À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Combinatoire et dénombrement » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Principe fondamental de dénombrement (multiplication), Factorielle et permutations, Arrangements (listes ordonnées sans répétition), Combinaisons et coefficient binomial. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Principe fondamental de dénombrement (multiplication)
2 · Factorielle et permutations
3 · Arrangements (listes ordonnées sans répétition)
4 · Combinaisons et coefficient binomial $\binom{n}{k}$
5 · Triangle de Pascal et propriétés
6 · Applications aux probabilités
1Principe fondamental de dénombrement (multiplication)
Pour compter le nombre de façons d'effectuer une suite d'épreuves indépendantes, on multiplie les nombres de possibilités à chaque étape.
Principe multiplicatif. Si une action comporte $p$ étapes, avec respectivement $n_1, n_2, \ldots, n_p$ possibilités à chaque étape, alors le nombre total de façons d'accomplir cette action est $$n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p.$$
Exemple 1. Un code de cadenas est formé de 3 chiffres (de 0 à 9) pouvant se répéter. Nombre de codes possibles : $10 \times 10 \times 10 = 1000$.
Exemple 2. On choisit un menu : 3 entrées, 4 plats, 2 desserts. Nombre de menus possibles : $3 \times 4 \times 2 = 24$.
Astuce. Dressez un « arbre des possibilités » pour les petits exemples afin de visualiser toutes les branches avant d'appliquer la multiplication.
2Factorielle et permutations
Définition — Factorielle. Pour tout entier $n \geq 1$, on pose $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$$ et par convention $0! = 1$.
Exemples de valeurs : $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$, $5!=120$, $10!=3\,628\,800$.
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|
| $n!$ | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 |
|---|
Définition — Permutation. Une permutation d'un ensemble de $n$ éléments est un arrangement de tous ces éléments dans un ordre donné. Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!$.
Exemple. Combien de façons peut-on ranger 4 livres distincts sur une étagère ? $4! = 24$.
Attention ! La factorielle croît très vite : $20! \approx 2{,}4 \times 10^{18}$. Ne tentez pas de la calculer à la main pour de grands $n$.
3Arrangements (listes ordonnées sans répétition)
Définition — Arrangement. Un arrangement de $k$ éléments parmi $n$ (noté $A_n^k$ ou $P(n,k)$) est une liste ordonnée de $k$ éléments distincts tirés d'un ensemble de $n$ éléments ($k \leq n$). Le nombre de tels arrangements est $$A_n^k = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.$$
Exemple 1 — podium. Dans une course de 10 coureurs, combien de podiums (or, argent, bronze) distincts sont possibles ? $$A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720.$$
Exemple 2 — code PIN à 4 chiffres distincts. $$A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040.$$
Astuce. Remarquez que $A_n^n = n!$ : quand on prend tous les éléments, on retrouve les permutations.
Attention — ordre important. « Choisir A puis B » est différent de « choisir B puis A » dans un arrangement. Si l'ordre n'a pas d'importance, c'est une combinaison (section suivante).
4Combinaisons et coefficient binomial
Définition — Combinaison. Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble (sans ordre) de $k$ éléments choisis dans un ensemble de $n$ éléments. Le nombre de combinaisons est le coefficient binomial $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}.$$
On lit $\binom{n}{k}$ « $k$ parmi $n$ ». La division par $k!$ annule les ordres : chaque groupe de $k$ éléments a été compté $k!$ fois dans $A_n^k$.
Exemple 1 — équipe de 3. Dans une classe de 25 élèves, combien de groupes de 3 peut-on former ? $$\binom{25}{3} = \frac{25!}{3! \cdot 22!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = \frac{13\,800}{6} = 2300.$$
Exemple 2 — main de cartes. Combien de mains de 5 cartes peut-on tirer d'un jeu de 32 cartes ? $$\binom{32}{5} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{120} = 201\,376.$$
| Propriétés | Formule |
|---|
| Symétrie | $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ |
| Cas extrêmes | $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ |
| Formule de Pascal | $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ |
Astuce de calcul. Pour $\binom{n}{k}$, simplifiez avant de multiplier. Ex : $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56$.
5Triangle de Pascal et propriétés
Le triangle de Pascal permet de lire directement les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$.
Construction. On dispose les coefficients $\binom{n}{k}$ en triangle : ligne $n$, colonne $k$ (à partir de 0). Chaque valeur est la somme des deux valeurs situées au-dessus (formule de Pascal) : $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.$$
| $n$ | Ligne ($k=0,1,\ldots,n$) | Somme |
|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 · 1 | 2 |
| 2 | 1 · 2 · 1 | 4 |
| 3 | 1 · 3 · 3 · 1 | 8 |
| 4 | 1 · 4 · 6 · 4 · 1 | 16 |
| 5 | 1 · 5 · 10 · 10 · 5 · 1 | 32 |
Propriété fondamentale — somme d'une ligne. $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n.$$
Cette propriété compte toutes les parties d'un ensemble à $n$ éléments : il y en a $2^n$.
Application. Un ensemble de 5 éléments a $2^5 = 32$ parties (dont l'ensemble vide et l'ensemble total).
Astuce. On retrouve les coefficients du développement de $(1+x)^n$ : $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k$ (lié au cours sur le binôme de Newton, hors programme 1re mais utile à connaître).
6Applications aux probabilités
La combinatoire est un outil essentiel pour calculer des probabilités dans des expériences aléatoires où tous les résultats sont équiprobables.
Rappel. Si une expérience a $N$ résultats équiprobables et qu'un événement $A$ en contient $k$, alors $P(A) = \dfrac{k}{N}$. Il faut donc savoir dénombrer $k$ et $N$.
Exemple 1 — tirage de cartes. On tire 3 cartes dans un jeu de 32. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 as ? (Il y a 4 as et 28 autres cartes.)
• $N = \binom{32}{3} = 4960$ mains de 3 cartes.
• Pour 2 as parmi 4 : $\binom{4}{2} = 6$ choix. Pour le 3e hors-as : $\binom{28}{1} = 28$ choix.
• Nombre de mains favorables : $6 \times 28 = 168$.
$$P = \frac{168}{4960} = \frac{21}{620} \approx 3{,}4\%.$$
Exemple 2 — urne. Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On en tire 2. Probabilité de tirer 2 boules rouges :
$$P = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 35{,}7\%.$$
Attention ! La combinatoire s'applique aux tirages sans remise (sans répétition). Pour les tirages avec remise, on utilise le principe multiplicatif directement.
Méthode.- Identifier si l'ordre compte (→ arrangement) ou non (→ combinaison).
- Identifier si la répétition est possible (→ principe multiplicatif seul) ou non.
- Dénombrer $N$ (univers) puis $k$ (événement).
★À retenir
À retenir :
• Principe multiplicatif : $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p$ étapes indépendantes.
• Factorielle : $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$, $0!=1$.
• Permutations (tous les éléments dans l'ordre) : $n!$
• Arrangements (ordre compte, $k$ parmi $n$) : $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
• Combinaisons (ordre ne compte pas, $k$ parmi $n$) : $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
• Triangle de Pascal : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ ; somme d'une ligne $= 2^n$.
• Application proba : $P(A) = \dfrac{\text{nb cas favorables}}{\text{nb cas totaux}}$ avec dénombrement combinatoire.