Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Décroissance radioactive et demi-vie

Stabilité des noyaux et diagramme (N, Z) ; désintégrations α, β⁻, β⁺ et émission γ ; caractère aléatoire et loi de décroissance établie par une équation différentielle ; temps de demi-vie et courbe de décroissance ; activité ; datation, applications médicales et radioprotection.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : le radon dans une cave, une scintigraphie au technétium 99m produit par un générateur, la mesure d’une demi-vie au compteur avec correction du bruit de fond, la préparation d’une dose de fluor 18 pour une tomographie par émission de positons, et une simulation des désintégrations en Python.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère le noyau et ce qu’il émet : type de désintégration, demi-vie, et ce qui est donné au départ (activité, masse, nombre de noyaux, comptage).
Je choisis l’unité de temps : $λ$ en $s^{- 1}$ dès qu’une activité en becquerels intervient, sinon l’unité de l’énoncé.
J’écris la loi utile : $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ , $A (t) = A_{0} e^{- λ t}$ , $A = λ N$ , $N = \frac{m}{M} N_{A}$ .
J’isole l’inconnue : une durée avec le logarithme, une valeur initiale en « remontant le temps » ( $A_{0} = A \times 2^{t / t_{1 / 2}}$ ).
Je contrôle avec le nombre de demi-vies écoulées, puis je conclus dans le contexte (dose, sécurité, datation).

Problème 1 · Le radon dans une cave★★★Facile

Le radon 222 (

Z = 86

), gaz radioactif naturel, est produit dans le sol par la désintégration du radium 226 (

Z = 88

). Il est lui-même émetteur

α

, de demi-vie

t_{1 / 2} = 3, 82

jours. En France, le niveau de référence de l’activité volumique du radon dans les bâtiments est de 300

B q \cdot m^{- 3}

(moyenne annuelle). Dans une cave de volume

V = 60, 0 m^{3}

, on mesure 450

B q \cdot m^{- 3}

. Données : polonium

Z = 84

; 1 j = 86 400 s.

1. En se désintégrant en radon 222, le radium 226 émet un noyau d’
$A$ : $226 - 222 = 4$ ; $Z$ : $88 - 86 = 2$ : la particule est un noyau d’hélium 4. $_{88}^{226} R a \to_{86}^{222} R n +_{2}^{4} H e$ .
2. Le radon 222 donne, par désintégration α, du polonium de nombre de masse
$A = 222 - 4 = 218$ et $Z = 86 - 2 = 84$ : polonium 218, $_{86}^{222} R n \to_{84}^{218} P o +_{2}^{4} H e$ .
3. Activité totale du radon présent dans la cave : × 10⁴ Bq
L’activité volumique est l’activité par mètre cube : $A = 450 \times 60, 0$ , soit 2,70 × 10⁴ Bq.
4. Nombre de noyaux de radon 222 dans la cave : × 10¹⁰
$t_{1 / 2} = 3, 82 \times 86 400 \approx 3, 300 \times 10^{5}$ s, $λ = \frac{\ln 2}{3, 300 \times 10^{5}} \approx 2, 10 \times 10^{- 6} s^{- 1}$ , donc $N = \frac{A}{λ} \approx$ 1,29 × 10¹⁰ noyaux, environ $2 \times 10^{- 14}$ mol : une quantité de matière infime.
5. On enferme 1,00 L d’air de la cave dans un flacon étanche, sans radium. Durée au bout de laquelle l’activité volumique devient inférieure au niveau de référence : jours
Dans le flacon, le radon n’est plus renouvelé : $a (t) = 450 e^{- λ t}$ avec $λ = \frac{\ln 2}{3, 82} \approx 0, 1815 j^{- 1}$ . $a (t) < 300$ équivaut à $t > \frac{1}{λ} \ln \frac{450}{300} = \frac{0, 4055}{0, 1815} \approx$ 2,23 jours.
6. Dans la cave, l’activité ne diminue pas ainsi, car le radium du sol (1 600 ans de demi-vie) du radon en permanence.
Le radium produit du radon en continu : les désintégrations sont compensées par un apport permanent. L’activité ne baisse que si l’on renouvelle l’air ou si l’on empêche le radon d’entrer.
7. Les particules α sont arrêtées par la peau ; le radon est pourtant dangereux, car il est
Le radon est inhalé : lui et ses descendants solides (polonium, plomb, bismuth) se désintègrent au contact des tissus des poumons, que les particules $α$ ionisent fortement sur une faible épaisseur ; c’est la deuxième cause de cancer du poumon en France après le tabac. Mesures : aérer et ventiler, rendre étanches le sol et les fissures.

