Sujet du bac 2026 de mathématiques AVEC Spécialité (épreuve anticipée) — Métropole (général) — 26-matspegeme1

Aucune justification n'est demandée sur la copie ; elle est donnée ici pour comprendre chaque réponse.

Question 1. Réponse c. D'après l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ : $(3x-2{)}^2$$=(3x{)}^2-2\times 3x\times 2+2^2$$=9x^2-12x+4$.

Question 2. Réponse c. Sur le graphique, l'unité est la longueur $OI=OJ$ (un grand carreau). La droite $(\Delta )$ coupe l'axe des ordonnées au point $(0;2)$, donc son ordonnée à l'origine est $2$ ; elle passe aussi par $(2;0)$. Son coefficient directeur vaut $m={\displaystyle \frac{0-2}{2-0}}=-1$. D'où $(\Delta )$ : $y=-x+2$.

Question 3. Réponse d. Les latinistes représentent $100\%-75\%=25\%$ de la classe, c'est-à-dire le quart des élèves. Ils sont $9$, donc la classe compte $9\times 4=36$ élèves (vérification : $75\%$ de $36$ font $27$ hellénistes, et $27+9=36$).

Question 4. Réponse b. Augmenter de $t\%$ revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$ ; ici $1+{\displaystyle \frac{15}{100}}=1,15$.

Question 5. Réponse b. ${\displaystyle \frac{150000}{3200}}={\displaystyle \frac{1500}{32}}$ et $32\times 50=1600$, proche de $1500$ : le quotient vaut environ $50$ (exactement $46,875$). Les autres propositions sont 10 fois trop petites ou trop grandes.

Question 6. Réponse b. $1$ min $40$ s $=60+40=100$ s. Le nombre d'images par seconde est ${\displaystyle \frac{2400}{100}}=24$ images/seconde.

Question 7. Réponse c. Un point appartient à $\mathcal{C}$ si son ordonnée est l'image de son abscisse. $f(3)=0,5\times 0^2+10=10$, donc $C(3;10)\in \mathcal{C}$ (et $B(3;10,5)$ n'y est pas). Contrôle des autres points : $f(-3)=0,5\times (-6{)}^2+10=28\ne 10$ et $f(0)=0,5\times 9+10=14,5\ne 19,5$.

Question 8. Réponse c. Avec les règles de calcul sur les puissances : ${10}^{201}\times {10}^{-4}={10}^{197}$ et $({10}^2{)}^{100}={10}^{200}$. Donc $A={\displaystyle \frac{{10}^{197}}{{10}^{200}}}={10}^{-3}=0,001$.

1. D'après l'énoncé, $P(T)=0,6$, donc $P(\overline{T})=1-0,6=0,4$. Parmi les clients ayant loué une bicyclette traditionnelle, $25\%$ ont pris une assurance : $P_T(A)=0,25$, donc $P_T(\overline{A})=1-0,25=0,75$.

Arbre complété :

• branche de la racine vers $T$ : $0,6$ ; branche de la racine vers $\overline{T}$ : $0,4$ ;
• branche de $T$ vers $A$ : $0,25$ ; branche de $T$ vers $\overline{A}$ : $0,75$.

Les branches issues de $\overline{T}$ ne comportent pas de pointillés : elles ne sont pas connues à ce stade (la question 5 donne $P_{\overline{T}}(A)$).

2. L'énoncé indique que « $20\%$ de l'ensemble des clients ont pris une assurance ». Donc $P(A)=0,2$.

3. L'événement cherché est $T\cap A$. D'après la formule des probabilités composées (lecture du chemin $T$ puis $A$ sur l'arbre) :

$P(T\cap A)$$=P(T)\times P_T(A)$$=0,6\times 0,25$$=0,15$.

La probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et pris une assurance est bien égale à $0,15$.

4. Les événements $T$ et $\overline{T}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$P(A)=P(T\cap A)+P(\overline{T}\cap A)$, donc $P(\overline{T}\cap A)$$=P(A)-P(T\cap A)$$=0,2-0,15$$=0,05$.

On a bien $P(\overline{T}\cap A)=0,05$.

5. Le client a loué une bicyclette électrique : c'est l'événement $\overline{T}$. On cherche $P_{\overline{T}}(A)$. Par définition d'une probabilité conditionnelle :

$P_{\overline{T}}(A)$$={\displaystyle \frac{P(\overline{T}\cap A)}{P(\overline{T})}}$$={\displaystyle \frac{0,05}{0,4}}$$={\displaystyle \frac{5}{40}}$$={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

La probabilité qu'un client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique est ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ (soit $0,125$). On peut alors compléter l'arbre : $P_{\overline{T}}(A)={\displaystyle \frac{1}{8}}$ et $P_{\overline{T}}(\overline{A})={\displaystyle \frac{7}{8}}$.

