Qu'est-ce que la radioactivité au programme de terminale ?

La radioactivité est la désintégration spontanée et aléatoire d'un noyau instable en un noyau plus stable, avec émission d'une particule α (noyau d'hélium 4), β⁻ (électron) ou β⁺ (positon), souvent suivie d'un rayonnement γ. En terminale, on écrit les équations de désintégration en conservant A et Z, puis on modélise l'évolution du nombre de noyaux par la loi N(t) = N₀·e^(−λt).

Comment calculer la demi-vie d'un noyau radioactif ?

La demi-vie t½ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée. Elle se calcule à partir de la constante radioactive : t½ = ln 2 / λ. Sur une courbe N(t) ou A(t), on lit la date à laquelle la grandeur vaut la moitié de sa valeur initiale.

Quelle différence entre les radioactivités α, β⁻ et β⁺ ?

En radioactivité α, le noyau éjecte un noyau d'hélium 4 : A diminue de 4 et Z de 2 (noyaux lourds). En β⁻, un neutron se transforme en proton avec émission d'un électron : Z augmente de 1 (noyaux trop riches en neutrons). En β⁺, un proton se transforme en neutron avec émission d'un positon : Z diminue de 1 (noyaux trop riches en protons).

Comment dater un échantillon avec le carbone 14 ?

On compare l'activité A de l'échantillon, par gramme de carbone, à celle A₀ d'un organisme vivant, puis on résout A = A₀·e^(−λt), ce qui donne t = ln(A₀/A) / λ avec λ = ln 2 / 5 730 an⁻¹. La méthode est utilisable jusqu'à environ 50 000 ans ; au-delà, il ne reste plus assez de carbone 14 mesurable.

Quel lien entre la décroissance radioactive et la cinétique chimique ?

La décroissance radioactive suit la même loi qu'une réaction chimique d'ordre 1 : la vitesse de disparition est proportionnelle à la quantité présente, d'où une évolution exponentielle et un temps de demi-vie indépendant de la quantité initiale. Différence essentielle : la constante radioactive λ ne dépend ni de la température ni de l'état chimique, contrairement à la constante de vitesse d'une réaction.

Spécialité Physique-Chimie Terminale

Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Transformation nucléaire : décroissance radioactive et demi-vie

Radioactivité α, β⁻, β⁺, loi de décroissance exponentielle, demi-vie, activité, datation et applications (thème Constitution et transformations de la matière)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité physique-chimie en terminale sur « Transformation nucléaire : décroissance radioactive et demi-vie » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Stabilité des noyaux : le diagramme (N, Z), Radioactivités α, β⁻, β⁺ et émission γ, Loi de décroissance, demi-vie et activité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité physique-chimie.

L'essentiel

Noyau et notation. Un noyau

_{Z}^{A} X

contient

Z

protons (numéro atomique) et

N = A - Z

neutrons ;

A

est le nombre de nucléons. Des isotopes ont le même

Z

et des

A

différents. Rappel de 2nde : la fission et la fusion sont d'autres transformations nucléaires ; ce chapitre traite des désintégrations spontanées.

Radioactivité. Un noyau instable se transforme spontanément en un noyau fils plus stable en émettant une particule (

α

β^{-}

β^{+}

), souvent suivie d'un rayonnement

γ

. Cette désintégration est aléatoire : on ne peut pas prévoir la date à laquelle un noyau donné se désintègre.

Lois de conservation. Au cours d'une transformation nucléaire, le nombre total de nucléons

A

et le nombre total de charge

Z

se conservent.

Loi de décroissance radioactive.

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

; demi-vie

t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ}

; activité

A (t) = λ N (t) = A_{0} e^{- λ t}

, en becquerels (1 Bq = 1 désintégration par seconde).

Stabilité des noyaux : le diagramme (N, Z)

Diagramme (N, Z). On place chaque noyau connu par son numéro atomique

Z

(abscisse) et son nombre de neutrons

N

(ordonnée). Les noyaux stables forment une bande étroite, la vallée de stabilité : proche de la droite

N = Z

pour

Z < 20

, puis au-dessus (

N > Z

) pour les noyaux plus lourds. Au-delà du plomb (

Z = 82

), tous les noyaux sont radioactifs (le bismuth 209 l'est très faiblement).