Problème 2 · Scintigraphie osseuse au technétium 99m★★★Moyen

Dans un service de médecine nucléaire, le technétium 99m est obtenu grâce à un « générateur » contenant du molybdène 99 (

Z = 42

t_{1 / 2} = 65, 9

h), qui se désintègre en technétium 99m (

Z = 43

t_{1 / 2} = 6, 01

h). Le technétium 99m se désexcite en technétium 99 en émettant un rayonnement détecté par une caméra placée près du patient. On injecte à un patient une activité

A_{0} = 555

MBq de technétium 99m ; l’examen a lieu 3,00 h plus tard. Données :

M (Tc) = 99, 0 g \cdot m o l^{- 1}

;

N_{A} = 6, 022 \times 10^{23} m o l^{- 1}

1. Type de radioactivité du molybdène 99 :
$Z$ passe de 42 à 43 sans changement de $A$ : radioactivité β⁻. $_{42}^{99} M o \to_{43}^{99 m} T c +_{- 1}^{0} e + {\overset{―}{ν}}_{e}$ .
2. $_{43}^{99 m} T c \to_{43}^{99} T c +$
Désexcitation : émission d’un photon γ, sans changement de $A$ ni de $Z$ . Très pénétrant, il sort du corps et atteint la caméra ; sans émission $α$ ni $β$ , l’énergie déposée dans l’organisme reste faible.
3. Activité de technétium 99m dans l’organisme au moment de l’examen : MBq
On néglige l’élimination biologique : $A = 555 \times 2^{- 3, 00 / 6, 01} = 555 \times 0, 7075 \approx$ 393 MBq.
4. Nombre de noyaux de technétium 99m injectés : × 10¹³
$t_{1 / 2} = 6, 01 \times 3 600 \approx 2, 164 \times 10^{4}$ s, $λ \approx 3, 20 \times 10^{- 5} s^{- 1}$ ; $N_{0} = \frac{A_{0}}{λ} = \frac{5, 55 \times 10^{8}}{3, 20 \times 10^{- 5}} \approx$ 1,73 × 10¹³.
5. Masse de technétium 99m injectée : ng
$m = \frac{N_{0}}{N_{A}} M = \frac{1, 73 \times 10^{13}}{6, 022 \times 10^{23}} \times 99, 0 \approx 2, 85 \times 10^{- 9}$ g, soit 2,85 ng : chimiquement négligeable.
6. Durée au bout de laquelle l’activité injectée devient inférieure à 0,1 % de A₀ : h
$2^{- t / t_{1 / 2}} < 10^{- 3}$ équivaut à $t > t_{1 / 2} \frac{\ln 1 000}{\ln 2} = 6, 01 \times 9, 966 \approx$ 59,9 h, environ deux jours et demi.
7. Le générateur sert 7 jours. Pourcentage de son activité initiale en molybdène 99 qui subsiste alors : %
$\frac{A}{A_{0}} = 2^{- 168 / 65, 9} \approx 0, 171$ : 17,1 %. Le technétium 99m perdrait la moitié de son activité toutes les 6 h pendant un transport ; le molybdène, de demi-vie onze fois plus longue, en produit sur place pendant une semaine : on « trait » le générateur chaque jour.

Problème 3 · Mesurer une demi-vie avec un compteur★★★Moyen

Dans un minigénérateur, du césium 137 (

t_{1 / 2} = 30, 1

ans), émetteur

β^{-}

, donne du baryum 137m, un noyau de baryum 137 dans un état excité. En faisant passer une solution adaptée dans le générateur, on recueille le baryum (on « élue » le générateur), le césium restant fixé. Un compteur placé devant la solution compte les photons émis par le baryum 137m pendant 10 s, toutes les minutes. Sans aucune source, il compte en moyenne 6 coups en 10 s.

t (s)	0	60	120	180	240	300	360
coups en 10 s	406	311	238	183	141	109	84

Les valeurs sont des moyennes de plusieurs élutions identiques.

1. $_{56}^{137 m} B a \to_{56}^{137} B a +$
Le baryum 137m se désexcite en émettant un photon γ : ni $A$ ni $Z$ ne changent.
2. Les 6 coups comptés sans source constituent le
C’est le bruit de fond : radioactivité naturelle de l’environnement (sol, murs, radon) et rayonnement cosmique. Il ne vient pas du baryum et doit être retranché.
3. Nombre de coups dus au baryum à t = 300 s :
$109 - 6 =$ 103. Le nombre de coups dus au baryum est proportionnel à son activité.
4. Constante radioactive du baryum 137m, calculée avec les mesures à 0 et à 300 s : × 10⁻³ s⁻¹
À $t = 0$ : $406 - 6 = 400$ coups dus au baryum. $λ = \frac{1}{300} \ln \frac{400}{103} = \frac{1, 357}{300} \approx$ 4,52 × 10⁻³ s⁻¹.
5. Demi-vie du baryum 137m : min
$t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ} \approx 153$ s, soit 2,55 min. Contrôle : en 180 s, un peu plus d’une demi-vie, les coups nets passent de 400 à 177, un peu moins de la moitié.
6. Sans retrancher le bruit de fond, on trouverait une demi-vie trop
Avec les valeurs brutes : $\frac{1}{300} \ln \frac{406}{109}$ donne $t_{1 / 2} \approx 158$ s : trop longue. Le bruit de fond, constant, pèse de plus en plus quand le comptage baisse et ralentit la décroissance apparente.
7. Le césium 137 reste dans le générateur. Au bout de quelques dizaines de minutes, on peut à nouveau éluer, car le baryum 137m s’y est
Le césium, de demi-vie 30,1 ans, se désintègre sans cesse en baryum 137m : celui-ci s’est reformé. Une dizaine de demi-vies du baryum (environ 25 min) suffisent pour retrouver presque toute l’activité.

Problème 4 · Préparer une dose pour une TEP★★★Difficile

Le fluor 18, émetteur

β^{+}

de demi-vie

t_{1 / 2} = 109, 8

min (

M = 18, 0 g \cdot m o l^{- 1}

), est produit dans un cyclotron, puis fixé sur une molécule proche du glucose qui se concentre dans les cellules très actives. Un patient doit recevoir une activité de 250 MBq à 11 h 15 ; la production s’achève à 7 h 00, dans un centre situé à 2 h 30 de route. Donnée :

N_{A} = 6, 022 \times 10^{23} m o l^{- 1}

1. Durée entre la fin de la production et l’injection : min
De 7 h 00 à 11 h 15 : 4 h 15 min, soit 255 min.
2. Activité à préparer à 7 h 00 (on néglige les pertes) : × 10³ MBq
$A_{inj} = A_{prod} \times 2^{- 255 / 109, 8}$ , donc $A_{prod} = 250 \times 2^{255 / 109, 8} = 250 \times 5, 00 \approx$ 1,25 × 10³ MBq : il faut produire cinq fois la dose.
3. Nombre de noyaux de fluor 18 dans la dose injectée : × 10¹²
$λ = \frac{\ln 2}{109, 8 \times 60} = \frac{0, 6931}{6 588} \approx 1, 052 \times 10^{- 4} s^{- 1}$ ; $N = \frac{2, 50 \times 10^{8}}{1, 052 \times 10^{- 4}} \approx$ 2,38 × 10¹².
4. Masse de fluor 18 injectée : × 10⁻¹¹ g
$m = \frac{N}{N_{A}} M = \frac{2, 38 \times 10^{12}}{6, 022 \times 10^{23}} \times 18, 0 \approx$ 7,1 × 10⁻¹¹ g, soit 71 picogrammes.
5. Pourcentage de l’activité injectée qui subsiste 24 h après l’injection : %
24 h = 1 440 min, soit $\frac{1 440}{109, 8} \approx 13, 11$ demi-vies : $2^{- 13, 11} \approx 1, 13 \times 10^{- 4}$ , soit 0,0113 % (environ $2, 8 \times 10^{4}$ Bq, avant même l’élimination urinaire).
6. Un élève affirme : « au bout de 2 × 109,8 min, la dose a disparu ». Il reste en réalité MBq.
Deux demi-vies divisent l’activité par 4 : $\frac{250}{4} =$ 62,5 MBq. La décroissance est exponentielle : l’activité ne devient jamais nulle, seulement négligeable après une dizaine de demi-vies.
7. Le positon s’annihile avec un électron en deux photons γ émis dans des sens : la source est sur la droite qui joint les deux détecteurs touchés.
Le positon parcourt moins de quelques millimètres : l’annihilation a lieu presque au point d’émission. Les deux photons partent dans des sens opposés et frappent simultanément deux détecteurs face à face de l’anneau ; l’intersection de nombreuses droites localise la zone émettrice.

