Logique, raisonnement et listes Python

1. a)Négation : « il existe un réel $x$ tel que $x^2+x<0$ ». C’est elle qui est vraie : pour $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $x^2+x={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, strictement négatif. Un contre-exemple suffit : la proposition « pour tout » est fausse. (1)
2. b)$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\times B)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)\times \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)=2\times 5=10$. Le couple $(0;\text{a})$ appartient à $A\times B$ mais pas à $B\times A$, dont les couples commencent par une lettre : l’ordre compte. (1)
3. c)$k$ va de $3$ à $14$ ; on garde ceux dont le reste dans la division par $4$ vaut $1$ : $5$, $9$ et $13$. La liste vaut $[5,9,13]$ et compte $3$ éléments. (1)
4. d)$a$ est un paramètre (fixé, mais quelconque) et $x$ l’inconnue. Si $a\ne 0$, on divise par $a$ : $x={\displaystyle \frac{a^2}{a}}=a$, unique solution. (Si $a=0$, tout réel est solution.) (1)

Repère — Un contre-exemple suffit pour un « pour tout » ; un couple est ordonné ; une liste se lit valeur par valeur.

1. a)$I$ est fausse. Pour $x=0$ : $x^2=0$ et $4x=0$, donc l’hypothèse $x^2=4x$ est vraie, mais la conclusion $x=4$ est fausse. Ce contre-exemple suffit. (1)
2. b)Réciproque : « si $x=4$, alors $x^2=4x$ ». Elle est vraie : pour $x=4$, $x^2=16$ et $4x=16$. (1)
3. c)$x^2=4x\iff x^2-4x=0\iff x(x-4)=0\iff x=0$ ou $x=4$ (un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul). $S=\{0;4\}$. (1)
4. d)« $x=4$ » est une condition suffisante pour « $x^2=4x$ » (réciproque vraie, question b), mais pas nécessaire ($x=0$, question a). « $x=0$ ou $x=4$ » est une condition nécessaire et suffisante : c’est l’équivalence obtenue à la question c. (1)

Repère — Une implication vraie dont la réciproque est fausse donne une condition suffisante non nécessaire ; une équivalence donne une condition nécessaire et suffisante.

1. a)Négation : « il existe un réel $x⩾1$ tel que $x^3<x^2$ ». Pour tout réel $x⩾1$ : $x^3-x^2=x^2(x-1)$, avec $x^2⩾0$ et $x-1⩾0$, donc $x^3-x^2⩾0$. $P$ est vraie (et sa négation fausse). (1)
2. b)Négation : « pour tout entier $n$, $n^2+n\ne 30$ ». $Q$ est vraie : pour $n=5$, $5^2+5=30$ (on peut aussi prendre $n=-6$). Un exemple suffit pour un « il existe ». (1)
3. c)$R_1$ est vraie : pour un réel $x$ donné, $y=x^2+1$ convient ($y$ dépend de $x$). $R_2$ est fausse ; démontrons sa négation, « pour tout réel $y$, il existe un réel $x$ tel que $y⩽x^2$ ». Soit $y$ un réel. Si $y⩽0$, $x=0$ convient : $x^2=0⩾y$. Si $y>0$, $x=\sqrt{y}$ convient : $x^2=y$. Dans les deux cas, un tel $x$ existe. (1)
4. d)Phrase quantifiée : « pour tout prix $p>0$, $p\times 1,1\times 0,9=p$ ». Or $1,1\times 0,9=0,99$, donc $p\times 1,1\times 0,9=0,99p$, qui est différent de $p$ dès que $p>0$. Par exemple, $200$ € deviennent $198$ €. Un contre-exemple suffit : la phrase est fausse (elle l’est même pour tous les prix). (1)

Repère — Pour nier, on échange les quantificateurs sans changer leur ordre ; « pour tout x, il existe y » laisse y dépendre de x.

1. a)On raisonne par contraposée : montrons que « si $n$ est pair, alors $5n+1$ est impair ». Soit $n$ pair : $n=2k$. Alors $5n+1=10k+1=2\times 5k+1$, avec $5k$ entier : $5n+1$ est impair. La contraposée est vraie, donc l’implication « si $5n+1$ est pair, alors $n$ est impair » est vraie. (1)
2. b)L’élève a démontré « si $n$ est impair, alors $5n+1$ est pair » : c’est la réciproque de a), pas a) elle-même. Une implication et sa réciproque sont indépendantes ; il fallait démontrer a) directement ou sa contraposée, qui part de « $n$ pair ». (1)
3. c)Supposons qu’il existe un réel $x$ tel que ${\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Comme $x^2+1>0$, on multiplie par $2(x^2+1)$ sans changer le sens : $2x>x^2+1$, soit $x^2-2x+1<0$, c’est-à-dire $(x-1{)}^2<0$. Or un carré est positif : contradiction. Donc aucun réel ne vérifie cette inégalité. (1)
4. d)$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$. Le reste de $n$ dans la division par $3$ vaut $0$, $1$ ou $2$. Cas $n=3k$ : le facteur $n$ est multiple de $3$. Cas $n=3k+1$ : $n-1=3k$ est multiple de $3$. Cas $n=3k+2$ : $n+1=3k+3=3(k+1)$ est multiple de $3$. Dans chaque cas, un facteur est multiple de $3$, donc le produit $n^3-n$ aussi. (1)

Repère — Annoncer la méthode (contraposée, absurde, disjonction des cas) dès la première ligne ; ne jamais démontrer la réciproque à la place.

1. a)La boucle parcourt $L$ dans l’ordre et ajoute à $T$ les multiples de $3$ : $15$ oui, $5$ non, $8$ non, $21$ oui, $14$ non. À la fin, T = [15, 21]. (1)
2. b)$L[4]$ vaut $14$ (cinquième élément, les indices vont de $0$ à $4$) ; $len(T)$ vaut $2$ ; $L[5]$ provoque une erreur : l’indice $5$ est hors de la liste. (1)
3. c)[x**2 for x in L if x > 10] renvoie $[225,441,196]$, carrés de $15$, $21$ et $14$. (1)
4. d)Vraie : $21=3\times 7$ (et $14=2\times 7$). Un exemple suffit pour un « il existe ».

   def existe7(L):
       for x in L:
           if x % 7 == 0:
               return True
       return False

   La fonction s’arrête au premier multiple de $7$ rencontré ; si la boucle se termine sans en trouver, elle renvoie False. (1)

Repère — Une boucle qui s’arrête au premier élément qui convient teste un « il existe » sur une liste finie.