Logique, raisonnement et listes Python

Complète par : nécessaire, suffisante, nécessaire et suffisante, ou ni l’une ni l’autre. Ici $n$ est un entier naturel et $x$ un réel.

1. « $n$ est multiple de $10$ » est une condition pour « $n$ est pair ».
   Si $n=10k$, alors $n=2\times (5k)$ est pair : la condition est suffisante. Elle n’est pas nécessaire : $4$ est pair sans être multiple de $10$.
2. « $x⩾0$ » est une condition pour que $\sqrt{x}$ soit défini.
   La racine carrée est définie exactement sur $[0;+\infty [$ : $\sqrt{x}$ existe si et seulement si $x⩾0$. C’est une équivalence.
3. « $x>1$ » est une condition pour « $x>5$ ».
   Si $x>5$, alors $x>1$ : pour avoir $x>5$, il faut $x>1$. Ce n’est pas suffisant : $x=2$ vérifie $x>1$ mais pas $x>5$.
4. « $n$ est multiple de $4$ » est une condition pour « $n$ est multiple de $6$ ».
   $4$ est multiple de $4$ mais pas de $6$ : pas suffisante. $6$ est multiple de $6$ mais pas de $4$ : pas nécessaire.
5. « $x^2=9$ » est une condition pour « $x=3$ ou $x=-3$ ».
   $x^2=9\iff x^2-9=0\iff (x-3)(x+3)=0\iff x=3$ ou $x=-3$ : les deux propositions sont équivalentes.

Chaque implication est vraie, mais sa réciproque est fausse. Donne le contre-exemple demandé à la réciproque.

1. $n$ entier naturel : « si $n$ est multiple de $12$, alors $n$ est multiple de $3$ ». Le plus petit entier naturel qui met la réciproque en défaut est
   Réciproque : « si $n$ est multiple de $3$, alors $n$ est multiple de $12$ ». $0$ est multiple de $12$ : il ne la met pas en défaut. $3$ est multiple de $3$ sans être multiple de $12$ : c’est le plus petit contre-exemple.
2. $n$ entier relatif : « si $n>7$, alors $n^2>49$ ». Le plus grand entier relatif qui met la réciproque en défaut est
   Réciproque : « si $n^2>49$, alors $n>7$ ». Un contre-exemple vérifie $n^2>49$ et $n⩽7$, donc $n⩽-8$ (pour $n=-7$, $n^2=49$ n’est pas strictement supérieur à $49$). Le plus grand est $-8$ : $(-8{)}^2=64$, $64>49$ et $-8⩽7$.
3. $n$ entier naturel non nul : « si l’écriture de $n$ se termine par $5$, alors $n$ est multiple de $5$ ». Le plus petit contre-exemple à la réciproque est
   Réciproque : « si $n$ est multiple de $5$, alors son écriture se termine par $5$ ». $5$ convient ; $10$ est multiple de $5$ mais se termine par $0$ : c’est le plus petit contre-exemple non nul.

Pour un réel $x$, on considère $P$ : « $x=3$ » et $Q$ : « $x^2-5x+6=0$ ».

1. Démontrer que $P$ est une condition suffisante, mais pas nécessaire, pour $Q$. L’autre réel qui vérifie $Q$ est
   Rédaction attendue. Si $x=3$, alors $x^2-5x+6=9-15+6=0$ : l’implication $P\Rightarrow Q$ est vraie, donc $P$ est une condition suffisante pour $Q$. Pour la réciproque, on factorise : pour tout réel $x$, $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$. Ainsi $Q\iff (x-2)(x-3)=0\iff x=2$ ou $x=3$. Pour $x=2$, $Q$ est vraie et $P$ est fausse : $Q\Rightarrow P$ est fausse, donc $P$ n’est pas une condition nécessaire pour $Q$.
2. Compléter : $Q$ est une condition pour $P$.
   $P\Rightarrow Q$ est vraie, donc $Q$ est nécessaire pour $P$. Elle n’est pas suffisante : $x=2$ vérifie $Q$ sans vérifier $P$.

Pour un réel $x$, on note $P$ : « $x^2<x$ », $Q$ : « $0<x<1$ » et $R$ : « $0<x<2$ ».

