Énergie électrique : puissance, effet Joule et rendement

Un ampèremètre branché en série dans un circuit en fils de cuivre indique 0,48 A pendant 5,0 min. Donnée : $e=1,602\times {10}^{-19}$ C.

1. Durée en secondes : Δt = s
   $\Delta t=5,0\times 60=$ 300 s.
2. Charge qui a traversé une section du fil : Q = C
   $Q=I\times \Delta t=0,48\times 300=$ 144 C.
3. Nombre d’électrons correspondant : N ≈ × 10²⁰
   $N={\displaystyle \frac{Q}{e}}={\displaystyle \frac{144}{1,602\times {10}^{-19}}}\approx$ 8,99 × 10²⁰ électrons.
4. Dans le cuivre, les porteurs de charge mobiles sont des
   Dans un métal, le courant est porté par les électrons libres.
5. Ils se déplacent dans le sens du sens conventionnel du courant.
   Chargés négativement, les électrons vont de la borne − vers la borne + à l’extérieur du générateur : sens inverse du sens conventionnel.

La batterie d’un smartphone porte l’indication 4 500 mAh. Pendant la lecture d’une vidéo, elle débite en moyenne 0,36 A. Son chargeur la recharge sous une intensité constante de 2,0 A ; on néglige toute perte.

1. Charge stockée par la batterie pleine : Q = C
   4 500 mAh = 4,5 A·h et 1 A·h = 3 600 C : $Q=4,5\times 3600=$ 16 200 C.
2. L’indication en mAh est une électrique, pas une énergie.
   Des ampères multipliés par une durée donnent des coulombs : c’est une charge.
3. Durée de lecture vidéo possible : h
   $\Delta t={\displaystyle \frac{Q}{I}}={\displaystyle \frac{16200}{0,36}}=45000$ s, soit 12,5 h (12 h 30 min).
4. Durée d’une recharge complète : min
   $\Delta t={\displaystyle \frac{16200}{2,0}}=8100$ s $={\displaystyle \frac{8100}{60}}=$ 135 min, soit 2 h 15 min.

La pile d’un stimulateur cardiaque stocke une charge de 1,2 A·h. Le stimulateur consomme en moyenne un courant de 10 µA (1 µA = 10⁻⁶ A). Donnée : $e=1,602\times {10}^{-19}$ C.

1. Charge disponible : Q = C
   $Q=1,2\times 3600=$ 4 320 C.
2. Nombre d’électrons qui traversent chaque seconde une section d’un fil : × 10¹³
   En 1 s, la charge qui passe vaut $10\times {10}^{-6}$ C : $N={\displaystyle \frac{1,0\times {10}^{-5}}{1,602\times {10}^{-19}}}\approx$ 6,24 × 10¹³ électrons.
3. Durée de fonctionnement : × 10⁸ s
   $\Delta t={\displaystyle \frac{Q}{I}}={\displaystyle \frac{4320}{1,0\times {10}^{-5}}}=$ 4,32 × 10⁸ s.
4. soit environ ans (1 an ≈ 3,16 × 10⁷ s)
   ${\displaystyle \frac{4,32\times {10}^8}{3,16\times {10}^7}}\approx$ 13,7 ans : une très faible intensité permet une très longue autonomie.

Une bouilloire de puissance 1 400 W fonctionne pendant 3 min 20 s. Le kilowattheure est facturé 0,2516 €.

1. Durée : Δt = s
   $\Delta t=3\times 60+20=$ 200 s.
2. Énergie consommée : E = J
   $E=P\times \Delta t=1400\times 200=$ 280 000 J, soit $2,80\times {10}^5$ J.
3. soit E ≈ kWh
   $E={\displaystyle \frac{2,80\times {10}^5}{3,6\times {10}^6}}\approx$ 0,0778 kWh (ou $1,400\times {\displaystyle \frac{200}{3600}}$).
4. Coût de cette chauffe : centimes
   $0,0778\times 0,2516\approx 0,0196$ €, soit environ 2,0 centimes.

Une installation alimentée sous 48,0 V comporte trois lampes de 21 W montées en dérivation, chacune sous 48,0 V. Elle est protégée par un fusible, à choisir parmi les calibres 1,0 A, 1,6 A et 2,0 A : le plus petit calibre qui laisse fonctionner l’installation.

