Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Logique, raisonnement et listes Python

Condition nécessaire ou suffisante, quantificateurs et négation, statut des lettres, contraposée, absurde et disjonction des cas, produit cartésien, listes Python.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés dans l’esprit de l’épreuve anticipée de maths : un sondage sur le sport et la musique dans une classe (réunion, complémentaire, contraposée), un contre-exemple chassé avec une liste Python, un « vrai ou faux » justifié, l’irrationalité de √3 par l’absurde, une suite et quatre propositions quantifiées, une famille de droites qui passent toutes par un même point.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère la forme logique de chaque affirmation : implication, équivalence, « pour tout », « il existe », négation.
Je choisis l’outil : contre-exemple pour réfuter un « pour tout », exemple pour un « il existe », contraposée, absurde ou disjonction des cas pour démontrer.
Je précise le statut des lettres : variable, inconnue ou paramètre ; avec un paramètre, je sépare les cas.
Je rédige en annonçant la méthode, chaque ligne découlant de la précédente, et je conclus par une phrase (« l’affirmation est vraie / fausse »).
Pour une liste Python, je suis la boucle valeur par valeur ; un programme peut réfuter une conjecture, jamais la démontrer pour une infinité de valeurs.

Problème 1 · Sport et musique dans une classe★★★Facile

Dans une classe

E

34

élèves, on note

S

l’ensemble des élèves qui pratiquent un sport en club et

M

l’ensemble de ceux qui jouent d’un instrument de musique. On sait que

21

élèves sont dans

S

15

dans

M

8

dans les deux.

	Musique	Total
Sport	$8$	$21$
Pas de sport
Total	$15$	$34$

1. Compléter le tableau. Nombre d’élèves musiciens qui ne pratiquent pas de sport :
Musique sans sport : $15 - 8 = 7$ . Sport sans musique : $21 - 8 = 13$ . Pas de sport : $34 - 21 = 13$ , dont $7$ musiciens, donc $13 - 7 = 6$ élèves sans sport ni musique. Pas de musique : $34 - 15 = 19$ (vérification : $13 + 6 = 19$ ).
2. Justifier le calcul de $C a r d (S \cup M)$ :
Rédaction attendue. $S \cup M$ regroupe les élèves qui font du sport ou de la musique, éventuellement les deux (« ou » inclusif). En ajoutant $21$ et $15$ , les $8$ élèves de $S \cap M$ sont comptés deux fois : $C a r d (S \cup M) = 21 + 15 - 8 = 28$ .
3. Nombre d’élèves du complémentaire de $S \cup M$ dans $E$ :
Ce sont les élèves qui ne font ni sport ni musique : $34 - 28 = 6$ , ce qui confirme le tableau. On remarque que non ( $S$ ou $M$ ) = (non $S$ ) et (non $M$ ).
4. La proposition « tout élève musicien pratique un sport » revient à l’inclusion $M \subset$ . Écrire sa négation et démontrer que la proposition est fausse.
Rédaction attendue. Avec un quantificateur : « pour tout élève $e$ de $E$ , si $e \in M$ , alors $e \in S$ », c’est-à-dire $M \subset S$ . Négation : « il existe un élève de $E$ qui est dans $M$ et pas dans $S$ ». Elle est vraie : $7$ élèves sont musiciens sans faire de sport, chacun est un contre-exemple. La proposition est fausse, et sa contraposée « si un élève ne pratique pas de sport, alors il ne joue pas de musique » est fausse aussi (même valeur de vérité).
5. La proposition « il existe un élève de $S$ qui n’est pas dans $M$ » est vraie. Nombre d’élèves qui la vérifient :
C’est la case « sport, pas de musique » : $21 - 8 = 13$ élèves. Un seul suffirait pour prouver ce « il existe ».