1. Démontrer que $P\iff Q$. Ainsi, $Q$ est pour $P$ une condition
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $x^2<x\iff x^2-x<0\iff x(x-1)<0$. Un produit de deux facteurs est strictement négatif si et seulement si les facteurs sont non nuls et de signes contraires. Comme $x-1<x$, cela revient à $x>0$ et $x-1<0$, c’est-à-dire $0<x<1$. Chaque étape est une équivalence : $P\iff Q$, donc $Q$ est une condition nécessaire et suffisante pour $P$.
2. $R$ est une condition pour $P$.
   Si $P$ est vraie, alors $0<x<1$ (question précédente), donc $0<x<2$ : $P\Rightarrow R$, et $R$ est nécessaire pour $P$. Pas suffisante : pour $x=1,5$, $R$ est vraie mais $x^2=2,25$ et $2,25>1,5$, donc $P$ est fausse.
3. « $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ » est une condition pour $P$.
   Pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $P$ est vraie, la condition est suffisante. Pas nécessaire : $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ vérifie aussi $P$, car ${\displaystyle \frac{1}{9}}<{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Complète la négation de chaque proposition : écris un symbole (<, >, ≤ ou ≥), « et », « ou », « pour tout » ou « il existe ».

1. « Pour tout réel $x$, $x^2⩾4x-4$ » a pour négation « il existe un réel $x$ tel que $x^2$ $4x-4$ ».
   « Pour tout » devient « il existe », et l’inégalité est niée : la négation de $⩾$ est $<$.
2. « Il existe un entier $n$ tel que $n^2=50$ » a pour négation «  entier $n$, $n^2\ne 50$ ».
   « Il existe » devient « pour tout » et l’égalité devient $\ne$ : pour tout entier $n$, $n^2\ne 50$ (c’est d’ailleurs vrai : $7^2=49$ et $8^2=64$).
3. « Pour tout réel $x$ de $[0;1]$, $x^3⩽x$ » a pour négation « il existe un réel $x$ de $[0;1]$ tel que $x^3$ $x$ ».
   L’ensemble $[0;1]$ ne change pas ; la négation de $⩽$ est $>$.
4. « $x⩾-1$ et $x<6$ » a pour négation « $x<-1$ $x⩾6$ ».
   non ($A$ et $B$) = (non $A$) ou (non $B$) : la négation de « $x⩾-1$ et $x<6$ » est « $x<-1$ ou $x⩾6$ », c’est-à-dire $x\notin [-1;6[$.

Chaque proposition est fausse. Pour les trois premières, donne le plus petit entier naturel $n$ qui la met en défaut ; pour la dernière, complète le contre-exemple.

1. « Pour tout entier naturel $n$, $2^n>n^2$ » :
   $n=0$ : $1>0$ ; $n=1$ : $2>1$ ; $n=2$ : $2^2$ et $n^2$ valent tous deux $4$, l’inégalité stricte est fausse. Le plus petit contre-exemple est $2$.
2. « Pour tout entier naturel $n$, $2^n+1$ est un nombre premier » :
   $2^0+1=2$, $2^1+1=3$ et $2^2+1=5$ sont premiers ; $2^3+1=9=3\times 3$ ne l’est pas.
3. « Pour tout entier naturel $n$, $n^2+20>9n$ » :
   Pour tout $n$, $n^2-9n+20=(n-4)(n-5)$. Pour $n⩽3$, les deux facteurs sont strictement négatifs, le produit est strictement positif et l’inégalité est vraie. Pour $n=4$, le produit est nul : $16+20=36=9\times 4$, l’inégalité stricte est fausse.
4. « Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ » : avec $a=9$ et $b=16$, le membre de gauche vaut $5$ et celui de droite vaut
   $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, tandis que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Comme $5\ne 7$, ce couple est un contre-exemple : la proposition est fausse.

Quantificateurs sous-entendus et ordre des quantificateurs ($x$ et $y$ désignent des réels).

1. « Si $x^2=16$, alors $x=4$ » cache un « pour tout réel $x$ ». Elle est fausse : son seul contre-exemple est
   $x^2=16\iff x=4$ ou $x=-4$. Pour $x=-4$, l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse : c’est le seul contre-exemple.
2. « Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ tel que $y^2=x+5$ » est fausse. Le plus grand entier $x$ qui la met en défaut est
   Pour $x$ fixé, un réel $y$ tel que $y^2=x+5$ existe si et seulement si $x+5⩾0$ : un carré est positif, et $y=\sqrt{x+5}$ convient. La proposition échoue donc exactement pour $x<-5$ ; le plus grand entier qui vérifie $x<-5$ est $-6$.
3. Démontrer que « il existe un réel $y$ tel que, pour tout réel $x$, $xy+y=0$ » est vraie. Le seul réel $y$ qui convient est
   Rédaction attendue. Avec $y=0$ : pour tout réel $x$, $x\times 0+0=0$. Ce $y$ convient pour tous les $x$, donc la proposition est vraie. C’est le seul : si un réel $y$ convient pour tout $x$, il convient en particulier pour $x=0$, ce qui donne $0\times y+y=0$, soit $y=0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=x^2-6x+10$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x)⩾1$. Ce minimum $1$ est atteint pour $x$ =
   Rédaction attendue. Forme canonique : pour tout réel $x$, $f(x)=x^2-6x+9+1=(x-3{)}^2+1$. Un carré est positif ou nul, donc $(x-3{)}^2⩾0$ et $f(x)⩾1$ pour tout réel $x$. L’égalité $f(x)=1$ a lieu si et seulement si $(x-3{)}^2=0$, c’est-à-dire $x=3$. Conséquence : « il existe un réel $x$ tel que $f(x)=0$ » est fausse, puisque $f(x)⩾1>0$ pour tout $x$.
2. On considère $P$ : « pour tout réel $M$, il existe un réel $x$ tel que $f(x)>M$ ». Sa négation, « il existe un réel $M$ tel que, pour tout réel $x$, $f(x)⩽M$ », signifie que $f$ est
   La négation dit qu’un même réel $M$ est supérieur ou égal à toutes les valeurs de $f$ : $f$ est majorée par $M$. La proposition $P$ dit donc que $f$ n’est pas majorée.
3. Démontrer que $P$ est vraie en posant, pour un réel $M$ donné, $x=3+|M|$. Pour $M=4$, $f(x)$ vaut
   Rédaction attendue. Soit $M$ un réel quelconque. Posons $x=3+|M|$. Alors $f(x)=(|M|{)}^2+1=M^2+1$. Or $M^2+1-M={(M-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$, donc $f(x)>M$. Pour tout réel $M$, on a trouvé un $x$ qui convient : $P$ est vraie, et sa négation est fausse ($f$ n’est pas majorée, sa courbe est une parabole tournée vers le haut). Pour $M=4$ : $x=7$ et $f(7)=49-42+10=17$, bien supérieur à $4$.

Donne le statut de la lettre indiquée : écris variable, inconnue ou paramètre.

1. Dans « résoudre $3t-7=11$ », la lettre $t$ est une
   On cherche la valeur de $t$ qui rend l’égalité vraie ($3t=18$, donc $t=6$) : $t$ est l’inconnue.
2. Dans « la fonction $g$ est définie sur $ℝ$ par $g(t)=t^2-1$ », la lettre $t$ est une
   $t$ parcourt $ℝ$ pour définir la fonction : c’est une variable. La même lettre peut changer de rôle d’une phrase à l’autre.
3. Dans « pour tout réel $a$, la droite d’équation $y=ax-2$ passe par le point de coordonnées $(0;-2)$ », la lettre $a$ est un
   $a$ est fixé pour chaque droite mais quelconque : il décrit toute une famille de droites. $x$ et $y$ sont les variables (les coordonnées d’un point de la droite).
4. Dans « $u_n=4n-1$ pour tout entier naturel $n$ », la lettre $n$ est une
   $n$ parcourt $\mathbb{N}$ et sert à définir la suite : c’est une variable (entière).

Ces égalités ne sont pas des identités : ce sont des équations d’inconnue $x$. Donne leur unique solution.

1. $x(x+2)=x^2+2$ : la solution est
   $x^2+2x=x^2+2\iff 2x=2\iff x=1$. Pour $x=0$, l’égalité est fausse ($0\ne 2$) : ce n’est pas une identité.
2. $(x-4{)}^2=x^2-16$ : la solution est
   $x^2-8x+16=x^2-16\iff -8x=-32\iff x=4$.
3. $(x+1)(x-3)=x^2-3$ : la solution est
   $(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$. L’équation devient $-2x-3=-3$, soit $x=0$.

Une identité au service du calcul mental.

