Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Diffraction et interférences

Diffraction par une ouverture ou un obstacle et angle caractéristique θ = λ/a ; superposition de deux ondes, cohérence et déphasage ; interférences constructives et destructives de deux sources en phase ; fentes d’Young, différence de chemin optique et interfrange ; mesures d’une longueur d’onde, d’une largeur ou d’un écartement.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : la houle à l’entrée d’un port, le diamètre d’un cheveu avec son incertitude, une figure d’interférences dans une cuve à ondes, la longueur d’onde d’une diode laser par traitement d’image, et la lecture des disques CD et Blu-ray.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

J’identifie le phénomène : une onde qui s’étale après une ouverture (diffraction) ou deux ondes cohérentes qui se superposent (interférences).
Je convertis toutes les longueurs en mètres (nm, µm, mm, pixels avec l’échelle) et je calcule λ = v/f si besoin.
Je choisis la relation : θ = λ/a et θ ≈ L/(2D) ; δ = d₂ − d₁ et le quotient δ/λ ; i = λD/b, en mesurant i sur le plus grand nombre de franges.
Je résous littéralement, puis je calcule avec le bon nombre de chiffres significatifs, et j’associe une incertitude quand on me la demande.
Je contrôle : angle petit en radians, ordre de grandeur des taches et des franges, couleur cohérente avec λ, hypothèses (sources en phase, petits angles).

Problème 1 · La houle à l’entrée d’un port★★★Facile

Une houle de période

T = 6, 0

s arrive face à l’entrée d’un port, large de

a = 210

m. À cet endroit, peu profond, elle se propage à la célérité

v = 7, 0

m·s⁻¹. Derrière l’entrée, la houle s’étale : on estime son ouverture par l’angle caractéristique

θ = \frac{λ}{a}

, en gardant en tête que cette relation n’est qu’approchée dès que l’angle n’est plus petit.

1. Longueur d’onde de la houle : λ = m
$λ = v T = 7, 0 \times 6, 0 =$ 42 m.
2. La diffraction à l’entrée du port est (marquée / négligeable)
$\frac{a}{λ} = \frac{210}{42} = 5$ : l’entrée n’est que 5 fois plus large que $λ$ , la diffraction est marquée.
3. Angle caractéristique : θ = rad
$θ = \frac{42}{210} =$ 0,20 rad.
4. Cet angle, converti en degrés : θ ≈ °
$0, 20 \times \frac{180}{π} \approx$ 11° : la houle atteint des zones du bassin qui ne sont pas face à l’entrée.
5. On prolonge une digue pour réduire l’entrée à 105 m : θ = rad
$θ = \frac{42}{105} =$ 0,40 rad : rétrécir l’entrée réduit l’énergie qui entre, mais la houle s’étale davantage dans le bassin.
6. Une houle de tempête de période 10 s, à la même célérité, est (plus / moins) diffractée par l’entrée de 105 m
$λ = 7, 0 \times 10 = 70$ m, plus grande : $\frac{λ}{a} = \frac{70}{105} \approx 0, 67$ , la houle de tempête est plus diffractée (l’angle n’est plus petit : ce n’est qu’un ordre de grandeur).

Problème 2 · Mesurer le diamètre d’un cheveu★★★Moyen

Un laser de longueur d’onde

λ

inconnue éclaire successivement des fentes calibrées, puis un cheveu tendu verticalement. L’écran est à

D = 2, 50

m.
Document 1 — Étalonnage.

$a$ (µm)	45	75	150	250
$L$ (mm)	70,6	42,3	21,2	12,7

Document 2 — Cheveu. La tache centrale mesure

L_{c} = 38, 5

mm, avec une incertitude-type

u (L) = 1

mm ; l’incertitude-type sur

D

vaut

u (D) = 1

cm. On néglige l’incertitude sur

λ

et on admet :

