Sujet du brevet 2014 de maths — Nouvelle-Calédonie (Série générale)

Sur la copie, on recopie seulement la réponse ; les justifications ci-dessous servent à vérifier.

1. Réponse A : ${\displaystyle \frac{14}{15}}$.
La multiplication est prioritaire : ${\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$, puis ${\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{12}{15}}+{\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{14}{15}}$.

2. Réponse C : 15.
$\sqrt{25}=5$ et ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$, donc $\sqrt{25}\times {\left(\sqrt{3}\right)}^2=5\times 3=15$.

3. Réponse A : 32,5.
${\displaystyle \frac{5}{100}}\times 650=0,05\times 650=32,5$.

4. Réponse B : $6\times {10}^{24}$ kg.
La Terre a une masse énorme : 32 tonnes est la masse d'un camion, et $7\times {10}^{-15}$ g est une masse microscopique.

1. a. L'adversaire joue au hasard : chacun des trois coups a la même probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Avec « pierre », je perds seulement si l'adversaire joue « feuille » (la feuille bat la pierre). La probabilité que je perde est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

1. b. « Ne pas perdre » est l'événement contraire de « perdre » : $p=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. La probabilité que je ne perde pas est ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ (l'adversaire joue pierre : match nul, ou ciseaux : je gagne).

2. Arbre des possibles de l'adversaire : de la racine partent trois branches P, F, C (1^re partie) ; de chacune repartent trois branches P, F, C (2^e partie). On obtient 9 issues équiprobables :

Chaque branche porte la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, donc chaque issue a la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$.

3. a. Je joue « pierre » : je gagne une partie seulement si l'adversaire joue « ciseaux ». Je gagne les deux parties uniquement pour l'issue (C ; C) : 1 issue sur 9. La probabilité que je gagne les deux parties est ${\displaystyle \frac{1}{9}}$.

3. b. Je ne perds pas une partie si l'adversaire joue P ou C. Les issues favorables sont (P ; P), (P ; C), (C ; P) et (C ; C) : 4 issues sur 9. La probabilité que je ne perde aucune des deux parties est ${\displaystyle \frac{4}{9}}$. (Vérification : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$.)

1. a. On trace le segment [BC] de 2 cm. Au compas, on trace deux arcs de cercle de rayon 5 cm, l'un de centre B, l'autre de centre C : leur point d'intersection est A. Le triangle ABC est alors isocèle en A avec AB = AC = 5 cm.

1. b. On place M sur [AB] à 2 cm de B (donc à 3 cm de A).

1. c. À l'équerre et à la règle (ou en reportant la direction de [BC]), on trace la droite parallèle à (BC) passant par M ; elle coupe [AC] en N.

2. Comme M ∈ [AB] et BM = 2 cm, on a AM = AB − BM = 5 − 2 = 3 cm. Le triangle ABC est isocèle en A, donc AC = AB = 5 cm.
Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :
$${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}\text{soit}{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{AN}{5}}={\displaystyle \frac{MN}{2}}.$$ $AN={\displaystyle \frac{3\times 5}{5}}=3$ et $MN={\displaystyle \frac{3\times 2}{5}}={\displaystyle \frac{6}{5}}=1,2$.
MN = 1,2 cm et AN = 3 cm.

3. On a NC = AC − AN = 5 − 3 = 2 cm.
Périmètre du triangle AMN : AM + MN + AN = 3 + 1,2 + 3 = 7,2 cm.
Périmètre du quadrilatère BMNC : BM + MN + NC + CB = 2 + 1,2 + 2 + 2 = 7,2 cm.
Les deux périmètres valent 7,2 cm : ils sont égaux.

1. Le chronomètre est déclenché quand l'avant du navire passe devant le cocotier et arrêté quand l'arrière passe devant ce même cocotier : pendant ces 40 secondes, le navire a avancé exactement de sa propre longueur, soit 246 m d'après les caractéristiques techniques. Le navire a parcouru 246 m en 40 secondes.

2. Vitesse du navire en mètres par seconde : $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{246}{40}}=6,15$ m/s.
Naviguer à 1 nœud, c'est parcourir 0,5 m en 1 s : le nombre de nœuds est donc ${\displaystyle \frac{6,15}{0,5}}=12,3$.
Le navire avance à 12,3 nœuds.
Écart avec Mathilde : $20-12,3=7,7$ nœuds ; écart avec Eva : $12,3-10=2,3$ nœuds.
C'est Eva qui est la plus proche de la vérité.

1. Toutes les valeurs du tableau, pour les températures minimales comme pour les températures maximales, sont précédées du signe + : elles sont toutes positives (entre +0,8 °C et +1,5 °C). Oui, ce tableau traduit une augmentation des températures dans tous les endroits observés de la Nouvelle-Calédonie au cours des quarante dernières années.

2. La plus grande augmentation de la température minimale est +1,5 °C. C'est à La Roche que la température minimale a le plus augmenté.

3. Il y a 10 endroits.
Températures minimales : ${\displaystyle \frac{1,3+1,3+1,2+1,2+1,2+1,3+1,2+1,2+1,5+1,3}{10}}$$={\displaystyle \frac{12,7}{10}}$$=1,27$.
Températures maximales : ${\displaystyle \frac{1,3+1,3+1,0+0,9+1,0+1,0+0,8+0,9+1,0+0,9}{10}}$$={\displaystyle \frac{10,1}{10}}$$=1,01$.
L'augmentation moyenne est de 1,27 °C pour les températures minimales et de 1,01 °C pour les températures maximales.

1. Les trois pales partagent le tour complet (360°) en trois angles égaux : $360÷3=120$. L'angle entre deux pales mesure 120°.

2. Avec six pales, l'angle entre deux pales consécutives mesure $360÷6=60$°. Construction : on trace le cercle de centre A et de rayon 5 cm ; on place un premier point P₁ sur ce cercle (par exemple de façon que [AP₁] fasse un angle de 30° avec le mât [AB], pour qu'aucune pale ne soit cachée par le mât) ; puis on place les points suivants tous les 60° au rapporteur. On trace les six segments [AP₁], …, [AP₆] de 5 cm : ce sont les pales.

3. Notons D la position des oreilles du randonneur (au-dessus de C, avec CD = 1,80 m) et H le point du mât [AB] situé à 1,80 m du sol. Le quadrilatère BCDH est un rectangle, donc HD = BC et BH = 1,80 m.
AH = AB − BH = 35 − 1,80 = 33,2 m, et AD = 80 m (distance entre le centre des pales et les oreilles).
Le triangle AHD est rectangle en H (le mât est vertical, HD horizontal), donc d'après le théorème de Pythagore :
$A{D}^2=A{H}^2+H{D}^2$, d'où $H{D}^2={80}^2-33,2^2=6400-1102,24=5297,76$.
$HD=\sqrt{5297,76}\approx 72,79$ m.
Le randonneur se trouve à environ 73 m du mât (BC ≈ 73 m).

1. La formule saisie en B2 est « =2*B1 » : elle multiplie la valeur de $x$ par 2. C'est la fonction $f$, puisque $f(x)=2x$.

2. La ligne 5 donne les images par $g(x)=-2x+8$ des valeurs de la ligne 4 (par exemple $g(0)=8$, $g(4)=0$). En B5, on a saisi la formule =-2*B4+8.

3. La droite tracée sur l'annexe 2 passe par l'origine O et par le point de coordonnées (1 ; 2), ainsi que (4 ; 8). C'est donc la représentation d'une fonction linéaire de coefficient 2. C'est la fonction $f$ qui est représentée.

4. $g$ est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. D'après le tableau, elle passe par les points de coordonnées (0 ; 8), (2 ; 4) et (4 ; 0). On place ces points dans le repère de l'annexe 2 et on trace la droite qui les relie (elle descend : coefficient directeur −2).

5. Résolution : $2x=-2x+8⟺2x+2x=8⟺4x=8⟺x=2$.
Vérification : $f(2)=2\times 2=4$ et $g(2)=-2\times 2+8=4$. Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection des deux droites, le point (2 ; 4) ; le tableur le confirme (pour $x=2$, les deux images valent 4).
La solution de l'équation est $x=2$.

1. Le diamètre est 19,7 m, donc le rayon est $R=19,7÷2=9,85$ m.
$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 9,{85}^3\approx 4003$ m³.
Le volume de stockage de la grande sphère est bien d'environ 4 000 m³.

2. 1 200 tonnes = 1 200 000 kg. Chaque mètre cube de butane pèse 580 kg, donc le volume correspondant est :
$V={\displaystyle \frac{1200000}{580}}\approx 2068,97$ m³.
Les 1 200 tonnes de butane occupent environ 2 069 m³.

3. Les deux petites sphères ont un volume total de $1000+600=1600$ m³. Or $1600<2069$ : il manque environ 469 m³. Les deux petites sphères ne suffisent pas : on aura besoin de la grande sphère (dont les 4 000 m³ suffisent d'ailleurs à elle seule).