Problème 2 · Chasser un contre-exemple avec Python★★★Moyen

Un élève conjecture : « pour tout entier naturel

n

, le nombre

6 n + 1

est premier ». Pour la tester, il écrit :

def premier(p):
    if p < 2:
        return False
    for d in range(2, p):
        if p % d == 0:
            return False
    return True

L = [6*n + 1 for n in range(10)]
C = [n for n in range(10)
     if not premier(6*n + 1)]

1. Le dernier élément de L, L[9], vaut
range(10) donne $n$ de $0$ à $9$ : L = [1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55], et L[9] correspond à $n = 9$ : $6 \times 9 + 1 = 55$ .
2. premier(25) renvoie False : la boucle s’arrête pour d égal à
$25 ⩾ 2$ : on entre dans la boucle. $d = 2$ , $3$ , $4$ : le reste n’est pas nul. $d = 5$ : $25 = 5 \times 5$ , le reste est nul et la fonction renvoie False immédiatement.
3. len(C) vaut
C contient les $n$ pour lesquels $6 n + 1$ n’est pas premier : $1$ (pour $n = 0$ , $1$ n’est pas premier), $25$ , $49 = 7 \times 7$ et $55 = 5 \times 11$ . Donc C = [0, 4, 8, 9].
4. Rédiger la réfutation de la conjecture à l’aide de C[1], qui vaut
Rédaction attendue. Pour $n = 4$ , $6 n + 1 = 25 = 5 \times 5$ n’est pas premier : c’est un contre-exemple, donc la conjecture « pour tout entier naturel $n$ , $6 n + 1$ est premier » est fausse. Un seul contre-exemple suffit.
5. La proposition « il existe un entier naturel $n$ tel que $6 n + 1$ est premier » est vraie : le plus petit $n$ qui convient est
Rédaction attendue. Pour $n = 1$ , $6 n + 1 = 7$ est premier : un exemple suffit pour un « il existe ». Remarque : si l’élève remplaçait range(10) par range(10**6) et obtenait une liste vide pour une autre conjecture, il ne pourrait pas conclure qu’elle est vraie : le programme ne teste qu’un nombre fini d’entiers. Un programme peut réfuter un « pour tout », jamais le démontrer.

Problème 3 · Vrai ou faux, en justifiant★★★Moyen

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant, comme dans les exercices « vrai ou faux » de l’épreuve anticipée : une réponse sans justification ne rapporte aucun point. Dans tout le problème,

x

m

désignent des réels.

1. Affirmation A : « si $x (x - 4) < 0$ , alors $x > 0$ ». Démontrer qu’elle est vraie : $x (x - 4) < 0$ équivaut à « $x$ est strictement compris entre $0$ et ».
Rédaction attendue. L’affirmation sous-entend « pour tout réel $x$ ». Un produit de deux facteurs est strictement négatif si et seulement si ces facteurs sont non nuls et de signes contraires. Comme $x - 4 < x$ , cela revient à $x > 0$ et $x - 4 < 0$ : $x (x - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4$ . Donc, si $x (x - 4) < 0$ , alors $x > 0$ : l’affirmation A est vraie.
2. Affirmation B : « $x > 1$ est une condition nécessaire pour $x^{2} > x$ ». Elle est fausse : le plus grand entier $x$ qui vérifie $x^{2} > x$ sans vérifier $x > 1$ est
Rédaction attendue. B affirme que $x^{2} > x \Rightarrow x > 1$ . Pour $x = - 1$ : $(- 1)^{2} = 1$ et $1 > - 1$ , mais $- 1 ⩽ 1$ . C’est un contre-exemple : B est fausse. Pour $x = 0$ et $x = 1$ , on a $x^{2} = x$ ; tout entier $x ⩽ - 1$ vérifie $x^{2} > x$ (un carré positif est plus grand qu’un négatif), donc le plus grand contre-exemple entier est $- 1$ . En revanche, « $x > 1$ » est une condition suffisante : si $x > 1$ , alors $x^{2} - x = x (x - 1) > 0$ .
3. Affirmation C : « pour tout réel $m$ , l’équation $m x + 3 = 0$ , d’inconnue $x$ , a au moins une solution ». Elle est fausse : la seule valeur du paramètre qui la met en défaut est
Rédaction attendue. Si $m \neq 0$ , l’équation a une solution : $x = - \frac{3}{m}$ . Si $m = 0$ , elle devient $0 \times x + 3 = 0$ , soit $3 = 0$ , impossible : aucune solution. $m = 0$ est un contre-exemple, donc C est fausse, et c’est la seule valeur qui la met en défaut.
4. Affirmation D : soit $P$ la proposition « pour tout réel $x > 0$ , $x + \frac{1}{x} ⩾ 2$ » ; D dit que la négation de $P$ est « pour tout réel $x > 0$ , $x + \frac{1}{x} < 2$ ». D est fausse : la bonne négation commence par les mots
Rédaction attendue. Pour nier, on change aussi le quantificateur : la négation de $P$ est « il existe un réel $x > 0$ tel que $x + \frac{1}{x} < 2$ ». D est fausse. D’ailleurs $P$ est vraie : pour $x > 0$ , $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} = \frac{(x - 1)^{2}}{x} ⩾ 0$ , donc sa négation est fausse.