\frac{u (d)}{d} = \sqrt{{(\frac{u (L)}{L})}^{2} + {(\frac{u (D)}{D})}^{2}}

1. Valeur moyenne du produit L × a sur les quatre fentes : × 10⁻⁶ m²
Produits (en mm·µm) : $70, 6 \times 45 = 3 177$ ; $42, 3 \times 75 = 3 172, 5$ ; $21, 2 \times 150 = 3 180$ ; $12, 7 \times 250 = 3 175$ . Constant aux erreurs de mesure près : $L$ est inversement proportionnelle à $a$ . Moyenne $3 176$ mm·µm, soit 3,18 × 10⁻⁶ m².
2. Longueur d’onde du laser déduite de l’étalonnage : λ = nm
$L = \frac{2 λ D}{a}$ donne $L \times a = 2 λ D$ , d’où $λ = \frac{3, 176 \times 10^{- 6}}{2 \times 2, 50} \approx 6, 35 \times 10^{- 7}$ m : 635 nm (rouge).
3. Diamètre du cheveu : d = µm
Un cheveu donne la même figure qu’une fente de même largeur : $d = \frac{2 λ D}{L_{c}} = \frac{3, 176 \times 10^{- 6}}{38, 5 \times 10^{- 3}} \approx 8, 25 \times 10^{- 5}$ m, soit 82,5 µm.
4. Incertitude-type sur le diamètre : u(d) = µm
$\frac{u (L)}{L} = \frac{1}{38, 5} \approx 0, 026$ et $\frac{u (D)}{D} = \frac{0, 01}{2, 50} = 0, 004$ : $\frac{u (d)}{d} = \sqrt{0, 026^{2} + 0, 004^{2}} \approx 0, 026$ , donc $u (d) \approx 0, 026 \times 82, 5 \approx$ 2,2 µm. La mesure de $L$ domine l’incertitude.
5. Un élève place l’écran à 0,50 m pour avoir une figure plus compacte : la tache centrale ne mesure plus que mm
$L' = \frac{2 λ D'}{d} = \frac{2 \times 635 \times 10^{- 9} \times 0, 50}{8, 25 \times 10^{- 5}} \approx$ 7,7 mm.
6. L’incertitude relative sur L passe alors à environ %
La lecture reste incertaine de 1 mm : $\frac{1}{7, 7} \approx 0, 13$ , soit 13 % au lieu de 2,6 %. Plus l’écran est loin, plus la tache est grande et plus la mesure relative est précise.

Problème 3 · Une figure d’interférences dans une cuve à ondes★★★Moyen

Deux pointes

S_{1}

S_{2}

, fixées sur une même fourche, frappent en phase la surface de l’eau à la fréquence

f = 15

Hz. Elles sont distantes de

S_{1} S_{2} = 7, 0

cm. La célérité des ondes vaut

v = 0, 24

m·s⁻¹ et on la suppose indépendante de la fréquence. Pour un point M, on note

d_{1} = S_{1} M

d_{2} = S_{2} M

1. Longueur d’onde : λ = cm
Les pointes, fixées sur la même fourche, sont cohérentes et en phase. $λ = \frac{0, 24}{15} = 1, 6 \times 10^{- 2}$ m, soit 1,6 cm.
2. Point M (d₁ = 8,3 cm ; d₂ = 13,1 cm) : amplitude (maximale / quasi nulle / intermédiaire)
$δ = 4, 8$ cm et $\frac{δ}{λ} = 3$ , entier : amplitude maximale.
3. Point N (d₁ = 5,9 cm ; d₂ = 9,9 cm) : amplitude (maximale / quasi nulle / intermédiaire)
$δ = 4, 0$ cm et $\frac{δ}{λ} = 2, 5$ , demi-entier : N reste quasi immobile.
4. Sur le segment [S₁S₂], distance entre deux points voisins d’amplitude maximale : cm
Pour P sur le segment avec $S_{1} P = x$ : $d_{1} = x$ , $d_{2} = 7, 0 - x$ , donc $δ = 7, 0 - 2 x$ . Maximum si $δ = k λ$ , soit $x_{k} = \frac{7, 0 - k λ}{2}$ : deux maxima voisins sont distants de $\frac{λ}{2} =$ 0,8 cm.
5. Nombre de points d’amplitude maximale strictement entre S₁ et S₂ :
Il faut $0 < x_{k} < 7, 0$ , soit $| k λ | < 7, 0$ , donc $| k | < \frac{7, 0}{1, 6} = 4, 375$ : $k = - 4, \dots, 4$ , soit 9 points.
6. On double la fréquence du vibreur : le point N vibre alors avec une amplitude (maximale / quasi nulle / intermédiaire)
$λ' = \frac{0, 24}{30} = 0, 8$ cm et $\frac{4, 0}{0, 8} = 5$ , entier : N devient un point d’amplitude maximale.
7. Nombre de maxima strictement entre S₁ et S₂ à cette nouvelle fréquence :
$| k | < \frac{7, 0}{0, 8} = 8, 75$ : $k = - 8, \dots, 8$ , soit 17 maxima. La figure est deux fois plus serrée.

Problème 4 · La longueur d’onde d’une diode laser par traitement d’image★★★Difficile

Une diode laser éclaire deux fentes d’Young distantes de

b = 0, 48

mm ; l’écran est à

D = 2, 10

m. Une photographie de la figure est analysée par un logiciel de traitement d’image. Échelle : 100 pixels correspondent à

3, 50

mm sur l’écran.
Document — Positions de maxima d’intensité consécutifs.

