Décroissance radioactive et demi-vie

Diagramme (N, Z). On place chaque noyau connu par son nombre de neutrons $N$ (en abscisse) et son nombre de protons $Z$ (en ordonnée). Les isotopes d’un même élément sont sur une même ligne horizontale ($Z$ fixé). Les quelque 250 noyaux stables forment une bande étroite, la vallée de stabilité ; tous les autres noyaux, beaucoup plus nombreux, sont radioactifs.

Allure du diagramme (N, Z) : quelques noyaux stables repères et la vallée de stabilité.

Allure de la vallée. Pour les noyaux légers ($Z<20$ environ), les noyaux stables ont à peu près autant de neutrons que de protons : la vallée suit la droite $N=Z$. Pour les noyaux plus lourds, il faut davantage de neutrons que de protons : la vallée s’écarte du côté $N>Z$ (pour le plomb 208, $N/Z\approx 1,5$). Au-delà du plomb ($Z=82$), aucun noyau n’est stable (le bismuth 209 n’est que très faiblement radioactif).

Déterminer les isotopes radioactifs d’un élément. Sur la ligne de l’élément, les cases hors de la vallée sont des isotopes radioactifs. Leur position prévoit le type de désintégration :

Chaque désintégration rapproche le noyau de la vallée. Un noyau lourd peut enchaîner plusieurs désintégrations successives (une famille radioactive) jusqu’à un noyau stable.

Radioactivité. Un noyau instable, le noyau père, se transforme spontanément en un noyau fils en émettant une particule. On écrit l’équation de la désintégration avec les lois de conservation : le nombre total de nucléons (somme des $A$) et la charge totale (somme des $Z$) sont les mêmes avant et après.

Radioactivité α. Le noyau émet un noyau d’hélium 4, ${}_2^4\mathrm{H}\mathrm{e}$ (2 protons et 2 neutrons) :

Radioactivité β⁻. Dans le noyau, un neutron se transforme en proton : ${}_0^{1}n\to {}_1^{1}p+{}_{-1}^{0}e+{\bar{\nu }}_e$. Le noyau émet un électron et un antineutrino ${\bar{\nu }}_e$ (particule sans charge, de masse quasi nulle) :

Radioactivité β⁺. Dans le noyau, un proton se transforme en neutron. Le noyau émet un positon ${}_1^{0}e$ (antiparticule de l’électron, de charge $+e$) et un neutrino ${\nu }_e$ :

Émission γ. Le noyau fils est souvent formé dans un état excité, noté ${}_Z^A{Y}^{*}$ ; il revient à son état fondamental en émettant un photon $\gamma$ de grande énergie, sans changer ni $A$ ni $Z$ : ${}_Z^A{Y}^{*}\to {}_Z^{A}Y+\gamma$.

Identifier le type de radioactivité. On compare père et fils : $A$ diminue de 4 → $\alpha$ ; $A$ inchangé et $Z$ augmente de 1 → ${\beta }^{-}$ ; $A$ inchangé et $Z$ diminue de 1 → ${\beta }^{+}$. L’élément du noyau fils se lit dans le tableau périodique grâce à $Z$.

Un phénomène aléatoire. On ne peut pas prévoir la date à laquelle un noyau donné se désintégrera. Pendant une courte durée $\Delta t$, chaque noyau a la même probabilité $\lambda \Delta t$ de se désintégrer, quels que soient son âge, les autres noyaux, la température ou l’espèce chimique dont il fait partie. $\lambda$ est la constante radioactive du noyau, en ${\mathrm{s}}^{-1}$ (ou ${\mathrm{h}}^{-1}$, ${\mathrm{j}}^{-1}$, $\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}$). Seul le comportement d’un grand nombre de noyaux est prévisible.

Établir la loi de décroissance. Un échantillon contient $N(t)$ noyaux radioactifs identiques. Pendant $\Delta t$, le nombre moyen de noyaux désintégrés vaut $\lambda N(t)\Delta t$, donc la variation de $N$ est :

On divise par $\Delta t$ et on fait tendre $\Delta t$ vers 0 : le premier membre tend vers la dérivée de $N$.

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre, du type $y\prime =ay$ avec $a=-\lambda$. Ses solutions sont $N(t)=C{e}^{-\lambda t}$, où $C$ est une constante. La condition initiale $N(0)=N_0$ donne $C=N_0$ :

Conséquences. $N$ décroît de façon exponentielle : il ne s’annule jamais. En prenant le logarithme, $\ln N(t)=\ln N_0-\lambda t$ : la représentation de $\ln N$ en fonction de $t$ est une droite de coefficient directeur $-\lambda$. Plus $\lambda$ est grand, plus la décroissance est rapide.

Temps de demi-vie. $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents s’est désintégrée. Avec la loi de décroissance :

La demi-vie est une caractéristique du noyau : elle ne dépend ni de $N_0$, ni de la masse de l’échantillon, ni de la date à laquelle on commence à compter. Elle va de fractions de seconde à des milliards d’années selon le noyau.

