Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste
Quantificateurs, connecteurs logiques, ensembles et méthodes de raisonnement — outils transversaux de la Spé Maths 1re
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
La valeur de vérité de «$3 \gt 1$ et $5 \lt 2$» est :
- A. Vrai
- B. Faux
- C. Indéterminée
- D. Ni vrai ni faux
Réponse
B. Faux — La conjonction (ET) est vraie seulement si les deux propositions sont vraies. Ici $5\lt 2$ est fausse, donc la conjonction est fausse.
La valeur de vérité de «$3 \gt 1$ ou $5 \lt 2$» est :
- A. Faux
- B. Vrai
- C. Indéterminée
- D. Variable
Réponse
B. Vrai — La disjonction (OU) est vraie si au moins une des propositions est vraie. Ici $3\gt 1$ est vraie.
La négation de «$x \gt 0$» est :
- A. $x \lt 0$
- B. $x \leq 0$
- C. $x \geq 0$
- D. $x = 0$
Réponse
B. $x \leq 0$ — La négation de «$x \gt 0$» est «$x \leq 0$» (ni strictement positif).
L'ensemble $A \cap B$ représente :
- A. La réunion de $A$ et $B$
- B. Les éléments communs à $A$ et $B$
- C. Le complémentaire de $A$
- D. Les éléments de $A$ non dans $B$
Réponse
B. Les éléments communs à $A$ et $B$ — L'intersection $A \cap B$ contient les éléments appartenant à la fois à $A$ et à $B$.
Le symbole $\in$ signifie :
- A. inclus dans
- B. appartient à
- C. intersection
- D. implication
Réponse
B. appartient à — $x \in A$ signifie «$x$ appartient à l'ensemble $A$».
Laquelle de ces propositions est fausse ?
- A. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
- B. $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
- C. $\mathbb{Q} \subset \mathbb{N}$
- D. $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Réponse
C. $\mathbb{Q} \subset \mathbb{N}$ — $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{N}$ : par exemple $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{2} \notin \mathbb{N}$.
La réunion $[0;2] \cup [1;4]$ est :
- A. $[0;4]$
- B. $[1;2]$
- C. $[0;2]$
- D. $[1;4]$
Réponse
A. $[0;4]$ — $[0;2] \cup [1;4]$ contient tous les réels de $0$ à $4$.
L'ensemble vide $\emptyset$ est inclus dans :
- A. Aucun ensemble
- B. Tous les ensembles
- C. Seulement $\mathbb{N}$
- D. Seulement les ensembles finis
Réponse
B. Tous les ensembles — L'ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble.
L'implication $P \Rightarrow Q$ est fausse uniquement quand :
- A. $P$ et $Q$ sont toutes deux fausses
- B. $P$ est vraie et $Q$ est fausse
- C. $P$ est fausse et $Q$ est vraie
- D. $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies
Réponse
B. $P$ est vraie et $Q$ est fausse — $P \Rightarrow Q$ est fausse seulement dans le cas où l'hypothèse $P$ est vraie mais la conclusion $Q$ est fausse.
La proposition «$2 \in \{1, 2, 3\}$» est :
- A. Fausse
- B. Vraie
- C. Indéterminée
- D. Un ensemble
Réponse
B. Vraie — $2$ est bien un élément de $\{1,2,3\}$, donc la proposition est vraie.
La différence $A \setminus B$ contient :
- A. Les éléments de $B$ non dans $A$
- B. Les éléments de $A$ non dans $B$
- C. Les éléments communs à $A$ et $B$
- D. Tous les éléments de $A$ et $B$
Réponse
B. Les éléments de $A$ non dans $B$ — $A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}$ : les éléments de $A$ absents de $B$.
Parmi ces énoncés, lequel est une proposition ?
- A. $x + 1 = 0$ (avec $x$ libre)
- B. Résoudre $x^2=4$
- C. $2 + 3 = 5$
- D. Combien vaut $3^2$ ?
Réponse
C. $2 + 3 = 5$ — «$2+3=5$» est une proposition car on peut lui assigner une valeur de vérité (ici vraie). Les autres sont soit des questions, soit des prédicats.
Niveau moyen — 12 questions
La contraposée de «si $n$ est pair, alors $n+1$ est impair» est :
- A. si $n+1$ est impair, alors $n$ est pair
- B. si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair
- C. si $n+1$ est pair, alors $n$ est impair
- D. si $n$ est pair, alors $n+1$ est pair
Réponse
C. si $n+1$ est pair, alors $n$ est impair — La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\neg Q \Rightarrow \neg P$. Ici : «si $n+1$ est pair (¬Q), alors $n$ est impair (¬P)».
La négation de «$\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 \geq 0$» est :
- A. $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 \lt 0$
- B. $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 \lt 0$
- C. $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 \gt 0$
- D. $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 \geq 0$
Réponse
B. $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 \lt 0$ — La négation de $\forall x,\, P(x)$ est $\exists x,\, \neg P(x)$. Ici $\neg(x^2\geq 0)$ est $x^2 \lt 0$.