Maximum	Position (px)
1	112
2	188
3	264
4	340
5	416
6	492

Dans un milieu d’indice

n

, la différence de chemin optique en un point d’abscisse

x

vaut

δ = \frac{n b x}{D}

; dans l’air,

n = 1, 00

1. Distance entre le premier et le sixième maximum, sur l’écran : mm
$492 - 112 = 380$ px, soit $380 \times \frac{3, 50}{100} =$ 13,3 mm.
2. Interfrange : i = mm
Six maxima consécutifs délimitent cinq interfranges : i = 13,3 ÷ 5 = 2,66 mm. Mesurer entre les maxima extrêmes réduit l’incertitude relative.
3. Longueur d’onde de la diode : λ = nm
Franges brillantes : $\frac{n b x_{k}}{D} = k λ$ , donc $x_{k} = \frac{k λ D}{n b}$ et, dans l’air, $i = \frac{λ D}{b}$ . D’où $λ = \frac{i b}{D} = \frac{2, 66 \times 10^{- 3} \times 0, 48 \times 10^{- 3}}{2, 10} \approx 6, 08 \times 10^{- 7}$ m : 608 nm (orangé).
4. On masque l’une des fentes. Un point qui était au centre d’une frange sombre devient (éclairé / sombre)
Une frange sombre reçoit les deux ondes, en opposition de phase. Une fente masquée, il n’y a plus de superposition : le point reçoit la lumière diffractée par la fente restante et devient éclairé. On voit la seule figure de diffraction, sans franges.
5. Tout le dispositif est plongé dans l’eau (n = 1,33) : i′ = mm
$i' = \frac{λ D}{n b} = \frac{i}{n} = \frac{2, 66}{1, 33} =$ 2,00 mm. La fréquence ne change pas mais la longueur d’onde dans l’eau est divisée par $n$ : les franges se resserrent, leur couleur ne change pas.

Problème 5 · Du CD au disque Blu-ray★★★Difficile

Les données d’un disque optique sont gravées sous forme de creux dans une couche de polycarbonate d’indice

n = 1, 55

.
Document 1 — Taille du spot. Le laser est focalisé par une lentille. À cause de la diffraction par la monture de la lentille, la tache lumineuse sur le disque a un diamètre minimal

d \approx \frac{1, 22 λ_{0}}{ON}

, où

λ_{0}

est la longueur d’onde dans le vide et ON l’ouverture numérique de la lentille, qui augmente avec son diamètre.
Document 2 — Caractéristiques.

Support	$λ_{0}$	ON	Capacité
CD	780 nm	0,45	700 Mo
Blu-ray	405 nm	0,85	25 Go

Document 3 — Lecture. Une partie du faisceau se réfléchit au fond d’un creux de profondeur

e

, l’autre sur le plat voisin. La différence de chemin optique entre les deux ondes réfléchies vaut

δ = 2 n e

. Un creux est détecté lorsque ces deux ondes interfèrent de façon destructive.

1. Une lentille de plus grand diamètre donne une tache (plus petite / plus grande)
La monture joue le rôle d’une ouverture de largeur $a$ : $θ = \frac{λ}{a}$ diminue quand $a$ augmente, le faisceau converge plus finement : tache plus petite. Une longueur d’onde plus courte agit dans le même sens.
2. Diamètre minimal de la tache pour le CD : µm
$d = \frac{1, 22 \times 780}{0, 45} \approx 2 115$ nm, soit 2,11 µm.
3. Diamètre minimal de la tache pour le Blu-ray : µm
$d = \frac{1, 22 \times 405}{0, 85} \approx 581$ nm, soit 0,581 µm.
4. À surface égale, le nombre de creux lisibles est multiplié par environ du CD au Blu-ray
Il est inversement proportionnel à la surface de la tache, donc à $d^{2}$ : ${(\frac{2 115}{581})}^{2} \approx 13, 2$ , soit environ 13. Le rapport des capacités, $\frac{25 000}{700} \approx 36$ , est plus grand : d’autres progrès (pistes plus serrées, codage plus efficace) s’ajoutent.
5. Profondeur minimale d’un creux de CD : e = nm
Destructives : $2 n e = (k + \frac{1}{2}) λ_{0}$ ; la profondeur minimale ( $k = 0$ ) vaut $e = \frac{λ_{0}}{4 n} = \frac{780}{4 \times 1, 55} \approx$ 126 nm.
6. Un creux de Blu-ray, éclairé à 780 nm, donne δ/λ₀ ≈
Creux du Blu-ray : $e = \frac{405}{4 \times 1, 55} \approx 65, 3$ nm, d’où $δ = 2 n e = \frac{405}{2} = 202, 5$ nm et $\frac{202, 5}{780} \approx$ 0,26 : ni demi-entier, ni proche. L’interférence n’est pas destructive, et la tache de 2,11 µm couvre plusieurs creux : un lecteur de CD ne peut pas lire un Blu-ray.

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