Problème 5 · Simuler des désintégrations en Python★★★Difficile

On modélise un échantillon de

N_{0} = 2 000

noyaux. À chaque pas de temps

Δ t = 1, 0

min, chaque noyau encore présent a une probabilité

p = 0, 050

de se désintégrer, indépendamment des autres. La fonction random.random() renvoie un nombre aléatoire uniformément réparti entre 0 et 1.

import random
N0 = 2000
p = 0.05
N = N0
k = 0
while N > N0 / 2:
    d = 0
    for i in range(N):
        if random.random() < p:
            d = d + 1
    N = N - d
    k = k + 1
print(k)

1. La variable d compte, à chaque pas, le nombre de
Le test random.random() < p est vrai avec la probabilité $p$ : il simule, pour chaque noyau, l’événement « se désintégrer pendant ce pas ». d compte les désintégrations du pas ; la boucle s’arrête dès que la moitié des noyaux au moins a disparu, et k est alors la demi-vie simulée, en minutes.
2. En moyenne, le nombre de noyaux restant après k pas vaut N₀ × ᵏ
À chaque pas, une fraction $1 - p$ subsiste : $N_{k + 1} = (1 - p) N_{k}$ , suite géométrique de raison 0,95, donc $N_{k} = N_{0} \times 0, 95^{k}$ .
3. Valeur affichée en moyenne :
$0, 95^{13} \approx 0, 513$ , encore supérieur à 0,5, et $0, 95^{14} \approx 0, 488$ : le programme affiche en moyenne 14 (le seuil exact, $\frac{\ln 0, 5}{\ln 0, 95} \approx 13, 5$ , est franchi au 14^e pas).
4. On pose p = λΔt. Quand Δt tend vers 0, on retrouve dN/dt = −λN, avec ici λ = × 10⁻⁴ s⁻¹
$N (t + Δ t) - N (t) = - p N (t) = - λ N (t) Δ t$ : à la limite, $\frac{d N}{d t} = - λ N$ , avec $λ = \frac{p}{Δ t} = 0, 050 m i n^{- 1}$ , soit $\frac{0, 050}{60} \approx$ 8,3 × 10⁻⁴ s⁻¹.
5. Demi-vie du modèle continu correspondant : min
$t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{0, 050} \approx$ 13,9 min. Le modèle à pas d’une minute donne 13,5 : l’écart vient de ce que $Δ t$ n’est pas assez petit devant $t_{1 / 2}$ . Pour s’en rapprocher, on prend $Δ t = 0, 1$ min et p = 0.005, en affichant k * 0.1.
6. Deux exécutions ne donnent pas toujours le même résultat ; avec N₀ = 20 au lieu de 2 000, ces écarts relatifs seraient plus
Chaque désintégration est aléatoire : le nombre de désintégrations par pas fluctue autour de $p N$ . On admet que l’écart relatif varie comme $\frac{1}{\sqrt{N}}$ : il est environ 10 fois plus grand avec 20 noyaux. La loi de décroissance ne décrit bien que les grandes populations.

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