Exemple. Le plomb 208 stable (

Z = 82

N = 126

) a un rapport

N / Z \approx 1, 54

. Le carbone 12 et le carbone 13 sont stables ; le carbone 14 (6 protons, 8 neutrons) a trop de neutrons, le carbone 11 (6 protons, 5 neutrons) trop de protons : tous deux sont radioactifs.

Position dans le diagramme	Défaut du noyau	Désintégration	Effet sur (Z ; N)
au-dessus de la vallée	excès de neutrons	$β^{-}$	$Z + 1$ ; $N - 1$
en dessous de la vallée	excès de protons	$β^{+}$	$Z - 1$ ; $N + 1$
noyaux lourds ( $A$ supérieur à 200 environ)	trop de nucléons	$α$	$Z - 2$ ; $N - 2$

Chaque désintégration rapproche le noyau de la vallée ; une famille radioactive enchaîne plusieurs désintégrations jusqu'à un noyau stable.

Radioactivités α, β⁻, β⁺ et émission γ

Radioactivité α. Émission d'un noyau d'hélium

_{2}^{4} H e

_{Z}^{A} X \to_{Z - 2}^{A - 4} Y +_{2}^{4} H e

Exemple.

_{90}^{232} T h \to_{88}^{228} R a +_{2}^{4} H e

232 = 228 + 4

90 = 88 + 2

Radioactivité β⁻. Dans le noyau, un neutron se transforme en proton :

_{0}^{1} n \to_{1}^{1} p +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}

. Le noyau émet un électron (et un antineutrino, de charge et de nombre de masse nuls) :

_{Z}^{A} X \to_{Z + 1}^{A} Y +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}

Exemple.

_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}

Radioactivité β⁺. Un proton se transforme en neutron : le noyau émet un positon

_{1}^{0} e

(antiparticule de l'électron) et un neutrino :

_{Z}^{A} X \to_{Z - 1}^{A} Y +_{1}^{0} e + ν_{e}

Exemple. Le phosphore 30, premier noyau radioactif artificiel (Irène et Frédéric Joliot-Curie, 1934) :

_{15}^{30} P \to_{14}^{30} S i +_{1}^{0} e + ν_{e}

Émission γ. Le noyau fils est souvent formé dans un état excité (noté *) ; il se désexcite en émettant un photon de haute énergie, sans changer ni

A

Z

Exemple. Après la désintégration

β^{-}

du cobalt 60 :

_{28}^{60} {N i}^{*} \to_{28}^{60} N i + γ

Loi de décroissance, demi-vie et activité

On cherche à modéliser l'évolution temporelle d'un système siège d'une transformation nucléaire : un échantillon contenant $N (t)$ noyaux radioactifs identiques.

Caractère aléatoire. Pendant une courte durée

Δ t

, chaque noyau a la même probabilité

λ Δ t

de se désintégrer, indépendamment de son âge, des autres noyaux, de la température ou de l'état chimique.

λ

est la constante radioactive (en

s^{- 1}

a n^{- 1}

). Seul le comportement d'un grand nombre de noyaux est prévisible.

Loi de décroissance (démonstration exigible). Pendant

Δ t

, le nombre moyen de désintégrations vaut

λ N (t) Δ t

, donc

N (t + Δ t) - N (t) = - λ N (t) Δ t

. En divisant par

Δ t

et en faisant tendre

Δ t

vers 0 :

\frac{d N}{d t} = - λ N

. Cette équation différentielle du type

y^{'} = a y

(avec

a = - λ

) a pour solutions

N (t) = C e^{- λ t}

. La condition initiale

N (0) = N_{0}

donne

C = N_{0}

, d'où

N (t) = N_{0} e^{- λ t} .

Demi-vie (démonstration exigible).

t_{1 / 2}

est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux s'est désintégrée :

N_{0} e^{- λ t_{1 / 2}} = \frac{N_{0}}{2}

, donc

e^{λ t_{1 / 2}} = 2

t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ} .

Après

n

demi-vies, il reste

\frac{N_{0}}{2^{n}}

noyaux : 50 % après 1, 25 % après 2, 12,5 % après 3, environ 0,1 % après 10.

Activité.

A (t) = - \frac{d N}{d t} = λ N (t)

: nombre de désintégrations par seconde, en becquerels (Bq) si

λ

est en

s^{- 1}

. Elle décroît selon la même loi :

A (t) = A_{0} e^{- λ t}

, et

\ln A = \ln A_{0} - λ t

est une fonction affine du temps, de coefficient directeur

- λ

Même modèle qu'en cinétique chimique : une réaction d'ordre 1 a aussi une décroissance exponentielle et un temps de demi-réaction indépendant de la quantité initiale. Mais

λ

, lui, ne dépend pas de la température.

Datation, médecine et radioprotection

Radioactivité naturelle et artificielle. Naturelle : noyaux présents dans l'environnement (uranium, thorium, potassium 40, radon, carbone 14). Artificielle : noyaux produits dans un réacteur ou un accélérateur (cobalt 60, technétium 99m, fluor 18…).

Principe de la datation. Si l'on connaît

N_{0}

(ou

A_{0}

) et que l'on mesure

N

(ou

A

), alors

t = \frac{1}{λ} \ln \frac{N_{0}}{N} = \frac{t_{1 / 2}}{\ln 2} \ln \frac{A_{0}}{A}

. On choisit un noyau dont la demi-vie est du même ordre de grandeur que l'âge cherché.

Carbone 14 (

t_{1 / 2} = 5 730

ans). Formé dans la haute atmosphère (

_{7}^{14} N +_{0}^{1} n \to_{6}^{14} C +_{1}^{1} p

), il est absorbé par les êtres vivants, dont la proportion de carbone 14 reste constante (environ

1, 2 \times 10^{- 12}

du carbone). À la mort, les échanges cessent et le carbone 14 décroît : datation de restes organiques jusqu'à environ 50 000 ans.

Potassium-argon (

t_{1 / 2} = 1, 25 \times 10^{9}

ans). Le potassium 40 des roches se désintègre en partie en argon 40, gaz piégé dans la roche solidifiée : datation des roches volcaniques, de quelques centaines de milliers à plusieurs milliards d'années.

Applications médicales. Diagnostic : scintigraphie avec le technétium 99m, émetteur

γ

détecté hors du corps ; tomographie par émission de positons (TEP) avec le fluor 18, émetteur

β^{+}

: le positon s'annihile avec un électron en deux photons

γ

émis en sens opposés. Thérapie : iode 131 (thyroïde), curiethérapie, radiothérapie. On choisit des demi-vies courtes pour limiter l'exposition du patient.

Rayonnement	Arrêté par
$α$	quelques cm d'air, une feuille de papier, la peau
$β^{-}$ , $β^{+}$	quelques mm d'aluminium
$γ$	plusieurs cm de plomb ou des dizaines de cm de béton (atténuation)

Radioprotection. Ces rayonnements sont ionisants : ils peuvent léser les cellules. Trois règles : s'éloigner de la source, réduire la durée d'exposition, interposer un écran. Un émetteur

α

est peu dangereux à l'extérieur du corps, mais très dangereux s'il est inhalé ou ingéré. L'effet biologique se mesure en sieverts (Sv) ; la limite réglementaire pour le public est de 1 mSv par an (hors exposition naturelle et médicale).

Méthodes

Méthode 1 — Écrire une équation de désintégration

Écrire le noyau père et la particule émise ( $α$ : $_{2}^{4} H e$ ; $β^{-}$ : $_{- 1}^{0} e$ ; $β^{+}$ : $_{1}^{0} e$ ).
Calculer $A$ et $Z$ du noyau fils par conservation.
Identifier l'élément grâce à $Z$ (tableau périodique ou données).
Vérifier les deux sommes.

Exemple rédigé. Le césium 137 (

Z = 55

) est émetteur

β^{-}

. Conservation :

A_{fils} = 137 - 0 = 137

Z_{fils} = 55 - (- 1) = 56

, c'est le baryum.

_{55}^{137} C s \to_{56}^{137} B a +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}

. Le baryum est souvent formé excité et émet ensuite un

γ

Méthode 2 — Exploiter la loi de décroissance

Calculer $λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}}$ dans l'unité de temps de l'énoncé.
Pour une fraction restante : $\frac{N}{N_{0}} = e^{- λ t}$ .
Pour une durée : isoler $t = \frac{1}{λ} \ln \frac{N_{0}}{N}$ .