1. Démontrer que, pour tout réel $n$, $(n+1{)}^2-n^2=2n+1$. En déduire ${51}^2-{50}^2$ =
   Rédaction attendue. Pour tout réel $n$ : $(n+1{)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$. L’égalité est vraie pour toutes les valeurs de $n$ : c’est une identité. Avec $n=50$ : ${51}^2-{50}^2=2\times 50+1=101$.
2. De même, sans calculatrice : ${1001}^2-{1000}^2$ =
   Avec $n=1000$ dans l’identité : $2\times 1000+1=2001$.
3. L’égalité $(n+1{)}^2=n^2+1$ n’est pas une identité : le seul réel $n$ qui la vérifie est
   $n^2+2n+1=n^2+1\iff 2n=0\iff n=0$. Pour $n=1$, elle est fausse : $4\ne 2$.

Pour un réel $m$ (le paramètre), on considère l’équation $(E_m)$ d’inconnue $x$ : $(m-3)x=m^2-9$.

1. Pour $m=5$, la solution de $(E_5)$ est
   $(5-3)x=25-9$, soit $2x=16$, donc $x=8$.
2. Pour $m=-3$, la solution de $(E_{-3})$ est
   $(-3-3)x=9-9$, soit $-6x=0$, donc $x=0$.
3. Démontrer, en discutant selon $m$, que $(E_m)$ a une seule solution sauf pour une valeur de $m$, pour laquelle tout réel est solution. Cette valeur est $m$ =
   Rédaction attendue. On factorise : $m^2-9=(m-3)(m+3)$. Cas $m\ne 3$ : $m-3\ne 0$, on peut diviser : $x={\displaystyle \frac{(m-3)(m+3)}{m-3}}=m+3$, unique solution (on retrouve $8$ pour $m=5$ et $0$ pour $m=-3$). Cas $m=3$ : l’équation devient $0\times x=0$, vraie pour tout réel $x$ : tout réel est solution. Conclusion : pour $m\ne 3$, $S=\{m+3\}$ ; pour $m=3$, $S=ℝ$.

Complète la contraposée de chaque implication ($n$ est un entier, $a$, $b$ et $x$ des réels). Écris un mot, un nombre ou un symbole (≤ s’écrit aussi <=).

1. « Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair. » Contraposée : « si $n$ est , alors $n^2$ est pair ».
   On nie la conclusion (« $n$ impair » devient « $n$ pair ») et on la met en hypothèse ; on nie l’hypothèse et on la met en conclusion.
2. « Si $ab\ne 0$, alors $a\ne 0$. » Contraposée : « si $a=0$, alors $ab$ vaut ».
   non ($a\ne 0$) est $a=0$ ; non ($ab\ne 0$) est $ab=0$. La contraposée « si $a=0$, alors $ab=0$ » est évidemment vraie, donc l’implication aussi.
3. « Si $x>2$, alors $3x-1>5$. » Contraposée : « si $3x-1⩽5$, alors $x$ $2$ ».
   La négation de $x>2$ est $x⩽2$ : la contraposée est « si $3x-1⩽5$, alors $x⩽2$ ».

On veut démontrer par contraposée : pour tout entier $n$, si $n^2+4n$ est impair, alors $n$ est impair. Écris tes réponses en fonction de $k$, sans signe × (par exemple 3k²+k).

1. Démontrer l’implication. Avec $n=2k$, on obtient $n^2+4n=2m$, où l’entier $m$ vaut
   Rédaction attendue. On raisonne par contraposée : montrons que si $n$ est pair, alors $n^2+4n$ est pair. Soit $n$ pair : $n=2k$ avec $k$ entier. Alors $n^2+4n=4k^2+8k=2(2k^2+4k)$, où $2k^2+4k$ est un entier : $n^2+4n$ est pair. La contraposée est vraie, donc l’implication « si $n^2+4n$ est impair, alors $n$ est impair » est vraie.
2. Pour $n=2k+1$, on a $n^2+4n=2p+1$, où l’entier $p$ vaut
   $(2k+1{)}^2+4(2k+1)=4k^2+4k+1+8k+4=4k^2+12k+5=2(2k^2+6k+2)+1$. Ainsi $n$ impair entraîne $n^2+4n$ impair : avec la question précédente, $n^2+4n$ est impair si et seulement si $n$ est impair.