Problème 4 · Multiples de 3, irrationalité de √3★★★Difficile

Dans tout le problème,

n

k

p

q

désignent des entiers.

1. Démontrer par contraposée que, si $n^{2}$ est multiple de $3$ , alors $n$ est multiple de $3$ (distinguer $n = 3 k + 1$ et $n = 3 k + 2$ ). Pour $n = 3 k + 2$ , on trouve $n^{2} = 3 m + 1$ avec $m = 3 k^{2} + 4 k + c$ et $c$ =
Rédaction attendue. Contraposée : « si $n$ n’est pas multiple de $3$ , alors $n^{2}$ n’est pas multiple de $3$ ». Si $n$ n’est pas multiple de $3$ , son reste dans la division par $3$ vaut $1$ ou $2$ : disjonction des cas. Cas $n = 3 k + 1$ : $n^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1$ . Cas $n = 3 k + 2$ : $n^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1$ . Dans les deux cas, $n^{2}$ s’écrit $3 m + 1$ avec $m$ entier : il n’est pas multiple de $3$ . La contraposée est vraie, donc l’implication l’est aussi.
2. La réciproque est vraie aussi. « $n$ est multiple de $3$ » est donc, pour « $n^{2}$ est multiple de $3$ », une condition
Si $n = 3 k$ , alors $n^{2} = 9 k^{2} = 3 \times 3 k^{2}$ est multiple de $3$ . Avec la question précédente, les deux propositions sont équivalentes : condition nécessaire et suffisante.
3. Démontrer par l’absurde que $\sqrt{3}$ est irrationnel. En écrivant $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ (fraction irréductible), puis $p = 3 k$ , on obtient $q^{2} = c k^{2}$ avec $c$ =
Rédaction attendue. Supposons $\sqrt{3}$ rationnel : $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, fraction irréductible. En élevant au carré : $p^{2} = 3 q^{2}$ , donc $p^{2}$ est multiple de $3$ et, d’après la question 1, $p$ aussi : $p = 3 k$ . Alors $9 k^{2} = 3 q^{2}$ , soit $q^{2} = 3 k^{2}$ : $q^{2}$ est multiple de $3$ , donc $q$ aussi. $p$ et $q$ sont tous deux multiples de $3$ : la fraction n’est pas irréductible, contradiction. Donc $\sqrt{3}$ est irrationnel.
4. Un élève teste la question 1 avec [n for n in range(1, 40) if n*n % 3 == 0 and n % 3 != 0]. Nombre d’éléments de la liste obtenue :
La liste rassemble les contre-exemples entre $1$ et $39$ : $n^{2}$ multiple de $3$ sans que $n$ le soit. D’après la question 1, il n’y en a aucun : la liste est vide. Ce test ne démontre rien pour tous les entiers ; c’est la démonstration de la question 1 qui prouve le résultat.
5. Démontrer par l’absurde que $2 \sqrt{3} + 1$ est irrationnel. Si $2 \sqrt{3} + 1 = r$ avec $r$ rationnel, alors $\sqrt{3} = \frac{r - c}{2}$ avec $c$ =
Rédaction attendue. Supposons que $2 \sqrt{3} + 1 = r$ avec $r$ rationnel. Alors $\sqrt{3} = \frac{r - 1}{2}$ . Or $r - 1$ est rationnel (différence de deux rationnels), et son quotient par $2$ aussi : $\sqrt{3}$ serait rationnel, ce qui contredit la question précédente. Donc $2 \sqrt{3} + 1$ est irrationnel.
6. Plus généralement, si $x$ est rationnel et $y$ irrationnel, alors $x + y$ est irrationnel (même raisonnement). En revanche, la somme de deux irrationnels peut être rationnelle : $\sqrt{2}$ et $4 - \sqrt{2}$ sont irrationnels et leur somme vaut
Rédaction attendue. Si $x \in ℚ$ , $y \notin ℚ$ et, par l’absurde, $x + y \in ℚ$ , alors $y = (x + y) - x$ est une différence de deux rationnels, donc rationnel : contradiction. Ensuite, $\sqrt{2}$ est irrationnel (démontré dans le cours) et $4 - \sqrt{2}$ aussi (somme du rationnel $4$ et de l’irrationnel $- \sqrt{2}$ ), mais $\sqrt{2} + (4 - \sqrt{2}) = 4$ est rationnel : « la somme de deux irrationnels est irrationnelle » est fausse. De même, « $x$ rationnel et $y$ irrationnel entraîne $x y$ irrationnel » est fausse pour $x = 0$ ( $0 \times \sqrt{2} = 0$ ) ; elle devient vraie avec $x \neq 0$ , car on peut alors écrire $y = \frac{x y}{x}$ .