Multiples de la demi-vie. Après $n$ demi-vies, il reste ${\displaystyle \frac{N_0}{2^n}}$ noyaux : 50 % après une demi-vie, 25 % après deux, 12,5 % après trois, environ 0,1 % après dix. Plus généralement, comme $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{t_{1/2}}}$, on a ${\displaystyle \frac{N(t)}{N_0}}=e^{-\ln 2·t/t_{1/2}}=2^{-t/t_{1/2}}$.

Lire une demi-vie sur une courbe de décroissance. On repère ${\displaystyle \frac{N_0}{2}}$ sur l’axe des ordonnées, on rejoint la courbe, puis on lit l’abscisse : c’est $t_{1/2}$. On peut contrôler avec ${\displaystyle \frac{N_0}{4}}$, atteint à $2t_{1/2}$.

Activité. L’activité $A(t)$ d’un échantillon est le nombre moyen de désintégrations par seconde. Elle s’exprime en becquerels (Bq) : 1 Bq = 1 désintégration par seconde.

Pour obtenir des becquerels, $\lambda$ doit être en ${\mathrm{s}}^{-1}$. Comme $A$ est proportionnelle à $N$, elle décroît selon la même loi, avec la même demi-vie :

La représentation de $\ln A$ en fonction du temps est donc une droite de coefficient directeur $-\lambda$ : des mesures d’activité permettent de trouver $\lambda$, puis $t_{1/2}$, et d’identifier le noyau.

De la masse à l’activité. Un échantillon de masse $m$ d’un radionucléide de masse molaire $M$ contient $N={\displaystyle \frac{m}{M}}{N}_A$ noyaux, avec $N_A=6,022\times {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$ ; son activité vaut $A=\lambda N$. À masse égale, un noyau de courte demi-vie est beaucoup plus actif.

Mesure. Un compteur (Geiger-Müller) ne détecte qu’une partie des désintégrations, mais son nombre de coups par seconde reste proportionnel à l’activité. Il compte aussi le bruit de fond dû à la radioactivité naturelle et au rayonnement cosmique, qu’on mesure sans échantillon puis qu’on retranche. Les comptages fluctuent d’une mesure à l’autre : c’est la signature du caractère aléatoire des désintégrations.

Radioactivité naturelle et artificielle. Des noyaux radioactifs sont présents dans l’environnement : uranium, thorium, potassium 40, radon, carbone 14 (radioactivité naturelle). D’autres sont produits dans un réacteur ou un accélérateur : cobalt 60, technétium 99m, fluor 18… (radioactivité artificielle).

Principe de la datation. Si l’on connaît $N_0$ (ou $A_0$), valeur à l’instant de la « mise à zéro », et qu’on mesure $N$ (ou $A$) aujourd’hui, l’âge vaut :

On choisit un noyau dont la demi-vie est du même ordre de grandeur que l’âge cherché : trop courte, il n’en reste rien ; trop longue, $N$ n’a presque pas varié.

Carbone 14 ($t_{1/2}=5730$ ans). Formé en permanence dans la haute atmosphère, il entre dans les êtres vivants (photosynthèse chez les plantes, alimentation chez les animaux) : dans un organisme vivant, la proportion de carbone 14 reste celle de l’atmosphère, environ $1,2\times {10}^{-12}$ du carbone. À la mort, les échanges cessent et le carbone 14 décroît. On date ainsi des restes d’êtres vivants (os, bois, tissus) jusqu’à environ 50 000 ans.

Datation des roches. Le potassium 40 ($t_{1/2}=1,25\times {10}^9$ ans) d’une roche volcanique donne en partie de l’argon 40, un gaz qui s’échappe de la lave en fusion puis reste piégé dans la roche solidifiée : la solidification remet l’horloge à zéro (méthode potassium-argon). L’uranium 238 ($t_{1/2}=4,47\times {10}^9$ ans), qui aboutit au plomb 206, date les roches les plus anciennes.

Applications médicales. Diagnostic : en scintigraphie, on injecte un émetteur $\gamma$, comme le technétium 99m, dont le rayonnement sort du corps et est détecté par une gamma-caméra ; en tomographie par émission de positons (TEP), un émetteur ${\beta }^{+}$, comme le fluor 18 : chaque positon s’annihile avec un électron en deux photons $\gamma$ émis en sens opposés. Thérapie : l’iode 131 traite certaines maladies de la thyroïde ; des émetteurs ${\beta }^{-}$ ou $\alpha$ fixés sur des molécules détruisent des cellules cancéreuses ; en curiethérapie, des sources sont placées au contact de la tumeur. On préfère des demi-vies courtes, pour limiter la durée d’exposition du patient.

Se protéger des rayonnements ionisants. Les rayonnements $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ arrachent des électrons aux atomes qu’ils traversent : ils peuvent léser les cellules. Leur pouvoir de pénétration est très différent :

Pouvoir de pénétration des rayonnements.

Trois règles de protection : s’éloigner de la source, réduire la durée d’exposition, interposer un écran adapté (son efficacité dépend de sa nature et de son épaisseur, et du type de rayonnement). Un émetteur $\alpha$ est peu dangereux à l’extérieur du corps, mais très dangereux s’il est inhalé ou ingéré. L’effet biologique d’une exposition se mesure en sieverts (Sv) ; en France, la limite réglementaire d’exposition du public est de 1 mSv par an, sans compter l’exposition naturelle ni les examens médicaux.