.
9. soit × 10⁹ J
$972 \times 3, 6 \times 10^{6} \approx$ 3,50 × 10⁹ J. Pour réduire encore les pertes, on diminue aussi $R$ en augmentant la section des câbles, dans la limite du coût du métal et de la masse que portent les pylônes.

Problème 5 · Étude expérimentale d’une pile alcaline★★★Difficile

On relève la caractéristique d’une pile alcaline en faisant varier l’intensité qu’elle débite :

$I$ (A)	0,000	0,100	0,250	0,400	0,550
$U$ (V)	1,545	1,510	1,458	1,405	1,353

On exécute ensuite ce script Python, où les listes I et U contiennent ces mesures :

P = []
for k in range(len(I)):
    P.append(U[k] * I[k])

On ferme enfin la pile sur un dipôle ohmique de 4,70 Ω.

1. Force électromotrice : E = V
La tension baisse régulièrement, d’environ 0,052 V pour chaque hausse de 0,150 A (et de 0,035 V pour 0,100 A) : les points sont alignés, le modèle $U = E - r \times I$ convient. À $I = 0$ , $U = E =$ 1,545 V.
2. Résistance interne, d’après les deux mesures extrêmes : r ≈ Ω
$r = \frac{1, 545 - 1, 353}{0, 550 - 0, 000} = \frac{0, 192}{0, 550} \approx$ 0,349 Ω.
3. Tension prévue par le modèle pour 0,500 A : V
$1, 545 - 0, 349 \times 0, 500 \approx$ 1,370 V. Contrôle sur une mesure : à 0,250 A, le modèle prévoit $1, 545 - 0, 349 \times 0, 250 \approx 1, 458$ V, la valeur mesurée : le modèle est validé.
4. Quatrième élément de la liste P : W
La boucle calcule $U \times I$ pour chaque mesure : P contient les puissances transférées par la pile, en watts. Quatrième élément (indice 3) : $1, 405 \times 0, 400 =$ 0,562 W.
5. Pile fermée sur 4,70 Ω : intensité ≈ A
$I = \frac{E}{R + r} = \frac{1, 545}{4, 70 + 0, 349} \approx$ 0,306 A.
6. Tension entre les bornes de la pile : V
$U = R \times I = 4, 70 \times 0, 306 \approx$ 1,44 V ( $= 1, 545 - 0, 349 \times 0, 306$ ).
7. Rendement de la pile : %
$η = \frac{U}{E} = \frac{1, 438}{1, 545} \approx$ 93,1 % ; c’est aussi $\frac{R}{R + r}$ .
8. Si l’on relie directement ses bornes par un fil, intensité de court-circuit : A
$U = 0$ , donc $I_{c c} = \frac{E}{r} = \frac{1, 545}{0, 349} \approx$ 4,43 A, plus de quatorze fois l’intensité précédente.
9. Puissance alors dissipée dans la pile : W
$r \times I_{c c}^{2} = \frac{E^{2}}{r} = \frac{1, 545^{2}}{0, 349} \approx$ 6,84 W, concentrés dans un petit volume : la pile chauffe, s’épuise vite et peut fuir. Un court-circuit est à proscrire.

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