Problème 5 · Une suite et quatre propositions quantifiées★★★Difficile

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = 2 n^{2} - 15 n

, et les propositions :

P_{1}

: « il existe un entier naturel

n

tel que

u_{n} < 0

» ;

P_{2}

: « pour tout entier naturel

n

u_{n} ⩾ - 28

» ;

P_{3}

: « pour tout réel

A > 0

, il existe un entier naturel

n

tel que

u_{n} > A

» ;

P_{4}

: « il existe un entier naturel

n

tel que, pour tout entier naturel

m

u_{m} ⩾ u_{n}

».

1. $P_{1}$ est vraie. Le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0$ est
$u_{0} = 0$ n’est pas strictement négatif ; $u_{1} = 2 - 15 = - 13 < 0$ . Un exemple suffit à prouver $P_{1}$ .
2. Vérifier que $2 n^{2} - 15 n + 28 = (2 n - 7) (n - c)$ avec $c$ = , puis démontrer $P_{2}$ .
Rédaction attendue. $(2 n - 7) (n - 4) = 2 n^{2} - 8 n - 7 n + 28 = 2 n^{2} - 15 n + 28$ , donc $u_{n} + 28 = (2 n - 7) (n - 4)$ . Disjonction des cas pour $n$ entier : si $n ⩽ 3$ , $2 n - 7 < 0$ et $n - 4 < 0$ , le produit est positif ; si $n = 4$ , il est nul ; si $n ⩾ 5$ , $2 n - 7 > 0$ et $n - 4 > 0$ , il est positif. Dans tous les cas $u_{n} + 28 ⩾ 0$ : $P_{2}$ est vraie. L’argument utilise que $n$ est entier : pour un réel entre $3, 5$ et $4$ , le produit serait négatif.
3. Écrire la négation de $P_{3}$ , puis démontrer $P_{3}$ . Pour $A = 100$ , le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} > A$ est
Rédaction attendue. Négation : « il existe un réel $A > 0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} ⩽ A$ » (la suite est majorée). Démonstration de $P_{3}$ : soit $A > 0$ . Pour $n ⩾ 8$ , $2 n - 15 ⩾ 1$ , donc $u_{n} = n (2 n - 15) ⩾ n$ . Prenons un entier $n$ tel que $n ⩾ 8$ et $n > A$ : alors $u_{n} ⩾ n > A$ . Un tel rang existe pour tout $A$ : $P_{3}$ est vraie. Pour $A = 100$ : $u_{11} = 242 - 165 = 77$ et $u_{12} = 288 - 180 = 108$ ; la suite est croissante à partir du rang $4$ (pour $n ⩾ 4$ , $u_{n + 1} - u_{n} = 4 n - 13 > 0$ ), donc $12$ est le plus petit rang qui convient.
4. $P_{4}$ dit que la suite admet un minimum. Il est atteint pour $n$ =
D’après la question précédente sur $P_{2}$ , pour tout $m$ , $u_{m} ⩾ - 28 = u_{4}$ ( $u_{4} = 2 \times 16 - 60 = - 28$ ). Le même $n = 4$ convient pour tous les $m$ : l’ordre « il existe $n$ , pour tout $m$ » est respecté.
5. len([n for n in range(11) if 2*n**2 - 15*n < 0]) vaut
Valeurs : $u_{0} = 0$ , puis $u_{1}$ à $u_{7}$ strictement négatifs ( $u_{7} = 98 - 105 = - 7$ ), et $u_{8} = 8$ . La liste vaut [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. Le plus petit élément de [2*n**2 - 15*n for n in range(11)] est $- 28$ , obtenu pour $n = 4$ .

Problème 6 · Une famille de droites★★★Difficile

Dans un repère, pour chaque réel

m

, on note

D_{m}

la droite d’équation

y = (m - 1) x + 2 m + 3

1. Dans cette équation, $m$ est un paramètre ; $x$ et $y$ sont des variables. Pour $m = 3$ , le coefficient directeur de $D_{3}$ est
$m$ est fixé pour une droite donnée mais quelconque : il décrit la famille de droites. $x$ et $y$ sont les coordonnées d’un point de la droite. Pour $m = 3$ : $y = (3 - 1) x + 2 \times 3 + 3$ , soit $y = 2 x + 9$ , de coefficient directeur $2$ .
2. Démontrer qu’il existe un point $A$ qui appartient à toutes les droites $D_{m}$ . Ses coordonnées sont ( ; ).
Rédaction attendue. On cherche un point $(x; y)$ tel que, pour tout réel $m$ , $y = (m - 1) x + 2 m + 3$ . On regroupe les termes en $m$ : $y = m (x + 2) + 3 - x$ . Pour $x = - 2$ , on obtient $y = 0 \times m + 3 + 2 = 5$ , quel que soit $m$ . Donc $A (- 2; 5)$ appartient à toutes les droites $D_{m}$ : « il existe un point $A$ tel que, pour tout $m$ , $A \in D_{m}$ » est vraie. C’est le seul : $D_{1}$ (d’équation $y = 5$ ) et $D_{0}$ (d’équation $y = - x + 3$ ) ne se coupent qu’en ce point.
3. La proposition « pour tout point $M$ du plan, il existe un réel $m$ tel que $M \in D_{m}$ » est fausse. Avec $M (- 2; 0)$ , l’égalité $0 = (m - 1) \times (- 2) + 2 m + 3$ se simplifie en « $0 = c$ », avec $c$ =
Rédaction attendue. Pour tout réel $m$ , $(m - 1) \times (- 2) + 2 m + 3 = - 2 m + 2 + 2 m + 3 = 5$ . L’égalité devient $0 = 5$ , fausse pour toute valeur de $m$ : aucune droite $D_{m}$ ne passe par $M$ . Ce point est un contre-exemple, la proposition est fausse. On voit que l’ordre compte : « il existe $A$ tel que pour tout $m$ … » est vraie (question précédente), « pour tout $M$ , il existe $m$ … » est fausse.
4. « $m > 1$ » est une condition pour « $D_{m}$ coupe l’axe des ordonnées en un point d’ordonnée strictement positive ».
Rédaction attendue. $D_{m}$ coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $2 m + 3$ (pour $x = 0$ ). Or $2 m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - 1, 5$ . Si $m > 1$ , alors $m > - 1, 5$ : la condition est suffisante. Elle n’est pas nécessaire : pour $m = 0$ , l’ordonnée vaut $3 > 0$ alors que $m ⩽ 1$ .

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