La négation de «$\exists x \in \mathbb{R},\, x \lt 0$» est :
- A. $\exists x \in \mathbb{R},\, x \geq 0$
- B. $\forall x \in \mathbb{R},\, x \geq 0$
- C. $\forall x \in \mathbb{R},\, x \gt 0$
- D. $\exists x \in \mathbb{R},\, x \gt 0$
Réponse
B. $\forall x \in \mathbb{R},\, x \geq 0$ — La négation de $\exists x,\, P(x)$ est $\forall x,\, \neg P(x)$. Ici $\neg(x\lt 0)$ est $x\geq 0$.
L'intersection $[0;3] \cap [2;5]$ vaut :
- A. $[0;5]$
- B. $[2;3]$
- C. $[0;2]$
- D. $[3;5]$
Réponse
B. $[2;3]$ — Les valeurs communes à $[0;3]$ et $[2;5]$ sont les réels entre $2$ et $3$, soit $[2;3]$.
Laquelle de ces propositions est vraie ?
- A. $\forall x \in \mathbb{R},\, x \gt 0$
- B. $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2 = -1$
- C. $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 + 1 \gt 0$
- D. $\exists x \in \mathbb{R},\, x + 1 \lt x$
Réponse
C. $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 + 1 \gt 0$ — $x^2 \geq 0$ donc $x^2+1 \geq 1 \gt 0$ pour tout réel $x$. Les autres propositions sont fausses.
La loi de De Morgan donne $\neg(P \lor Q) \equiv$ :
- A. $\neg P \land Q$
- B. $P \land \neg Q$
- C. $\neg P \land \neg Q$
- D. $\neg P \lor \neg Q$
Réponse
C. $\neg P \land \neg Q$ — Loi de De Morgan : $\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$.
Pour montrer que $A \subset B$, on prend :
- A. Un élément quelconque de $B$ et on montre qu'il est dans $A$
- B. Un élément quelconque de $A$ et on montre qu'il est dans $B$
- C. Tous les éléments de $A$ explicitement
- D. Un contre-exemple
Réponse
B. Un élément quelconque de $A$ et on montre qu'il est dans $B$ — Pour prouver $A \subset B$, on part d'un élément quelconque $x \in A$ et on démontre $x \in B$.
Le complémentaire de $]-\infty;1[$ dans $\mathbb{R}$ est :
- A. $]1;+\infty[$
- B. $[1;+\infty[$
- C. $]-\infty;1]$
- D. $\{1\}$
Réponse
B. $[1;+\infty[$ — Le complémentaire de $]-\infty;1[$ est l'ensemble des réels $\geq 1$, soit $[1;+\infty[$.
$P \Leftrightarrow Q$ signifie :
- A. $P \Rightarrow Q$ seulement
- B. $Q \Rightarrow P$ seulement
- C. $(P \Rightarrow Q)$ et $(Q \Rightarrow P)$
- D. $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies
Réponse
C. $(P \Rightarrow Q)$ et $(Q \Rightarrow P)$ — L'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ est vraie quand $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité, ce qui équivaut à avoir les deux implications.
La proposition $\exists! x \in \mathbb{R},\, 2x = 4$ est :
- A. Fausse, car aucun réel ne convient
- B. Vraie, avec $x = 2$ unique solution
- C. Vraie, mais la solution n'est pas unique
- D. Indéterminée
Réponse
B. Vraie, avec $x = 2$ unique solution — $2x=4$ donne $x=2$, solution unique. La proposition «il existe un unique $x$» est vraie.
Quelle est la négation de $P \Rightarrow Q$ ?
- A. $\neg P \Rightarrow \neg Q$
- B. $P \land \neg Q$
- C. $\neg P \lor Q$
- D. $\neg P \land \neg Q$
Réponse
B. $P \land \neg Q$ — $\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$ : l'implication est niée quand $P$ est vraie et $Q$ fausse.
La réunion $]-\infty;0] \cup [0;+\infty[$ est :
- A. $\{0\}$
- B. $]-\infty;+\infty[ = \mathbb{R}$
- C. $\emptyset$
- D. $]-\infty;0[$
Réponse
B. $]-\infty;+\infty[ = \mathbb{R}$ — Ces deux ensembles se rejoignent en $0$ et couvrent tous les réels : leur réunion est $\mathbb{R}$.
Niveau difficile — 12 questions
Pour réfuter «$\forall n \in \mathbb{N},\, 2^n \gt n$», que fait-on ?
- A. On prouve la contraposée
- B. On cherche un contre-exemple
- C. On raisonne par l'absurde
- D. On fait une disjonction de cas
Réponse
B. On cherche un contre-exemple — Pour réfuter une proposition universelle, on cherche un contre-exemple. (Ici la proposition est en fait vraie, mais la méthode de réfutation serait le contre-exemple.)
