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Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

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Logique, raisonnement et listes Python

Condition nécessaire ou suffisante, quantificateurs et négation, statut des lettres, contraposée, absurde et disjonction des cas, produit cartésien, listes Python.

À propos de cette page
Un QCM de logique pour la 1re spécialité en trois niveaux de douze questions : négations, contraposée et réciproque, conditions nécessaires ou suffisantes, ordre des quantificateurs, statut des lettres, couples et produit cartésien, listes Python. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Le symbole ∈ se lit :

    • A. appartient à
    • B. est inclus dans
    • C. est égal à
    • D. est l’intersection de
    Réponse

    A. appartient à — x ∈ E signifie « x appartient à E » : x est un élément de l’ensemble E. L’inclusion, entre deux ensembles, se note ⊂.

  2. La négation de « pour tout x de E, P(x) » est :

    • A. pour tout x de E, non P(x)
    • B. il existe x dans E tel que non P(x)
    • C. il existe x dans E tel que P(x)
    • D. pour tout x hors de E, P(x)
    Réponse

    B. il existe x dans E tel que non P(x) — On change le quantificateur (« pour tout » devient « il existe ») et on nie la propriété ; l’ensemble E ne change pas.

  3. La proposition « P ou Q » est fausse lorsque :

    • A. P et Q sont toutes les deux vraies
    • B. exactement l’une des deux est vraie
    • C. P et Q sont toutes les deux fausses
    • D. P est vraie et Q est fausse
    Réponse

    C. P et Q sont toutes les deux fausses — Le « ou » est inclusif : « P ou Q » est vraie dès que l’une au moins est vraie, donc fausse seulement si P et Q sont toutes les deux fausses.

  4. La contraposée de « P ⇒ Q » est :

    • A. Q ⇒ P
    • B. non P ⇒ non Q
    • C. P ⇔ Q
    • D. non Q ⇒ non P
    Réponse

    D. non Q ⇒ non P — La contraposée échange hypothèse et conclusion en les niant toutes les deux : non Q ⇒ non P. Q ⇒ P est la réciproque.

  5. En Python, len([5, 12, 0]) renvoie :

    • A. 3
    • B. 17
    • C. 12
    • D. 2
    Réponse

    A. 3 — len renvoie le nombre d’éléments de la liste, ici 3, et non leur somme ni le plus grand.

  6. Pour x réel, l’implication « si x = −6, alors x² = 36 » est :

    • A. fausse, car le nombre −6 est négatif
    • B. vraie, mais sa réciproque est fausse
    • C. vraie, et sa réciproque aussi
    • D. une équivalence
    Réponse

    B. vraie, mais sa réciproque est fausse — (−6)² = 36 : l’implication est vraie. Sa réciproque « si x² = 36, alors x = −6 » est fausse, car x = 6 vérifie x² = 36.

  7. Dans « résoudre 4y + 1 = 9 », la lettre y est :

    • A. une variable
    • B. un paramètre
    • C. une inconnue
    • D. un indice
    Réponse

    C. une inconnue — On cherche la valeur de y qui rend l’égalité vraie (y = 2) : y est une inconnue.

  8. L’égalité (x + 2)² = x² + 4x + 4 est :

    • A. une équation dont la seule solution est 0
    • B. vraie seulement pour x positif
    • C. fausse pour tout réel x
    • D. une identité, vraie pour tout réel x
    Réponse

    D. une identité, vraie pour tout réel x — En développant, (x + 2)² = x² + 4x + 4 pour tout réel x : c’est une identité (identité remarquable).

  9. Card({0 ; 1 ; 2 ; 3} × {x ; y}) vaut :

    • A. 8
    • B. 6
    • C. 16
    • D. 4
    Réponse

    A. 8 — Card(A × B) = Card(A) × Card(B) : 4 éléments fois 2 éléments, soit 8 couples.

  10. Pour montrer que « pour tout réel x, P(x) » est fausse, il suffit :

    • A. de vérifier P(x) pour plusieurs réels x
    • B. d’un réel x pour lequel P(x) est fausse
    • C. d’un réel x pour lequel P(x) est vraie
    • D. de constater que P(0) est fausse ou vraie
    Réponse

    B. d’un réel x pour lequel P(x) est fausse — Un seul contre-exemple suffit à réfuter un « pour tout » ; des exemples où P(x) est vraie ne prouvent rien.

