Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste
Quantificateurs, connecteurs logiques, ensembles et méthodes de raisonnement — outils transversaux de la Spé Maths 1re
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Connecteurs et tables de vérité
/ 4 pts- Soient $P$ : «$n$ est multiple de 6» et $Q$ : «$n$ est multiple de 2». Donnez les valeurs de vérité de $P \land Q$, $P \lor Q$ et $\neg P$ pour $n = 12$. (1,5 pt)
- Pour $n = 4$, mêmes questions. (1,5 pt)
- Peut-on avoir $P$ vraie et $Q$ fausse ? Justifiez. (1 pt)
Exercice 2 — Quantificateurs et négations
/ 5 pts- Écrire formellement avec des quantificateurs : «Il existe un réel strictement négatif». (0,5 pt)
- Écrire formellement : «Tout entier naturel est positif». (0,5 pt)
- Donner la négation de «$\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 - 1 \gt 0$». (1 pt)
- La proposition «$\forall x \in \mathbb{R},\, x^2 - 1 \gt 0$» est-elle vraie ou fausse ? Justifiez. (1,5 pt)
- Donner la négation de «$\exists x \in \mathbb{Z},\, x^2 + 2x + 1 = 0$» et dire si cette négation est vraie ou fausse. (1,5 pt)
Exercice 3 — Opérations ensemblistes
/ 5 pts- Soit $E = \mathbb{R}$, $A = [-2;3]$ et $B = [1;5]$. Calculer $A \cap B$, $A \cup B$ et $A \setminus B$. (3 pt)
- Calculer $\complement_E A$ et $\complement_E B$. (1 pt)
- Vérifier la loi de De Morgan : $\complement(A \cup B) = \complement A \cap \complement B$. (1 pt)
Exercice 4 — Méthodes de démonstration
/ 6 pts- (a) Démontrer par raisonnement direct que si $n$ est un entier pair, alors $3n + 2$ est pair. (2 pt)
- (b) Démontrer par contraposée que si $3n + 2$ est impair, alors $n$ est impair. (2 pt)
- (c) En déduire que «$n$ est pair» $\Leftrightarrow$ «$3n+2$ est pair». (1 pt)
- (d) Démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas de rationnel $r$ tel que $r^2 = 3$ et $r \lt 0$… ou, alternativement, montrer par disjonction de cas que $|n| \geq 0$ pour tout entier $n$. (1 pt)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Connecteurs et tables de vérité
Corrigé :
Pour $n=12$ : $P$ vraie ($12=6\times 2$), $Q$ vraie ($12=2\times 6$). Donc $P\land Q$ vraie, $P\lor Q$ vraie, $\neg P$ fausse.
Pour $n=4$ : $P$ fausse ($4$ non multiple de $6$), $Q$ vraie ($4=2\times 2$). Donc $P\land Q$ fausse, $P\lor Q$ vraie, $\neg P$ vraie.
Peut-on avoir $P$ vraie et $Q$ fausse ? Non. Si $n$ est multiple de 6 alors $n=6k=2(3k)$ est multiple de 2. Donc $P\Rightarrow Q$ : la conjonction «$P$ vraie et $Q$ fausse» est impossible.
Exercice 2 — Quantificateurs et négations
Corrigé :
1. $\exists x \in \mathbb{R},\, x \lt 0$.
2. $\forall n \in \mathbb{N},\, n \geq 0$.
3. La négation de $\forall x \in \mathbb{R},\, x^2-1\gt 0$ est $\exists x \in \mathbb{R},\, x^2-1 \leq 0$.
4. La proposition est fausse : par exemple $x=0$ donne $0-1 = -1 \not\gt 0$. (Aussi $x=1$ : $1-1=0\not\gt 0$.)
5. La négation est $\forall x \in \mathbb{Z},\, x^2+2x+1 \neq 0$. La proposition originale est vraie ($x=-1$ vérifie $(-1)^2+2(-1)+1=0$), donc sa négation est fausse.
Exercice 3 — Opérations ensemblistes
Corrigé :
$A \cap B$ : les réels dans les deux intervalles : $[1;3]$.
$A \cup B$ : les réels dans au moins un intervalle : $[-2;5]$.
$A \setminus B$ : les réels de $A$ non dans $B$ : $[-2;1[$.
$\complement A = ]-\infty;-2[ \cup ]3;+\infty[$, $\complement B = ]-\infty;1[ \cup ]5;+\infty[$.
Vérification : $A \cup B = [-2;5]$ donc $\complement(A \cup B) = ]-\infty;-2[ \cup ]5;+\infty[$.
D'autre part $\complement A \cap \complement B = (]-\infty;-2[ \cup ]3;+\infty[) \cap (]-\infty;1[ \cup ]5;+\infty[) = ]-\infty;-2[ \cup ]5;+\infty[$ (les parties $]3;+\infty[$ et $]-\infty;1[$ ne s'intersectent que sur $\emptyset$ hors de ces extrémités). Égalité vérifiée. $\square$
Exercice 4 — Méthodes de démonstration
Corrigé :
(a) Raisonnement direct. Supposons $n$ pair : $n = 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. Alors $3n+2 = 6k+2 = 2(3k+1)$, qui est pair. $\square$
(b) Contraposée. La contraposée de «$3n+2$ impair $\Rightarrow$ $n$ impair» est «$n$ pair $\Rightarrow$ $3n+2$ pair», ce qu'on vient de montrer en (a). Donc la contraposée est démontrée, ce qui démontre l'implication initiale. $\square$
(c) Équivalence. On a montré «$n$ pair $\Rightarrow$ $3n+2$ pair» (par (a)) et «$3n+2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair» (par (b), en remarquant que (b) donne bien cela par contraposée). Les deux implications étant vraies, on a l'équivalence. $\square$
(d) Disjonction de cas pour $|n| \geq 0$. Si $n \geq 0$ : $|n| = n \geq 0$. Si $n \lt 0$ : $|n| = -n \gt 0$. Dans les deux cas $|n| \geq 0$. $\square$
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Connecteurs et tables de vérité/ 4 pts
- Exercice 2 — Quantificateurs et négations/ 5 pts
- Exercice 3 — Opérations ensemblistes/ 5 pts
- Exercice 4 — Méthodes de démonstration/ 6 pts
Notions évaluées
Propositions et valeurs de vérité, Connecteurs logiques, Implication et équivalence, Quantificateurs, Vocabulaire ensembliste, Méthodes de raisonnement.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Logique, raisonnement et vocabulaire ensembliste » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Propositions et valeurs de vérité, Connecteurs logiques, Implication et équivalence, Quantificateurs.
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