1. Puissance totale reçue par les lampes : W
   Le générateur fournit la somme des puissances reçues : $3\times 21=$ 63 W.
2. Intensité délivrée par la source : I ≈ A
   $I={\displaystyle \frac{P}{U}}={\displaystyle \frac{63}{48,0}}\approx$ 1,31 A.
3. Calibre du fusible : A
   Un fusible de 1,0 A fondrait ; celui de 2,0 A protégerait moins bien : on choisit 1,6 A.
4. On remplace une lampe par une lampe de 55 W : nouvelle intensité ≈ A
   $P=21+21+55=97$ W, donc $I={\displaystyle \frac{97}{48,0}}\approx$ 2,02 A.
5. Avec cette nouvelle lampe, le fusible choisi
   2,02 A dépasse le calibre de 1,6 A : le fil du fusible, échauffé par effet Joule, fond et ouvre le circuit.

La batterie d’une perceuse sans fil porte les indications « 18 V » et « 4,0 A·h ». En perçant, la perceuse reçoit une puissance de 320 W.

1. Charge stockée : Q = C
   $Q=4,0\times 3600=$ 14 400 C.
2. Énergie stockée : E = U × Q ≈ × 10⁵ J
   $E=18\times 14400=259200$ J $\approx$ 2,59 × 10⁵ J.
3. soit Wh
   $E=18\times 4,0=$ 72 Wh (et $72\times 3600=259200$ J).
4. Intensité débitée pendant le perçage : I ≈ A
   $I={\displaystyle \frac{P}{U}}={\displaystyle \frac{320}{18}}\approx$ 17,8 A.
5. Durée de perçage possible avec une batterie pleine : min
   $\Delta t={\displaystyle \frac{E}{P}}={\displaystyle \frac{259200}{320}}=810$ s, soit 13,5 min.

Un câble d’alimentation de résistance 0,18 Ω relie une armoire électrique à une machine-outil alimentée sous 400 V. Il est parcouru par une intensité de 16 A pendant 1 h 30 min.

1. Puissance dissipée par effet Joule dans le câble : W
   $P_J=R\times I^2=0,18\times {16}^2=0,18\times 256\approx$ 46,1 W.
2. Énergie thermique dégagée : × 10⁵ J
   $\Delta t=1,5\times 3600=5400$ s ; $E=46,08\times 5400\approx$ 2,49 × 10⁵ J.
3. soit kWh
   ${\displaystyle \frac{2,488\times {10}^5}{3,6\times {10}^6}}\approx$ 0,0691 kWh.
4. Tension entre les extrémités du câble : V
   Loi d’Ohm : $U=R\times I=0,18\times 16=$ 2,88 V.
5. soit % de la tension d’alimentation
   ${\displaystyle \frac{2,88}{400}}=0,0072$, soit 0,72 % : chute de tension négligeable, mais les 46 W dissipés en continu échauffent le câble, d’où une section suffisante.

La résistance chauffante d’une friteuse est un dipôle ohmique de résistance 26,5 Ω. La friteuse est branchée sous 230 V.

1. Puissance dissipée : P ≈ W
   Tension connue : $P={\displaystyle \frac{U^2}{R}}={\displaystyle \frac{{230}^2}{26,5}}={\displaystyle \frac{52900}{26,5}}\approx$ 1 996 W, environ 2,00 kW.
2. Intensité qui la traverse : I ≈ A
   $I={\displaystyle \frac{U}{R}}={\displaystyle \frac{230}{26,5}}\approx$ 8,68 A ; on vérifie $R\times I^2=26,5\times 8,{679}^2\approx 1996$ W.
3. Énergie dissipée en 12 min : × 10⁶ J
   $E=1996\times 720\approx$ 1,44 × 10⁶ J.
4. Branchée par erreur sous 115 V, elle dissiperait P ≈ W
   $P={\displaystyle \frac{{115}^2}{26,5}}={\displaystyle \frac{13225}{26,5}}\approx$ 499 W.
5. Diviser la tension par 2 divise la puissance par
   $P={\displaystyle \frac{U^2}{R}}$ : la puissance varie comme le carré de la tension, elle est divisée par $2^2=$ 4.

Un élève écrit trois affirmations dans son cahier. On les teste par le calcul. 1) « Un radiateur de 750 W qui fonctionne 2 h consomme 1 500 W. » 2) « Si je branche sous la même tension de 60,0 V un dipôle ohmique de résistance double, la puissance dissipée double » ; on teste avec 24,0 Ω puis 48,0 Ω. 3) « L’effet Joule est toujours une perte d’énergie. »

1. Énergie réellement consommée par le radiateur : kWh
   Le watt mesure une puissance : $E=P\times \Delta t=0,750\times 2=$ 1,50 kWh, la puissance restant 750 W.
2. soit × 10⁶ J
   $E=750\times 2\times 3600=5,40\times {10}^6$ J : 5,40 × 10⁶ J.
3. Puissance dissipée avec 24,0 Ω : W
   $P={\displaystyle \frac{60,0^2}{24,0}}={\displaystyle \frac{3600}{24,0}}=$ 150 W.
4. Puissance dissipée avec 48,0 Ω : W
   $P^{\prime }={\displaystyle \frac{3600}{48,0}}=$ 75,0 W : à tension fixée, doubler $R$ divise la puissance par deux. L’élève a pensé à $R\times I^2$, qui vaut à intensité fixée.
5. Dans un radiateur, l’énergie thermique produite par effet Joule est l’énergie
   L’effet Joule est une perte dans un câble ou un moteur ; dans un radiateur ou une bouilloire, c’est l’effet recherché : l’énergie thermique est l’énergie utile.

Un moteur à courant continu alimenté sous 24 V absorbe un courant de 3,5 A. Il fournit une puissance mécanique de 68 W.

1. Puissance absorbée : W
   $P_a=U\times I=24\times 3,5=$ 84 W.
2. Rendement : %
   $\eta ={\displaystyle \frac{P_u}{P_a}}={\displaystyle \frac{68}{84}}\approx 0,810$, soit 81 %.
3. Puissance perdue : W
   $P_a-P_u=84-68=$ 16 W.
4. Ces pertes sont surtout cédées sous forme d’énergie
   Effet Joule dans les bobinages et frottements : énergie thermique.
5. Énergie absorbée en 10 min : × 10⁴ J
   $E=84\times 600=50400$ J $=$ 5,04 × 10⁴ J.

Dans une centrale hydroélectrique, l’eau entraîne une turbine de rendement 0,88, qui entraîne un alternateur de rendement 0,97. Le transport jusqu’aux consommateurs a un rendement de 0,93. Les consommateurs reçoivent 250 MW.

1. Rendement global de la chaîne : η ≈
   La puissance utile de chaque étape est absorbée par la suivante : $\eta =0,88\times 0,97\times 0,93=0,8536\times 0,93\approx$ 0,794, environ 79 %.
2. Puissance absorbée par la turbine : MW
   $P_a={\displaystyle \frac{P_u}{\eta }}={\displaystyle \frac{250}{0,7938}}\approx$ 315 MW.
3. Puissance perdue dans toute la chaîne : MW
   $314,9-250\approx$ 65 MW, cédés surtout sous forme thermique (frottements, effet Joule dans l’alternateur et la ligne).
4. Le rendement global est au plus petit des trois rendements.
   $\eta =0,88\times (0,97\times 0,93)$ : on multiplie 0,88 par un nombre inférieur à 1, le résultat est inférieur à 0,88. Chaque étape ajoute ses pertes.

Une DEL fonctionne correctement traversée par 18,0 mA ; la tension entre ses bornes vaut alors 2,10 V, et l’on admet qu’elle garde cette valeur pour une intensité voisine. On l’alimente par une source de 5,00 V, en série avec un dipôle ohmique de protection choisi parmi 120 Ω, 150 Ω, 180 Ω et 220 Ω.

1. Résistance théorique de protection : R ≈ Ω
   Loi des mailles : $U_R=5,00-2,10=2,90$ V ; même intensité dans les deux dipôles : $R={\displaystyle \frac{2,90}{18,0\times {10}^{-3}}}\approx$ 161 Ω.
2. Valeur à choisir : Ω
   Il faut la valeur immédiatement supérieure, 180 Ω : avec 150 Ω, l’intensité vaudrait ${\displaystyle \frac{2,90}{150}}\approx 19,3$ mA, au-delà de l’intensité prévue pour la DEL, qui chaufferait et vieillirait plus vite.
3. Intensité obtenue : mA
   $I={\displaystyle \frac{2,90}{180}}\approx 1,61\times {10}^{-2}$ A, soit 16,1 mA.
4. Puissance dissipée dans le dipôle ohmique : mW
   $P_R=R\times I^2=180\times (1,611\times {10}^{-2}{)}^2\approx$ 46,7 mW : un modèle prévu pour 0,25 W convient largement.
5. Part de la puissance fournie par la source qui parvient à la DEL : %
   Bilan : la source fournit $5,00\times I$, la DEL reçoit $2,10\times I$ ; part $={\displaystyle \frac{2,10}{5,00}}=0,420$, soit 42 %. Le reste, 58 %, est dissipé en chaleur dans le dipôle ohmique.

On modélise la batterie d’une voiture par une source réelle de tension : E = 12,6 V et r = 0,010 Ω. Phares allumés, moteur arrêté, elle débite 9,0 A ; au démarrage, le démarreur lui demande en plus 250 A, soit 259 A au total.

1. Tension entre ses bornes, phares seuls : U = V
   $U=E-r\times I=12,6-0,010\times 9,0=$ 12,51 V.
2. Tension au démarrage : U ≈ V
   $U=12,6-0,010\times 259=12,6-2,59\approx$ 10,0 V.
3. Au démarrage, les phares éclairent (plus, moins ou autant)
   La tension appliquée aux phares baisse de 12,51 V à 10,0 V : ils éclairent moins.
4. Puissance dissipée dans la batterie au démarrage : W
   $r\times I^2=0,010\times {259}^2=0,010\times 67081\approx$ 671 W : la batterie s’échauffe.
5. Intensité de court-circuit : A
   $I_{cc}={\displaystyle \frac{E}{r}}={\displaystyle \frac{12,6}{0,010}}=$ 1 260 A : une résistance interne très faible rend un court-circuit très dangereux.

Une pile de force électromotrice E = 5,40 V et de résistance interne r = 0,75 Ω alimente un dipôle ohmique de résistance R = 12,0 Ω.

1. Intensité du courant : I ≈ A
   Une seule maille : $R\times I=E-r\times I$, donc $(R+r)\times I=E$ et $I={\displaystyle \frac{E}{R+r}}={\displaystyle \frac{5,40}{12,75}}\approx$ 0,424 A.
2. Tension entre les bornes du dipôle ohmique : V
   $U=R\times I=12,0\times 0,4235\approx$ 5,08 V ; contrôle : $5,40-0,75\times 0,4235\approx 5,08$ V.
3. Puissance dissipée dans la pile : W
   $P_r=r\times I^2=0,75\times 0,{4235}^2\approx$ 0,135 W.
4. Rendement de la pile : %
   $\eta ={\displaystyle \frac{U}{E}}={\displaystyle \frac{5,082}{5,40}}\approx 0,941$, soit 94,1 % : $r$ est petite devant $R$.

Une pile de force électromotrice E = 9,60 V et de résistance interne r = 1,50 Ω alimente un petit moteur. L’intensité vaut 0,850 A et le moteur fournit une puissance mécanique de 5,20 W.

1. Puissance électrique engendrée par la pile : W
   $E\times I=9,60\times 0,850=$ 8,16 W.
2. Puissance dissipée dans la pile : W
   $r\times I^2=1,50\times 0,{850}^2=1,50\times 0,7225\approx$ 1,08 W.
3. Puissance reçue par le moteur : W
   Bilan de la pile : $U\times I=8,16-1,08375\approx$ 7,08 W.
4. Tension entre les bornes du moteur : V
   $U={\displaystyle \frac{7,07625}{0,850}}=8,325$ V, soit 8,33 V ; contrôle : $9,60-1,50\times 0,850=8,325$ V.
5. Rendement du moteur : %
   ${\eta }_m={\displaystyle \frac{5,20}{7,076}}\approx 0,735$, soit 73,5 %.
6. Rendement global, de la pile au moteur : %
   ${\eta }_g={\displaystyle \frac{5,20}{8,16}}\approx 0,637$, soit 63,7 %, plus faible car il compte aussi les pertes dans la pile : ${\eta }_g={\eta }_m\times {\displaystyle \frac{U}{E}}=0,735\times 0,867$.