Soit $P$ : «$ab = 0$» et $Q$ : «$a = 0$ ou $b = 0$» (avec $a,b \in \mathbb{R}$). L'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ est :
- A. Fausse
- B. Vraie
- C. Vraie seulement si $a = 0$
- D. Vraie seulement dans $\mathbb{N}$
Réponse
B. Vraie — Dans $\mathbb{R}$, un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. C'est la règle du produit nul.
La contraposée de «si $a^2 + b^2 = 0$ alors $a = 0$ et $b = 0$» est :
- A. si $a \neq 0$ ou $b \neq 0$ alors $a^2+b^2 \neq 0$
- B. si $a = 0$ et $b = 0$ alors $a^2+b^2 = 0$
- C. si $a \neq 0$ et $b \neq 0$ alors $a^2+b^2 \neq 0$
- D. si $a^2+b^2 \neq 0$ alors $a \neq 0$ et $b \neq 0$
Réponse
A. si $a \neq 0$ ou $b \neq 0$ alors $a^2+b^2 \neq 0$ — La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\neg Q \Rightarrow \neg P$. Ici $\neg Q$ = «$a \neq 0$ ou $b \neq 0$» (De Morgan) et $\neg P$ = «$a^2+b^2 \neq 0$».
On raisonne par l'absurde pour montrer «$\sqrt{2}$ est irrationnel». L'hypothèse de départ est :
- A. $\sqrt{2}$ est irrationnel
- B. $\sqrt{2}$ est rationnel
- C. $\sqrt{2} \gt 1$
- D. $\sqrt{2}^2 = 2$
Réponse
B. $\sqrt{2}$ est rationnel — Dans un raisonnement par l'absurde, on suppose la négation de ce qu'on veut prouver. Ici, on suppose $\sqrt{2}$ rationnel.
La négation de «$\forall x \in \mathbb{R},\, \forall y \in \mathbb{R},\, x + y \gt 0$» est :
- A. $\exists x \in \mathbb{R},\, \exists y \in \mathbb{R},\, x + y \leq 0$
- B. $\forall x \in \mathbb{R},\, \exists y \in \mathbb{R},\, x + y \leq 0$
- C. $\exists x \in \mathbb{R},\, \forall y \in \mathbb{R},\, x + y \gt 0$
- D. $\forall x,\,\forall y,\, x+y \lt 0$
Réponse
A. $\exists x \in \mathbb{R},\, \exists y \in \mathbb{R},\, x + y \leq 0$ — La négation porte sur les deux quantificateurs : $\exists x,\, \exists y,\, \neg(x+y\gt 0)$, c'est-à-dire $x+y \leq 0$.
Laquelle de ces propositions est équivalente à $P \Rightarrow Q$ ?
- A. $Q \Rightarrow P$
- B. $\neg P \Rightarrow \neg Q$
- C. $\neg Q \Rightarrow \neg P$
- D. $P \land \neg Q$
Réponse
C. $\neg Q \Rightarrow \neg P$ — Une implication est toujours équivalente à sa contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$, mais pas à sa réciproque $Q \Rightarrow P$.
On veut montrer que l'équation $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle. La méthode la plus directe est :
- A. Raisonnement par l'absurde
- B. Contre-exemple
- C. Raisonnement direct ($x^2 \geq 0$)
- D. Disjonction de cas
Réponse
C. Raisonnement direct ($x^2 \geq 0$) — On sait que $x^2 \geq 0$ pour tout réel $x$, donc $x^2 \neq -1$. Le raisonnement direct suffit.
Lesquelles de ces relations sont vraies ? $\complement(A \cap B) = ?$
- A. $\complement A \cap \complement B$
- B. $\complement A \cup \complement B$
- C. $A \cup B$
- D. $A \cap B$
Réponse
B. $\complement A \cup \complement B$ — Loi de De Morgan pour les ensembles : $\complement(A \cap B) = \complement A \cup \complement B$.
La proposition «$\exists! x \in \mathbb{R},\, x^2 = 1$» est :
- A. Vraie, avec $x = 1$
- B. Fausse, car $x = 1$ et $x = -1$ conviennent tous deux
- C. Vraie, avec $x = -1$
- D. Fausse, car aucun réel ne convient
Réponse
B. Fausse, car $x = 1$ et $x = -1$ conviennent tous deux — $x^2 = 1$ a deux solutions : $x=1$ et $x=-1$. L'existence est vraie mais pas l'unicité.
Pour montrer $A = B$ (deux ensembles), on démontre :
- A. Uniquement $A \subset B$
- B. Uniquement $B \subset A$
- C. $A \subset B$ et $B \subset A$
- D. Un élément de $A$ est dans $B$
Réponse
C. $A \subset B$ et $B \subset A$ — Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l'autre : $A \subset B$ et $B \subset A$.
La proposition $\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$ est :
- A. Fausse
- B. Vraie
- C. Vraie seulement si $P$ est vraie
- D. Dépend de $Q$
Réponse
B. Vraie — C'est une tautologie logique : l'implication est fausse exactement quand la prémisse est vraie et la conclusion est fausse.
On veut montrer que $\sqrt{5}$ est irrationnel. La méthode classique est :
- A. Raisonnement direct
- B. Disjonction de cas
- C. Contre-exemple
- D. Raisonnement par l'absurde
Réponse
D. Raisonnement par l'absurde — On suppose par l'absurde que $\sqrt{5} = p/q$ irréductible et on obtient que $p$ et $q$ sont tous deux multiples de $5$, contradiction.
Cours particuliers de spécialité mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs