Sujet du brevet 2013 de maths — Métropole (Série générale)

Aucune justification n'est attendue : on lit le graphique en traçant des pointillés.

1. La droite horizontale d'ordonnée 10 coupe la courbe en deux points, d'abscisses 1 et 3. L'aire de MNPQ vaut 10 cm² pour AM = 1 cm ou AM = 3 cm.

2. Le point de la courbe d'abscisse 0,5 a pour ordonnée environ 12,5. Pour AM = 0,5 cm, l'aire de MNPQ est d'environ 12,5 cm².

3. Le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées (2 ; 8). L'aire est minimale pour AM = 2 cm (M milieu de [AB]) ; elle vaut alors 8 cm².

1. Dans le tableur, sous $x=-3$ (colonne B), la ligne $f(x)$ affiche 22. L'image de $-3$ par $f$ est 22 : $f(-3)=22$.

2. La formule de la cellule C2 est « =-5*C1+7 », donc $f(x)=-5x+7$. Ainsi $f(7)=-5\times 7+7=-35+7=-28$. $f(7)=-28$.

3. La formule saisie en C2 calcule $-5$ fois la valeur de C1 (la valeur de $x$) plus 7. $f(x)=-5x+7$. (Vérification : $f(0)=7$ et $f(1)=2$, comme dans le tableau.)

4. La formule doit calculer le carré de la valeur de $x$ située en B1, puis ajouter 4. Formule en B3 : =B1*B1+4 (ou =B1^2+4). Recopiée vers la droite, elle devient =C1*C1+4, =D1*D1+4, etc. Vérification : $(-3{)}^2+4=9+4=13$, valeur affichée en B3.

1. Salaire moyen des femmes (10 salaires) :
${\displaystyle \frac{1200+1230+1250+1310+1376+1400+1440+1500+1700+2100}{10}}$$={\displaystyle \frac{14506}{10}}$$=1450,6$.
Le salaire moyen des femmes est de 1 450,60 €, celui des hommes de 1 769 €. Le salaire moyen des hommes est supérieur de 318,40 € à celui des femmes ($1769-1450,6=318,4$).

2. L'entreprise compte 10 femmes et 20 hommes, soit 30 personnes, toutes ayant la même chance d'être tirées. $P(\text{femme})={\displaystyle \frac{10}{30}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. La probabilité que ce soit une femme est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

3. Le plus bas salaire des femmes est 1 200 €. Le salaire de 1 000 € est donc celui d'un homme : c'est le plus petit salaire des hommes. L'étendue des salaires des hommes est 2 400 €, donc le plus haut salaire des hommes est $1000+2400=3400$ €. Il dépasse le plus haut salaire des femmes (2 100 €). Le salaire le plus élevé de l'entreprise est 3 400 €.

4. Chez les hommes : il y a 20 salaires, tous différents, et la médiane vaut 2 000 €. Avec un effectif pair, la médiane est la moyenne de la 10^e et de la 11^e valeur ; comme ces deux valeurs sont différentes, la 10^e est inférieure à 2 000 € et la 11^e supérieure. Exactement 10 hommes gagnent donc plus de 2 000 €.
Chez les femmes : une seule gagne plus de 2 000 € (2 100 €).
Dans l'entreprise, 11 personnes gagnent plus de 2 000 €.

Figure 1. Le triangle ABC est rectangle en A, d'hypoténuse [BC]. Pour l'angle $\widehat{ABC}$, AC est le côté opposé. D'après la définition du sinus : $\sin \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$. Donc $\widehat{ABC}=30°$.

Figure 2. Le triangle ABC est inscrit dans le cercle et son côté [AB] est un diamètre de ce cercle : il est donc rectangle en C. La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc $\widehat{ABC}=180°-90°-59°$. $\widehat{ABC}=31°$.

Figure 3. D'après le codage, ABCDE est un pentagone régulier de centre O (cinq côtés égaux, OA = OB = OC = OD = OE). Les cinq angles au centre sont égaux : $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}={\displaystyle \frac{360°}{5}}=72°$. Le triangle AOB est isocèle en O, donc ses angles à la base sont égaux : $\widehat{OBA}={\displaystyle \frac{180°-72°}{2}}=54°$. De même, $\widehat{OBC}=54°$. Ainsi $\widehat{ABC}=54°+54°$. $\widehat{ABC}=108°$.

1. Masse totale des parpaings : $300\times 10=3000$ kg, soit 3 tonnes. Le fourgon ne peut transporter que 1,7 tonne : un seul voyage est impossible ($3>1,7$). En deux voyages, on transporte 150 parpaings à chaque fois, soit $150\times 10=1500$ kg = 1,5 t, ce qui ne dépasse pas 1,7 t.
Le volume ne pose pas de problème : un parpaing occupe $0,5\times 0,2\times 0,1=0,01$ m³, donc 150 parpaings occupent 1,5 m³, alors que le fourgon offre $2,60\times 1,56\times 1,84\approx 7,46$ m³.
C'est la charge maximale qui l'oblige à faire deux allers-retours.

2. Distance parcourue. Le fourgon part du magasin et doit y revenir. Il fait magasin → maison → magasin → maison → magasin, soit $4\times 10=40$ km.
Location. Pour 40 km, le forfait « 1 jour, 50 km maximum » coûte 55 €. (Le forfait 30 km obligerait à payer 10 km supplémentaires : $48+10\times 2=68$ €, plus cher.)
Carburant. Consommation : ${\displaystyle \frac{8\times 40}{100}}=3,2$ litres, soit $3,2\times 1,50=4,80$ €.
Total. $55+4,80=59,80$. Le coût total du transport est de 59,80 €.

3. On compare les prix par kilomètre autorisé : ${\displaystyle \frac{48}{30}}=1,6$ €/km et ${\displaystyle \frac{55}{50}}=1,1$ €/km. Ces quotients sont différents. Les tarifs ne sont pas proportionnels à la distance maximale autorisée.

1. a. Le bâton [BC] et la hauteur [OS] du cône sont tous les deux perpendiculaires au sol (AL) : ils sont donc parallèles. Les points A, B, O sont alignés, ainsi que A, C, S. On calcule $AO=AB+BE+EO=3,20+2,30+2,50=8$ m (EO est le rayon du cône, la moitié de 5 m).
D'après le théorème de Thalès dans le triangle AOS : ${\displaystyle \frac{AB}{AO}}={\displaystyle \frac{BC}{OS}}$, soit ${\displaystyle \frac{3,2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{OS}}$.
Donc $OS={\displaystyle \frac{8\times 1}{3,2}}=2,5$. La hauteur du cône de sel est bien de 2,50 m.

1. b. Rayon : 2,5 m ; hauteur : 2,5 m.
$V={\displaystyle \frac{\pi \times 2,5^2\times 2,5}{3}}={\displaystyle \frac{15,625\pi }{3}}\approx 16,36$ m³.
Le cône contient environ 16 m³ de sel.

2. On cherche le rayon $r$ d'un cône de volume 1 000 m³ et de hauteur 6 m (hauteur maximale ; plus la hauteur est grande, plus le rayon nécessaire est petit, donc le rayon minimal correspond à $h=6$ m).
${\displaystyle \frac{\pi \times r^2\times 6}{3}}=1000$, soit $2\pi r^2=1000$, donc $r^2={\displaystyle \frac{1000}{2\pi }}\approx 159,15$ et $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{1000}{2\pi }}}\approx 12,62$ m.
Il faut prévoir un rayon d'au moins 12,6 m environ (arrondi au décimètre). Vérification : ${\displaystyle \frac{\pi \times 12,{62}^2\times 6}{3}}\approx 1000,7$ m³.

Affirmation 1 : vraie. Les mineurs représentent ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ des adhérents, donc les majeurs $1-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Le tiers des majeurs a plus de 25 ans, soit ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$ des adhérents. Les adhérents qui ont entre 18 et 25 ans représentent donc ${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ des adhérents, c'est-à-dire un adhérent sur six. (Exemple avec 120 adhérents : 90 mineurs, 30 majeurs dont 10 de plus de 25 ans, il reste 20 adhérents de 18 à 25 ans, et ${\displaystyle \frac{20}{120}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.)

Affirmation 2 : fausse. Baisser un prix de 30 % revient à le multiplier par 0,7 ; le baisser ensuite de 20 % revient à le multiplier par 0,8. Au total, le prix est multiplié par $0,7\times 0,8=0,56$ : il a baissé de 44 %, et non de 50 %. Contre-exemple : un article à 100 € passe à 70 €, puis à $70\times 0,8=56$ € ; il a baissé de 44 €, soit 44 %.

Affirmation 3 : vraie. On développe avec les identités remarquables : $(n+1{)}^2-(n-1{)}^2$$=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)$$=n^2+2n+1-n^2+2n-1$$=4n$. Pour tout entier $n$, $4n=4\times n$ est un multiple de 4. (Vérification avec $n=3$ : $16-4=12=4\times 3$.)