Exemple rédigé. Césium 134,

t_{1 / 2} = 2, 07

ans :

λ = \frac{\ln 2}{2, 07} = 0, 335 a n^{- 1}

. Après 5,00 ans :

\frac{N}{N_{0}} = e^{- 0, 335 \times 5, 00} \approx 0, 187

, il reste 18,7 % des noyaux. Pour qu'il en reste 30 % :

t = \frac{1}{0, 335} \ln \frac{1}{0, 30} \approx

3,60 ans.

Méthode 3 — Dater un échantillon

Identifier $N_{0}$ (ou $A_{0}$ ) : valeur de référence au moment de la « mise à zéro ».
Mesurer $N$ (ou $A$ ) aujourd'hui.
Appliquer $t = \frac{t_{1 / 2}}{\ln 2} \ln \frac{N_{0}}{N}$ et vérifier l'ordre de grandeur (nombre de demi-vies).

Exemple rédigé. Un bois ancien contient 60,0 % du carbone 14 d'un bois vivant :

t = \frac{5 730}{\ln 2} \ln \frac{1}{0, 600} \approx

4,22 × 10³ ans. Cohérent : entre 0 et 1 demi-vie, car il reste plus de 50 %.

Méthode 4 — Passer de la masse à l'activité

Nombre de noyaux : $N = \frac{m}{M} N_{A}$ .
Constante radioactive en $s^{- 1}$ .
$A = λ N$ en Bq.

Exemple rédigé. 1,0 µg d'iode 131 (

M = 131 g \cdot m o l^{- 1}

t_{1 / 2} = 8, 02

j) :

N = \frac{1, 0 \times 10^{- 6}}{131} \times 6, 022 \times 10^{23} = 4, 6 \times 10^{15}

;

λ = \frac{\ln 2}{8, 02 \times 86 400} = 1, 00 \times 10^{- 6} s^{- 1}

;

A = λ N \approx

4,6 × 10⁹ Bq.

Pièges et erreurs classiques

Deux demi-vies ne suffisent pas à tout faire disparaître. Après

2 t_{1 / 2}

, il reste 25 % des noyaux, pas 0 %. La décroissance exponentielle ne s'annule jamais.

La demi-vie est une constante du noyau. Elle ne dépend ni de la masse de l'échantillon, ni de

N_{0}

, ni de la température, ni de la date de début de l'observation.

Unités cohérentes. Pour obtenir des becquerels,

λ

doit être en

s^{- 1}

. Dans

e^{- λ t}

λ

t

utilisent la même unité de temps.

Signe de Z. En

β^{-}

Z

augmente de 1 ; en

β^{+}

Z

diminue de 1. L'électron

β^{-}

vient du noyau, pas du cortège électronique.

Deux « A ».

A

désigne le nombre de nucléons dans

_{Z}^{A} X

et l'activité dans

A = λ N

: ne pas les confondre.

Pas de proportionnalité. Une activité divisée par 3 ne correspond pas à 3 demi-vies (ce serait une division par 8) : il faut passer par le logarithme.

En bref

Noyau $_{Z}^{A} X$ : $Z$ protons, $N = A - Z$ neutrons ; la vallée de stabilité du diagramme (N, Z) prévoit le type de désintégration.
$α$ : $_{2}^{4} H e$ émis (noyaux lourds) ; $β^{-}$ : électron, $Z + 1$ (excès de neutrons) ; $β^{+}$ : positon, $Z - 1$ (excès de protons) ; $γ$ : désexcitation, $A$ et $Z$ inchangés.
Conservation du nombre de nucléons $A$ et du nombre de charge $Z$ .
Désintégration aléatoire ; $\frac{d N}{d t} = - λ N$ donc $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ .
$t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ}$ ; après $n$ demi-vies il reste $N_{0} / 2^{n}$ .
$A = λ N = A_{0} e^{- λ t}$ en Bq ( $λ$ en $s^{- 1}$ ).
Datation : $t = \frac{1}{λ} \ln \frac{A_{0}}{A}$ ; carbone 14 (5 730 ans) pour le vivant, potassium-argon pour les roches.
Radioprotection : distance, durée, écran.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de physique-chimie à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs