Décroissance radioactive et demi-vie

Numéros atomiques : krypton 36 ; rubidium 37 ; strontium 38 ; yttrium 39 ; plutonium 94 ; américium 95 ; curium 96.

1. a)Le curium 244, émetteur $\alpha$, sert de source dans un spectromètre du robot martien Curiosity. Écrire l’équation de sa désintégration.
2. b)Le strontium 89, émetteur ${\beta }^{-}$, sert à soulager les douleurs dues à des métastases osseuses. Écrire l’équation de sa désintégration, puis préciser d’où provient l’électron émis.
3. c)Le rubidium 82, émetteur ${\beta }^{+}$, sert en imagerie du cœur. Un élève écrit ${}_{37}^{82}\mathrm{R}\mathrm{b}\to {}_{38}^{82}\mathrm{S}\mathrm{r}+{}_1^{0}e+{\nu }_e$. Montrer que son équation est fausse, puis l’écrire correctement.
4. d)Les isotopes stables du strontium ont pour nombres de masse 84, 86, 87 et 88. Justifier que le strontium 89 est émetteur ${\beta }^{-}$, puis dire où il se place par rapport à la vallée de stabilité dans un diagramme qui porte $Z$ en abscisse et $N$ en ordonnée.

Le lutécium 177, émetteur ${\beta }^{-}$ utilisé en radiothérapie interne, a une demi-vie de 6,64 jours. On note $N_0$ le nombre de noyaux injectés à $t=0$.

1. a)Donner l’expression de $N(t)$ et calculer la constante radioactive $\lambda$ en ${\mathrm{j}}^{-1}$.
2. b)Calculer le pourcentage de noyaux restant 360 h après l’injection.
3. c)Déterminer la durée au bout de laquelle l’activité est divisée par 20.
4. d)Montrer que, quelle que soit la date $t$, $N(t+t_{1/2})={\displaystyle \frac{N(t)}{2}}$.

Les sondes Voyager, lancées en 1977, sont alimentées par des générateurs qui convertissent en électricité l’énergie libérée par les désintégrations $\alpha$ du plutonium 238 ($t_{1/2}=87,7$ ans, $M=238\mathrm{g}·\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$). Données : $N_A=6,022\times {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$ ; 1 an $=3,156\times {10}^7$ s.

1. a)Calculer la constante radioactive du plutonium 238 en ${\mathrm{s}}^{-1}$.
2. b)Calculer le nombre de noyaux contenus dans 500 g de plutonium 238, puis l’activité de cet échantillon.
3. c)La puissance électrique d’un générateur est, en première approximation, proportionnelle à l’activité. Quel pourcentage de la puissance initiale reste-t-il en 2026, 49 ans après le lancement ?
4. d)Le combustible est enfermé dans une enveloppe métallique étanche. Expliquer pourquoi elle suffit à arrêter les particules $\alpha$, et pourquoi elle ne doit jamais être rompue.

Le potassium 40 ($t_{1/2}=1,25\times {10}^9$ ans) se désintègre surtout en calcium 40 ; on admet que 11 % des noyaux de potassium 40 qui se désintègrent donnent de l’argon 40, un gaz. On note $N_{\text{K}}$ et $N_{\text{Ar}}$ les nombres de noyaux de potassium 40 et d’argon 40 dans la roche, et $t=0$ la date de sa solidification.

1. a)Expliquer pourquoi on peut considérer qu’une lave, au moment où elle se solidifie, ne contient pas d’argon 40.
2. b)Justifier que $N_{\text{Ar}}=0,11(N_{\text{K}}(0)-N_{\text{K}})$, puis montrer que l’âge de la roche vaut $t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln (1+{\displaystyle \frac{N_{\text{Ar}}}{0,11N_{\text{K}}}})$.
3. c)Dans un basalte, on mesure ${\displaystyle \frac{N_{\text{Ar}}}{N_{\text{K}}}}=8,50\times {10}^{-3}$. Calculer l’âge de la coulée.
4. d)Expliquer pourquoi le carbone 14 ($t_{1/2}=5730$ ans) ne permettrait pas de dater cette coulée.

Le radium 223 ($Z=88$, $t_{1/2}=11,4$ jours), émetteur $\alpha$, traite des métastases osseuses. La dose prescrite est de 55 kBq par kilogramme de masse corporelle, répétée toutes les quatre semaines. Données : radon $Z=86$ ; 1 j = 86 400 s.

1. a)Écrire l’équation de la désintégration du radium 223.
2. b)Calculer l’activité injectée à un patient de 70,0 kg, puis l’activité restante 28,0 jours plus tard, date de l’injection suivante (on néglige l’élimination biologique).
3. c)Montrer que le nombre de noyaux de radium 223 injectés vaut environ $5,5\times {10}^{12}$.
4. d)Expliquer l’intérêt d’un émetteur $\alpha$ pour détruire une tumeur osseuse, et citer les trois règles de protection appliquées par le personnel soignant.