1. Affirmation vraie. L'équation $(E)$ : $x^2+x-u^2=0$ est une équation du second degré de coefficients $a=1$, $b=1$ et $c=-u^2$. Son discriminant vaut

$\Delta =b^2-4ac=1^2-4\times 1\times (-u^2)=1+4u^2$.

Pour tout réel $u$, $u^2⩾0$, donc $\Delta =1+4u^2⩾1>0$. Un discriminant strictement positif garantit deux solutions réelles distinctes : quelle que soit la valeur de $u$, $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.

2. Affirmation vraie. Pour tout entier naturel $n$, $u_n=2^{-n}={\displaystyle \frac{1}{2^n}}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$, et

$u_{n+1}=2^{-(n+1)}=2^{-n}\times 2^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n$.

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $(u_n)$ est la suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et de premier terme $u_0=2^0=1$.

3. Affirmation vraie. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$ (la dérivée de la constante $-1$ est nulle). On a $f(0)={\mathrm{e}}^0-1=0$ et $f^{\prime }(0)={\mathrm{e}}^0=1$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$, soit $T$ : $y=x$.

Pour $A(3;3)$ : avec $x=3$, on obtient $y=3$, qui est bien l'ordonnée de $A$. Le point $A$ appartient à la tangente $T$.

1. $\overrightarrow{KP}\left(\begin{array}{c}{x}_P-x_K\\ y_P-y_K\end{array}\right)$, soit $\overrightarrow{KP}\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)$. Le repère étant orthonormé, $\Vert \overrightarrow{KP}\Vert =\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}$, donc $\Vert \overrightarrow{KP}\Vert =3$.

2. $\overrightarrow{KM}\left(\begin{array}{c}x-1\\ 3-0\end{array}\right)$, soit $\overrightarrow{KM}\left(\begin{array}{c}x-1\\ 3\end{array}\right)$, et $\Vert \overrightarrow{KM}\Vert =\sqrt{(x-1{)}^2+3^2}=\sqrt{(x-1{)}^2+9}$.

3. Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ b^{\prime }\end{array}\right)$ est $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }$. Donc

$\overrightarrow{KP}·\overrightarrow{KM}=3\times (x-1)+0\times 3=3x-3$.

On a bien $\overrightarrow{KP}·\overrightarrow{KM}=3x-3$.

4. D'après l'expression du produit scalaire à l'aide du cosinus de l'angle :

$\overrightarrow{KP}·\overrightarrow{KM}=\Vert \overrightarrow{KP}\Vert \times \Vert \overrightarrow{KM}\Vert \times \cos \widehat{PKM}$.

Si $\widehat{PKM}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, alors $\cos \widehat{PKM}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et, avec les questions 1, 2 et 3 :

$3x-3=3\times \sqrt{(x-1{)}^2+9}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$.

En multipliant les deux membres par ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ : ${\displaystyle \frac{2(3x-3)}{3}}=\sqrt{(x-1{)}^2+9}$, c'est-à-dire $2x-2=\sqrt{(x-1{)}^2+9}$.

Donc si $\widehat{PKM}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, le réel $x$ est solution de $(E)$ : $\sqrt{(x-1{)}^2+9}=2x-2$.

5. On calcule séparément les deux membres de $(E)$ pour $x=1+\sqrt{3}$.

• Membre de gauche : $x-1=\sqrt{3}$, donc $(x-1{)}^2+9=3+9=12$ et $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$.
• Membre de droite : $2x-2=2(1+\sqrt{3})-2=2+2\sqrt{3}-2=2\sqrt{3}$.

Les deux membres sont égaux à $2\sqrt{3}$ : le réel $1+\sqrt{3}$ est bien solution de l'équation $(E)$.

Remarque (non demandée) : c'est même la seule solution. Le membre de gauche est positif, donc $2x-2⩾0$, soit $x⩾1$ ; en élevant au carré, $(x-1{)}^2+9=4(x-1{)}^2$, d'où $(x-1{)}^2=3$ et $x-1=\sqrt{3}$. Le point $M(1+\sqrt{3};3)$ est donc l'unique point de la droite d'équation $y=3$ tel que $\widehat{PKM}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.