On veut démontrer par l’absurde que, pour tout entier $n⩾1$, $\sqrt{n^2+1}$ n’est pas un entier.

1. Pour $n=4$ : $\sqrt{n^2+1}$ est la racine carrée de , qui est strictement comprise entre $4^2$ et $5^2$.
   $4^2+1=17$, et $16<17<25$, donc $4<\sqrt{17}<5$ : ce n’est pas un entier.
2. Démontrer le résultat. En supposant $\sqrt{n^2+1}=m$ avec $m$ entier, on aboutit à : $m$ est strictement compris entre $n$ et $n$ +
   Rédaction attendue. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe un entier $n⩾1$ tel que $m=\sqrt{n^2+1}$ soit un entier. Alors $m⩾0$ et $m^2=n^2+1$. D’une part $n^2<n^2+1$ ; d’autre part, comme $n⩾1$, $n^2+1<n^2+2n+1=(n+1{)}^2$. Donc $n^2<m^2<(n+1{)}^2$ et, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0;+\infty [$, $n<m<n+1$. Or aucun entier n’est strictement compris entre deux entiers consécutifs : contradiction. Donc $\sqrt{n^2+1}$ n’est pas un entier.
3. Le seul entier naturel $n$ pour lequel $\sqrt{n^2+1}$ est un entier est
   Pour $n=0$, $\sqrt{1}=1$ est un entier. La démonstration utilise $n⩾1$ pour écrire $n^2+1<(n+1{)}^2$ : pour $n=0$, on a l’égalité $1=1$.

Disjonction des cas. Soit $n$ un entier et $A=n^2+3n+1$.

1. Si $n$ est impair, $n=2k+1$ et $n+3$ s’écrit $2(k+c)$ avec $c$ =
   $n+3=2k+1+3=2k+4=2(k+2)$ : $n+3$ est pair.
2. Démontrer par disjonction des cas que $A$ a la même parité quel que soit $n$. Le reste de la division de $A$ par $2$ vaut toujours
   Rédaction attendue. On écrit $A=n(n+3)+1$. Cas 1 : $n$ pair. Le facteur $n$ est pair, donc $n(n+3)$ est pair. Cas 2 : $n$ impair. D’après la question précédente, $n+3$ est pair, donc $n(n+3)$ est pair. Les deux cas couvrent tous les entiers : $n(n+3)$ est toujours pair, donc $A=n(n+3)+1$ est toujours impair. Le reste de sa division par $2$ vaut $1$.
3. En déduire par l’absurde que l’équation $x^2+3x+1=0$ n’a aucune solution entière : si un entier $n$ en était solution, $A$ vaudrait , un nombre pair.
   Rédaction attendue. Supposons qu’un entier $n$ vérifie $n^2+3n+1=0$. Alors $A=0$, qui est pair : c’est contraire à la question précédente ($A$ est toujours impair). Donc l’équation n’a aucune solution entière.

$A=\{2;4;6\}$ et $B=\{\text{a};\text{b};\text{c};\text{d};\text{e}\}$.

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\times B)$ vaut
   $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\times B)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\times \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)=3\times 5=15$.
2. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A^2)$ vaut
   $A^2=A\times A$ : $3\times 3=9$ couples, de $(2;2)$ à $(6;6)$.
3. Nombre de couples $(x;y)$ de $A^2$ tels que $x<y$ :
   $(2;4)$, $(2;6)$ et $(4;6)$. Le couple $(4;2)$ ne convient pas : l’ordre compte.

On note $A=\{n\in \mathbb{N}\mid n\text{ divise }18\}$ et $B=\{n\in \mathbb{N}\mid n⩽20\text{ et }n\text{ impair}\}$.

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$ vaut
   $18=1\times 18=2\times 9=3\times 6$ : $A=\{1;2;3;6;9;18\}$, ensemble à $6$ éléments. Par exemple $4\notin A$, car $18=4\times 4+2$.
2. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B)$ vaut
   Les éléments de $A$ qui sont impairs (et inférieurs ou égaux à $20$) : $A\cap B=\{1;3;9\}$.
3. L’inclusion $A\subset B$ est fausse : le plus petit élément de $A$ qui n’appartient pas à $B$ est
   $2\in A$ et $2\notin B$ (il est pair) : il existe un élément de $A$ hors de $B$, donc $A\not\subset B$. En revanche $\{3;6;9\}\subset A$.
4. Somme des éléments du complémentaire de $A\cap B$ dans $A$ :
   Ce complémentaire contient les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $A\cap B$ : $\{2;6;18\}$, les diviseurs pairs de $18$. Somme : $2+6+18=26$.

Un code d’accès est formé d’une lettre de $L=\{\text{A};\text{B};\text{C};\text{D};\text{E}\}$ suivie d’un chiffre de $C=\{0;1;\dots ;9\}$.

1. Justifier que l’ensemble des codes est $L\times C$, puis donner le nombre de codes :
   Rédaction attendue. Un code est une lettre puis un chiffre, dans cet ordre : c’est un couple (lettre ; chiffre), avec la lettre dans $L$ et le chiffre dans $C$. L’ensemble des codes est donc $L\times C$. Pour chacune des $5$ lettres, il y a $10$ chiffres possibles (arbre à $5$ branches, puis $10$ branches au bout de chacune) : $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(L\times C)=5\times 10=50$.
2. Nombre de codes formés d’une voyelle et d’un chiffre impair :
   Voyelles : $\{\text{A};\text{E}\}$ ; chiffres impairs : $\{1;3;5;7;9\}$. Produit cartésien : $2\times 5=10$ codes.
3. Nombre de codes dont la lettre n’est pas A ou dont le chiffre n’est pas 0 :
   La condition est la négation de « la lettre est A et le chiffre est 0 », qui ne correspond qu’au code (A ; 0). Tous les autres conviennent : $50-1=49$.

On lance deux fois un dé à six faces. Un résultat est un couple $(a;b)$ de $E^2$, avec $E=\{1;2;3;4;5;6\}$.

1. Nombre de couples tels que $a+b=9$ :
   $(3;6)$, $(4;5)$, $(5;4)$ et $(6;3)$ : $(4;5)$ et $(5;4)$ sont deux résultats différents.
2. Nombre de couples tels que $a\times b$ soit impair :
   Un produit d’entiers est impair si et seulement si les deux facteurs sont impairs : $a$ et $b$ dans $\{1;3;5\}$, soit $3\times 3=9$ couples.
3. Démontrer que le nombre de couples tels que $a<b$ est
   Rédaction attendue. $E^2$ contient $6\times 6=36$ couples. Parmi eux, $6$ vérifient $a=b$, de $(1;1)$ à $(6;6)$ ; il en reste $30$. L’échange $(a;b)\mapsto (b;a)$ associe à chaque couple tel que $a<b$ un unique couple tel que $a>b$, et inversement : ces deux groupes ont le même nombre d’éléments. Il y a donc $30÷2=15$ couples tels que $a<b$.

On pose $A=\{x\in ℝ\mid x^2-11x+28⩽0\}$ et $B=\{x\in ℝ\mid |x-5|<4\}$.

1. Le plus petit élément de $A$ est
   $\Delta =(-11{)}^2-4\times 1\times 28=121-112=9>0$ : deux racines, $x_1={\displaystyle \frac{11-3}{2}}=4$ et $x_2={\displaystyle \frac{11+3}{2}}=7$. Le coefficient de $x^2$ est $1>0$ : le trinôme est négatif ou nul entre ses racines, donc $A=[4;7]$, de plus petit élément $4$.
2. Le plus grand élément de $A$ est
   $A=[4;7]$ (question précédente) : son plus grand élément est $7$. Pour $B$ : $|x-5|<4$ signifie que la distance de $x$ à $5$ est strictement inférieure à $4$, soit $-4<x-5<4$, c’est-à-dire $1<x<9$ : $B=]1;9[$.
3. Démontrer que $A\subset B$, puis traduire cette inclusion par une implication. Le plus petit entier de $B$ qui n’est pas dans $A$ est
   Rédaction attendue. D’après les questions précédentes, $A=[4;7]$ et $B=]1;9[$. Soit $x\in A$ : $4⩽x⩽7$, donc $1<4⩽x⩽7<9$ et $x\in B$. Tout élément de $A$ est dans $B$ : $A\subset B$. Cette inclusion se traduit par l’implication : pour tout réel $x$, si $x^2-11x+28⩽0$, alors $|x-5|<4$. La réciproque est fausse : pour $x=2$, $|2-5|=3<4$, donc $2\in B$, mais $2^2-11\times 2+28=10>0$, donc $2\notin A$. Les entiers de $B$ sont $2,3,\dots ,8$ ; le plus petit qui n’est pas dans $A$ est $2$. Ainsi « $x^2-11x+28⩽0$ » est une condition suffisante, non nécessaire, pour « $|x-5|<4$ ».

On exécute le script suivant.

L = [4, 7, 1, 9]
S = 0
for x in L:
    if x % 2 == 1:
        S = S + x

1. L[1] vaut
   Les indices commencent à $0$ : L[0] vaut $4$, L[1], le deuxième élément, vaut $7$. Les indices valides vont de $0$ à $3$ : L[4] provoquerait une erreur.
2. len(L) vaut
   La liste a $4$ éléments.
3. À la fin du script, S vaut
   La boucle ajoute à S les éléments impairs (reste $1$ dans la division par $2$) : $4$ est ignoré ; $7$ donne $S=7$ ; $1$ donne $S=8$ ; $9$ donne $S=17$.
4. M = [2*x for x in L if x > 3] : M[1] vaut
   On garde les éléments strictement supérieurs à $3$, soit $4$, $7$ et $9$, et on les double : M = [8, 14, 18], donc M[1] vaut $14$.

Listes en compréhension : donne le nombre demandé.

1. A = [k**2 for k in range(1, 8)] : len(A) vaut
   range(1, 8) donne $1$, $2$, …, $7$ : sept valeurs, donc sept carrés, [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49].
2. Avec la même liste A, A[2] vaut
   A[2] est le troisième élément, obtenu pour $k=3$ : $3^2=9$.
3. B = [n for n in range(30) if n % 7 == 0] : len(B) vaut
   Les multiples de $7$ entre $0$ et $29$ : [0, 7, 14, 21, 28]. Attention, $0$ est un multiple de $7$.
4. C = [x for x in range(-10, 11) if x*x > 50] : len(C) vaut
   $x$ va de $-10$ à $10$ ; $x^2>50$ pour $|x|⩾8$ (car $7^2=49$) : [-10, -9, -8, 8, 9, 10].

On exécute le programme suivant.

L = [4, 11, 6, 15, 9, 20]
M = []
for x in L:
    if x % 2 == 1 or x > 12:
        M.append(x)

1. len(M) vaut
   On garde les éléments impairs ou strictement supérieurs à $12$ : $11$, $15$, $9$, $20$ (ni $4$ ni $6$). Donc M = [11, 15, 9, 20].
2. M[1] vaut
   M[0] vaut $11$, M[1] vaut $15$.
3. Justifier que M s’obtient aussi par une liste en compréhension, puis donner la somme de ses éléments :
   Rédaction attendue. La boucle parcourt L et ajoute à la fin de M chaque élément qui vérifie la condition, dans l’ordre : c’est exactement M = [x for x in L if x % 2 == 1 or x > 12]. Élément par élément : $4$ pair et $4⩽12$, non ; $11$ impair, oui ; $6$ non ; $15$ oui ; $9$ oui ; $20>12$, oui. Somme : $11+15+9+20=55$.

Conjecture : « pour tout entier naturel $n$, $n^2+n+41$ est un nombre premier ». Avec une fonction premier(p) qui renvoie True si p est premier et False sinon, on exécute :

R = [n for n in range(50)
     if not premier(n**2 + n + 41)]

1. Justifier, sans calculatrice, que $41$ est un contre-exemple : ${41}^2+41+41$ est égal à $41$ multiplié par
   Rédaction attendue. On factorise par $41$ : ${41}^2+41+41=41\times (41+1+1)=41\times 43$. C’est un produit de deux entiers supérieurs à $1$ : ce nombre n’est pas premier. Un contre-exemple suffit : la conjecture « pour tout entier naturel $n$ » est fausse.
2. Pour $n=40$, le nombre $n^2+n+41$ est le carré de
   Pour $n=40$ : $40\times 40+40+41=40\times 41+41=41\times 41$, soit ${41}^2$ : ce n’est pas un nombre premier.
3. Nombre d’entiers $n$ de $0$ à $49$ pour lesquels $n^2+n+41$ est premier :
   range(50) donne $50$ entiers et R contient les $4$ qui donnent un nombre non premier : $50-4=46$. Ces $46$ exemples ne démontraient pas la conjecture : un seul contre-exemple la réfute.