Sujet du brevet 2021 de maths — Métropole, Antilles et Guyane (Série générale)

1. La colonne N (novembre) indique 8,2 °C.

2. L'étendue est la différence entre la valeur maximale (22,6 °C en juillet) et la valeur minimale (4,4 °C en janvier) : $22,6-4,4=18,2$. L'étendue de la série est 18,2 °C.

3. La moyenne annuelle est la moyenne des 12 températures des cellules B2 à M2 : =MOYENNE(B2:M2) (ou =SOMME(B2:M2)/12).

4. Somme des 12 températures : $4,4+7,8+9,6+11,2+13,4+19,4+22,6+20,5+17,9+14,4+8,2+7,8$$=157,2$. Moyenne $={\displaystyle \frac{157,2}{12}}=13,1$. La température moyenne annuelle est bien 13,1 °C.

5. L'augmentation est de $13,1-11,9=1,2$ °C. Taux d'augmentation $={\displaystyle \frac{1,2}{11,9}}\approx 0,1008$, soit environ 10 %. (Vérification : $11,9\times 1,10=13,09\approx 13,1$.) Le pourcentage d'augmentation, arrondi à l'unité, est de 10 %.

1. $2000000-1900000=100000$. Il aurait fallu 100 000 visiteurs de plus.

2. Une année compte 365 jours : $1900000÷365\approx 5205$ visiteurs par jour. L'affirmation est vraie : il y a eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019.

3. a) $126=2\times 63=2\times 9\times 7=2\times 3^2\times 7$ et $90=2\times 45=2\times 9\times 5=2\times 3^2\times 5$. $126=2\times 3^2\times 7$ et $90=2\times 3^2\times 5$.

3. b) Les facteurs premiers communs sont $2$ et $3^2$, donc le plus grand diviseur commun est $2\times 3^2=18$. Les diviseurs communs à 126 et 90 sont les diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18. (Vérification : $126=18\times 7$ et $90=18\times 5$.)

3. c) Le nombre de groupes doit diviser 126 et 90 ; le plus grand possible est 18. Le professeur pourra constituer au maximum 18 groupes. Chaque groupe comptera alors $126÷18=7$ garçons et $90÷18=5$ filles. 7 garçons et 5 filles par groupe.

4. Les droites (DE) et (CB) sont toutes deux perpendiculaires au sol (AC), donc elles sont parallèles. Les points A, D, C sont alignés et les points A, E, B sont alignés (les droites (AC) et (AB) sont sécantes en A). On a $AC=AD+DC=2+54,25=56,25$ m. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AD}{AC}}={\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{DE}{CB}}$, soit ${\displaystyle \frac{2}{56,25}}={\displaystyle \frac{1,60}{CB}}$. D'où $CB={\displaystyle \frac{1,60\times 56,25}{2}}=45$. La Gyrotour mesure 45 m de haut.

Partie A. L'urne contient $7+4+3+2=16$ jetons équiprobables.

Question 1 : réponse C (obtenir un jeton vert). Il y a 7 jetons verts sur 16 : $p={\displaystyle \frac{7}{16}}$. (Rouge ou jaune : ${\displaystyle \frac{6}{16}}$ ; pas vert : ${\displaystyle \frac{9}{16}}$.)

Question 2 : réponse A (${\displaystyle \frac{13}{16}}$). L'événement « ne pas tirer un jeton bleu » est le contraire de « tirer un jeton bleu » : $p=1-{\displaystyle \frac{3}{16}}={\displaystyle \frac{13}{16}}$.

Partie B.

Question 3 : réponse A (le motif 17). La droite (d) est horizontale et passe par O : la symétrie d'axe (d) envoie la partie haute de la figure sur la partie basse. Le motif 20 (en haut à gauche de la couronne extérieure) a pour image le motif 17 (en bas à gauche).

Question 4 : réponse B (rotation de centre O et d'angle 72°). Les 10 motifs de la couronne intérieure sont régulièrement répartis autour de O, chacun occupant un angle de $\widehat{AOB}={36}^{\circ }$. Pour passer du motif 1 au motif 3, on tourne de deux motifs, soit $2\times {36}^{\circ }={72}^{\circ }$.

Question 5 : réponse B (4 fois l'aire du motif 1). Le motif 11 est l'image du motif 1 par une homothétie de rapport 2 : les longueurs sont doublées et les aires multipliées par $2^2=4$.

1. Avec 4 : le carré est $4^2=16$ ; le triple de 4 est 12, $16+12=28$ ; $28-10=18$. On obtient bien 18.

2. Avec $-3$ : $(-3{)}^2=9$ ; le triple de $-3$ est $-9$, $9+(-9)=0$ ; $0-10=-10$. On obtient $-10$.

3. La variable y contient le carré de x (ligne 4). Il faut ensuite ajouter le triple de x, puis soustraire 10 :
Ligne 5 : mettre z à y + 3 * x
Ligne 6 : mettre Résultat à z − 10

4. a) Avec $x$ au départ : carré $x^2$ ; on ajoute le triple $3x$ ; on soustrait 10. Le résultat final est $x^2+3x-10$.

4. b) On développe : $(x+5)(x-2)$$=x^2-2x+5x-10$$=x^2+3x-10$. Le résultat s'écrit bien $(x+5)(x-2)$.

4. c) On résout $(x+5)(x-2)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x+5=0$ ou $x-2=0$, soit $x=-5$ ou $x=2$. Vérification : $2^2+3\times 2-10=4+6-10=0$ et $(-5{)}^2+3\times (-5)-10=25-15-10=0$. Il faut choisir $-5$ ou $2$ au départ pour obtenir 0.

1. $6,5\%$ de 5,2 tonnes : ${\displaystyle \frac{6,5}{100}}\times 5,2=0,338$. La production annuelle de déchets par Français a diminué de 0,338 tonne (338 kg) entre 2007 et 2017.

2. a) ABHD est un rectangle (trois angles droits codés en A, B et H), donc $HB=DA=39$ cm. Le point H est sur le segment [CB], donc $CH=CB-HB=67-39=28$. CH = 28 cm.

2. b) Le triangle DHC est rectangle en H, son hypoténuse est [DC]. D'après le théorème de Pythagore : $D{C}^2=D{H}^2+H{C}^2$, soit ${53}^2=D{H}^2+{28}^2$. D'où $D{H}^2=2809-784=2025$ et $DH=\sqrt{2025}=45$. DH = 45 cm.

2. c) La hauteur du trapèze est $DH=45$ cm. Aire $={\displaystyle \frac{(39+67)\times 45}{2}}={\displaystyle \frac{106\times 45}{2}}={\displaystyle \frac{4770}{2}}=2385$. L'aire du trapèze ABCD est bien 2 385 cm².

2. d) Le composteur est composé de deux solides :
– le prisme droit du haut, de base le trapèze ABCD (2 385 cm²) et de hauteur 70 cm (largeur du composteur) : $V_1=2385\times 70=166950$ cm³ ;
– le pavé droit du bas, de dimensions 70 cm × 67 cm et de hauteur $110-45=65$ cm (la hauteur totale est 1,1 m = 110 cm, dont 45 cm pour la partie haute, AB = DH) : $V_2=70\times 67\times 65=304850$ cm³.
Volume total : $166950+304850=471800$ cm³. Comme $1$ m³ $=1000000$ cm³, cela fait $0,4718$ m³, soit environ 0,47 m³. Le volume du composteur est d'environ 0,47 m³ : l'affirmation « environ 0,5 m³ » est vraie (le descriptif arrondit au dixième).