  11. Après L = [10, 20, 30] puis L.append(40), L[3] vaut :

    • A. 30
    • B. une erreur
    • C. 40
    • D. 4
    Réponse

    C. 40 — Après l’ajout, la liste est [10, 20, 30, 40] ; l’indice 3 désigne le quatrième élément, 40.

  12. Les couples (3 ; 1) et (1 ; 3) :

    • A. sont égaux : mêmes éléments
    • B. sont égaux à l’ensemble {1 ; 3}
    • C. n’appartiennent pas à ℕ²
    • D. sont différents, car l’ordre compte
    Réponse

    D. sont différents, car l’ordre compte — Dans un couple, l’ordre compte : (3 ; 1) et (1 ; 3) sont deux éléments différents de ℕ², alors que les ensembles {1 ; 3} et {3 ; 1} sont égaux.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. « n est pair » est, pour « n est multiple de 8 », une condition :

    • A. nécessaire mais pas suffisante
    • B. suffisante mais pas nécessaire
    • C. nécessaire et suffisante
    • D. ni nécessaire ni suffisante
    Réponse

    A. nécessaire mais pas suffisante — Multiple de 8 ⇒ pair : être pair est nécessaire. Mais 10 est pair sans être multiple de 8 : ce n’est pas suffisant.

  2. La négation de « x ≤ 2 ou x > 9 » est :

    • A. x > 2 ou x ≤ 9
    • B. x > 2 et x ≤ 9
    • C. x ≥ 2 et x < 9
    • D. x < 2 et x ≥ 9
    Réponse

    B. x > 2 et x ≤ 9 — non (A ou B) = (non A) et (non B), et chaque inégalité est niée : x > 2 et x ≤ 9.

  3. La proposition « pour tout réel x, il existe un réel y tel que y = x + 12 » est :

    • A. fausse, car y dépend de x
    • B. fausse, car « il existe » doit précéder « pour tout »
    • C. vraie : pour chaque x, y = x + 12 convient
    • D. vraie seulement pour x > 0
    Réponse

    C. vraie : pour chaque x, y = x + 12 convient — Le « il existe y » vient après le « pour tout x » : y a le droit de dépendre de x, et y = x + 12 est un réel pour tout x.

  4. Un contre-exemple à « pour tout entier naturel n, n² ≥ 2n » est :

    • A. n = 5
    • B. n = 2
    • C. n = 0
    • D. n = 1
    Réponse

    D. n = 1 — Pour n = 1 : 1² = 1, et 1 < 2. Pour n = 0 et n = 2 il y a égalité, pour n = 5 l’inégalité est vraie (25 ≥ 10).

  5. [n for n in range(4, 9) if n % 2 == 0] renvoie :

    • A. [4, 6, 8]
    • B. [4, 6, 8, 10]
    • C. [6, 8]
    • D. [5, 7]
    Réponse

    A. [4, 6, 8] — range(4, 9) parcourt 4, 5, 6, 7, 8 (la borne 9 est exclue) ; on garde les nombres pairs : 4, 6 et 8.

  6. La réciproque de « si n est multiple de 20, alors n est multiple de 4 » est :

    • A. « non multiple de 4 ⇒ non multiple de 20 », vraie
    • B. « multiple de 4 ⇒ multiple de 20 », fausse
    • C. « multiple de 4 ⇒ multiple de 20 », vraie
    • D. « non multiple de 20 ⇒ non multiple de 4 », fausse
    Réponse

    B. « multiple de 4 ⇒ multiple de 20 », fausse — La réciproque échange hypothèse et conclusion sans les nier ; elle est fausse : 12 est multiple de 4 mais pas de 20. L’implication niée des deux côtés est la contraposée.

  7. Dans « pour tout réel a, a² − 2a + 1 ≥ 0 », la lettre a est :

    • A. une inconnue
    • B. un paramètre
    • C. une variable
    • D. une constante
    Réponse

    C. une variable — a parcourt ℝ dans une propriété « pour tout » : c’est une variable. On ne cherche pas a, et l’inégalité est vraie pour tout a, car a² − 2a + 1 = (a − 1)².

  8. La négation de « tous les nombres de la liste L sont pairs » est :

    • A. aucun nombre de L n’est pair
    • B. tous les nombres de L sont impairs
    • C. au moins un nombre de L est pair
    • D. au moins un nombre de L est impair
    Réponse

    D. au moins un nombre de L est impair — « Tous » devient « au moins un » et « pair » devient « impair » : il suffit d’un nombre impair dans L pour que la phrase soit fausse.

  9. Pour démontrer « si x² n’est pas rationnel, alors x n’est pas rationnel », le plus direct est :

    • A. la contraposée : si x est rationnel, x² l’est aussi
    • B. un contre-exemple bien choisi
    • C. une disjonction selon le signe de x
    • D. la réciproque : si x n’est pas rationnel, x² non plus
    Réponse

    A. la contraposée : si x est rationnel, x² l’est aussi — La contraposée est immédiate : le carré d’une fraction p/q est la fraction p²/q². La réciproque est d’ailleurs fausse : √2 est irrationnel, mais son carré 2 est rationnel.

  10. Avec A = {1 ; 2} et B = {1 ; 2 ; 3}, le couple (3 ; 1) appartient à :

    • A. A × B
    • B. B × A
    • C. A²
    • D. A ∩ B
    Réponse

    B. B × A — Le premier élément, 3, est dans B (pas dans A) et le second, 1, est dans A : (3 ; 1) est dans B × A. A ∩ B contient des nombres, pas des couples.

  11. Après L = [5, 8, 2, 9] puis L.remove(8), L[1] vaut :

    • A. 8
    • B. 5
    • C. 2
    • D. 9
    Réponse

    C. 2 — remove(8) supprime la valeur 8 : L devient [5, 2, 9], et L[1], le deuxième élément, vaut 2.

  12. Un raisonnement par l’absurde pour démontrer une proposition P commence par :

    • A. supposer que P est vraie
    • B. démontrer la réciproque de P
    • C. chercher un exemple où P est vraie
    • D. supposer que P est fausse
    Réponse

    D. supposer que P est fausse — On suppose le contraire de ce qu’on veut démontrer, P fausse, et on cherche une contradiction ; alors P est vraie.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. La proposition « il existe un réel y tel que, pour tout réel x, xy = 0 » est :

    • A. vraie, avec y = 0
    • B. fausse, car le produit dépend de x
    • C. vraie, pour n’importe quel réel y
    • D. fausse, car il faudrait x = 0
    Réponse

    A. vraie, avec y = 0 — Un même y doit convenir pour tous les x : y = 0 donne x × 0 = 0 quel que soit x. La proposition est vraie.

  2. On sait que « P ⇒ Q » est vraie et que Q est vraie. Alors :

    • A. P est forcément vraie
    • B. on ne peut rien conclure sur P
    • C. P est forcément fausse
    • D. P ⇔ Q est forcément vraie
    Réponse

    B. on ne peut rien conclure sur P — Une implication dont la conclusion est vraie est vraie, que P soit vraie ou fausse. Il faudrait savoir Q fausse pour conclure, par contraposée, que P est fausse.

  3. La négation de « P ⇒ Q » est :

    • A. non P ⇒ non Q
    • B. non P ou Q
    • C. P et non Q
    • D. Q ⇒ P
    Réponse

    C. P et non Q — P ⇒ Q n’est fausse que si P est vraie et Q fausse : sa négation est « P et non Q », qui n’est pas une implication.

  4. Laquelle de ces propositions est vraie ?

    • A. pour tout réel x, x² > 0
    • B. il existe un réel x tel que x² + 1 = 0
    • C. il existe un entier n tel que, pour tout réel x, n > x
    • D. pour tout réel x, il existe un entier n tel que n > x
    Réponse

    D. pour tout réel x, il existe un entier n tel que n > x — Pour chaque réel x, un entier dépasse x (par exemple un entier supérieur ou égal à |x| + 1). « x² > 0 » échoue en x = 0, x² + 1 = 0 est impossible car x² + 1 ≥ 1, et aucun entier ne dépasse tous les réels.

  5. A ⊂ B signifie exactement :

    • A. pour tout x, si x ∈ A, alors x ∈ B
    • B. il existe x dans A tel que x ∈ B
    • C. pour tout x de B, x ∈ A
    • D. A ∩ B = B
    Réponse

    A. pour tout x, si x ∈ A, alors x ∈ B — A ⊂ B se traduit par « pour tout x, si x ∈ A, alors x ∈ B » : tout élément de A est dans B. « Pour tout x de B, x ∈ A » et « A ∩ B = B » traduisent B ⊂ A ; « il existe x dans A tel que x ∈ B » ne demande qu’un élément commun.

  6. Une propriété « pour tout entier naturel n, P(n) » est vraie pour n = 0, 1 et 2. On peut conclure :

    • A. que la proposition est vraie
    • B. rien : il faut une démonstration générale
    • C. que la proposition est fausse
    • D. que P(3) est vraie aussi
    Réponse

    B. rien : il faut une démonstration générale — Des exemples ne démontrent pas un « pour tout » ; seul un contre-exemple permettrait de conclure, et ce serait pour dire que la proposition est fausse.

  7. La négation de « pour tout réel x, il existe un réel y tel que x < y » est :

    • A. pour tout réel x, il existe un réel y tel que x ≥ y
    • B. il existe un réel x tel que, pour tout réel y, x > y
    • C. il existe un réel x tel que, pour tout réel y, x ≥ y
    • D. il existe un réel y tel que, pour tout réel x, x ≥ y
    Réponse

    C. il existe un réel x tel que, pour tout réel y, x ≥ y — On échange les deux quantificateurs en gardant leur ordre (x d’abord, puis y) et on nie x < y, ce qui donne x ≥ y, et non x > y.

  8. C = [], puis pour a dans range(2) et, pour chaque a, pour b dans range(5) : C.append([a, b]). len(C) vaut :

    • A. 7
    • B. 12
    • C. 25
    • D. 10
    Réponse

    D. 10 — La boucle ajoute un couple [a, b] pour chaque a parmi 0, 1 et chaque b parmi 0, 1, 2, 3, 4 : c’est un produit cartésien de 2 × 5 = 10 éléments.

  9. Pour un réel a, l’équation (a² + 1)x = a, d’inconnue x :

    • A. a une unique solution pour tout réel a
    • B. n’a pas de solution si a = 0
    • C. a une infinité de solutions si a = −1
    • D. a pour solution x = a
    Réponse

    A. a une unique solution pour tout réel a — a² + 1 ≥ 1 n’est jamais nul : on peut toujours diviser, et x = a/(a² + 1) est l’unique solution. Pour a = 0, cette solution vaut 0.

  10. Pour un entier n, « n² est multiple de 4 » est, pour « n est pair », une condition :

    • A. suffisante, mais pas nécessaire
    • B. nécessaire et suffisante
    • C. nécessaire, mais pas suffisante
    • D. ni nécessaire ni suffisante
    Réponse

    B. nécessaire et suffisante — Si n = 2k, n² = 4k² est multiple de 4. Si n² est multiple de 4, il est pair, donc n est pair (par contraposée). Les deux propositions sont équivalentes.

  11. S = 0, puis pour chaque x de [3, 8, 5, 6] : si x > 4 and x % 2 == 0, alors S = S + x. À la fin, S vaut :

    • A. 22
    • B. 19
    • C. 14
    • D. 8
    Réponse

    C. 14 — Il faut les deux conditions (and) : 3 n’est pas supérieur à 4, 5 est impair ; seuls 8 et 6 sont ajoutés : 8 + 6 = 14.

  12. Pour prouver « si n² est pair, alors n est pair », un élève écrit : « si n = 2k, alors n² = 4k², qui est pair ». Il a démontré :

    • A. la contraposée
    • B. l’implication demandée
    • C. la négation
    • D. la réciproque
    Réponse

    D. la réciproque — Il part de « n pair » pour arriver à « n² pair » : c’est la réciproque. Il fallait la contraposée, « si n est impair, alors n² est impair ».

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