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Transformation nucléaire : décroissance radioactive et demi-vie

Radioactivité α, β⁻, β⁺, loi de décroissance exponentielle, demi-vie, activité, datation et applications (thème Constitution et transformations de la matière)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Transformation nucléaire : décroissance radioactive et demi-vie » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité physique-chimie. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Stabilité des noyaux : le diagramme (N, Z), Radioactivités α, β⁻, β⁺ et émission γ, Loi de décroissance, demi-vie et activité. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité physique-chimie en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Isotopes du sodium et diagramme (N, Z)

Facile

Le sodium ( $Z = 11$ ) possède un seul isotope stable, le sodium 23. Les noyaux $_{11}^{22} N a$ et $_{11}^{24} N a$ sont radioactifs. Données : néon $Z = 10$ ; magnésium $Z = 12$ .

a) Donner la composition des noyaux de sodium 22, 23 et 24.
b) Justifier que ces trois noyaux sont isotopes.
c) Situer les noyaux de sodium 22 et de sodium 24 par rapport à la vallée de stabilité et en déduire le type de radioactivité attendu pour chacun.
d) Écrire l'équation de la désintégration du sodium 24 en justifiant le noyau fils.

a) $N = A - Z$ . Sodium 22 : 11 protons et $22 - 11 = 11$ neutrons. Sodium 23 : 11 protons et 12 neutrons. Sodium 24 : 11 protons et 13 neutrons.

b) Ils ont le même numéro atomique $Z = 11$ (même élément) mais des nombres de nucléons différents : ce sont des isotopes.

c) Le noyau stable (sodium 23) compte 12 neutrons. Le sodium 24 en a 13 : excès de neutrons, il est situé au-dessus de la vallée et est émetteur $β^{-}$ . Le sodium 22 en a 11 : excès de protons, il est en dessous de la vallée et est émetteur $β^{+}$ .

d) En $β^{-}$ , la particule émise est $_{- 1}^{0} e$ . Conservation : $A = 24 - 0 = 24$ et $Z = 11 - (- 1) = 12$ : c'est le magnésium.

$_{11}^{24} N a \to_{12}^{24} M g +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}$

Exercice 2 — Identifier la particule émise

Facile

On considère trois désintégrations, où $X$ , $Y$ et $W$ désignent les particules émises (les neutrinos et antineutrinos sont omis) : (1) $_{84}^{210} P o \to_{82}^{206} P b + X$ ; (2) $_{1}^{3} H \to_{2}^{3} H e + Y$ ; (3) $_{8}^{15} O \to_{7}^{15} N + W$ .

a) Énoncer les deux lois de conservation utilisées pour écrire une équation nucléaire.
b) Identifier les particules X, Y et W en justifiant.
c) Nommer le type de radioactivité de chacune des trois désintégrations.
d) Pour la désintégration (2), préciser la transformation qui s'est produite à l'intérieur du noyau.

a) Au cours d'une transformation nucléaire, il y a conservation du nombre total de nucléons $A$ et conservation du nombre total de charge $Z$ .

b) (1) $A_{X} = 210 - 206 = 4$ et $Z_{X} = 84 - 82 = 2$ : X est $_{2}^{4} H e$ . (2) $A_{Y} = 3 - 3 = 0$ et $Z_{Y} = 1 - 2 = - 1$ : Y est un électron $_{- 1}^{0} e$ . (3) $A_{W} = 0$ et $Z_{W} = 8 - 7 = 1$ : W est un positon $_{1}^{0} e$ .

c) (1) radioactivité $α$ ; (2) radioactivité $β^{-}$ ; (3) radioactivité $β^{+}$ .

d) Le tritium contient 1 proton et 2 neutrons ; l'hélium 3 contient 2 protons et 1 neutron. Un neutron s'est transformé en proton : $_{0}^{1} n \to_{1}^{1} p +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}$ .

Exercice 3 — Phosphore 32 : raisonner en demi-vies

Facile

Le phosphore 32, émetteur $β^{-}$ utilisé comme traceur en biologie, a une demi-vie $t_{1 / 2} = 14, 3$ jours. Un échantillon contient $N_{0} = 8, 0 \times 10^{14}$ noyaux de phosphore 32 à la date $t = 0$ .

a) Définir la demi-vie d'un noyau radioactif.
b) Calculer le nombre de noyaux de phosphore 32 restant à la date $t = 42, 9$ jours.
c) Déterminer la date à laquelle il ne reste que le seizième des noyaux initiaux.
d) Calculer la constante radioactive $λ$ du phosphore 32 en $j^{- 1}$ .

a) La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents s'est désintégrée.

b) $\frac{42, 9}{14, 3} = 3$ : il s'est écoulé 3 demi-vies. $N = \frac{N_{0}}{2^{3}} = \frac{8, 0 \times 10^{14}}{8}$ , soit $N = 1, 0 \times 10^{14}$ noyaux.

c) $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^{4}}$ : il faut 4 demi-vies, soit $4 \times 14, 3$ = 57,2 jours.

d) $λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0, 693}{14, 3}$ , soit $λ = 4, 85 \times 10^{- 2} j^{- 1}$ .

Exercice 4 — Yttrium 90 en radiothérapie interne

Moyen

L'yttrium 90, émetteur $β^{-}$ , est utilisé pour traiter certaines tumeurs du foie. Sa demi-vie vaut $t_{1 / 2} = 64, 1$ h. On note $N_{0}$ le nombre de noyaux injectés à $t = 0$ .

a) Calculer la constante radioactive de l'yttrium 90 en $s^{- 1}$ .
b) Montrer que $\frac{N (t)}{N_{0}} = 2^{- t / t_{1 / 2}}$ .
c) Calculer le pourcentage de noyaux restant 10,0 jours après l'injection.
d) Déterminer au bout de combien de temps il ne reste plus que 1,0 % des noyaux injectés. Exprimer le résultat en heures puis en jours.

a) $t_{1 / 2} = 64, 1 \times 3 600 = 2, 308 \times 10^{5}$ s. $λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0, 6931}{2, 308 \times 10^{5}}$ , soit $λ = 3, 00 \times 10^{- 6} s^{- 1}$ .

b) $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ avec $λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}}$ , donc $\frac{N (t)}{N_{0}} = e^{- \ln 2 \cdot t / t_{1 / 2}} = {(e^{\ln 2})}^{- t / t_{1 / 2}}$ , d'où $\frac{N (t)}{N_{0}} = 2^{- t / t_{1 / 2}}$ .

c) $t = 10, 0$ j $= 240$ h, donc $\frac{t}{t_{1 / 2}} = \frac{240}{64, 1} = 3, 744$ . $\frac{N}{N_{0}} = 2^{- 3, 744} = 0, 0746$ : il reste 7,46 % des noyaux.

d) On cherche $t$ tel que $2^{- t / t_{1 / 2}} = 0, 010$ , soit $\frac{t}{t_{1 / 2}} \ln 2 = \ln 100$ . $t = 64, 1 \times \frac{\ln 100}{\ln 2} = 64, 1 \times 6, 644$ , soit $t \approx 426$ h, environ 17,7 jours.

Exercice 5 — Source de cobalt 60

Moyen

Une source de cobalt 60 ( $t_{1 / 2} = 5, 27$ ans, $M = 60, 0 g \cdot m o l^{- 1}$ ) utilisée pour stériliser du matériel médical a, à sa livraison, une activité $A_{0} = 3, 70 \times 10^{10}$ Bq. Données : $N_{A} = 6, 022 \times 10^{23} m o l^{- 1}$ ; 1 an $= 3, 156 \times 10^{7}$ s.

a) Calculer la constante radioactive du cobalt 60 en $s^{- 1}$ .
b) En déduire le nombre de noyaux de cobalt 60 contenus dans la source à la livraison.
c) Calculer la masse de cobalt 60 correspondante.
d) Calculer l'activité de la source 12,0 ans après sa livraison.

a) $t_{1 / 2} = 5, 27 \times 3, 156 \times 10^{7} = 1, 663 \times 10^{8}$ s. $λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0, 6931}{1, 663 \times 10^{8}}$ , soit $λ = 4, 17 \times 10^{- 9} s^{- 1}$ .

b) $A_{0} = λ N_{0}$ donc $N_{0} = \frac{A_{0}}{λ} = \frac{3, 70 \times 10^{10}}{4, 17 \times 10^{- 9}}$ , soit $N_{0} = 8, 88 \times 10^{18}$ noyaux.

c) $n = \frac{N_{0}}{N_{A}} = \frac{8, 88 \times 10^{18}}{6, 022 \times 10^{23}} = 1, 474 \times 10^{- 5}$ mol, et $m = n M = 1, 474 \times 10^{- 5} \times 60, 0$ , soit $m = 8, 85 \times 10^{- 4}$ g $\approx$ 0,885 mg. Une source intense contient une masse infime.

d) $A = A_{0} e^{- λ t} = A_{0} \times 2^{- 12, 0 / 5, 27} = 3, 70 \times 10^{10} \times 0, 2063$ , soit $A = 7, 63 \times 10^{9}$ Bq.

Exercice 6 — Identifier un radionucléide à partir de mesures d'activité

Moyen

On mesure l'activité d'un échantillon produit dans un cyclotron. Liste des émetteurs $β^{+}$ possibles et de leurs demi-vies : carbone 11 (20,4 min), gallium 68 (67,7 min), cuivre 64 (12,7 h).

t (min)	0	20	40	60	80
A (Bq)	5 200	2 636	1 336	677	343

a) Montrer que, selon la loi de décroissance, $\ln A$ est une fonction affine du temps et préciser son coefficient directeur.
b) Calculer la constante radioactive $λ$ à partir des mesures à $t = 0$ et $t = 80$ min, puis en déduire la demi-vie.
c) Identifier le radionucléide et écrire l'équation de sa désintégration (bore : $Z = 5$ ).
d) Déterminer la durée au bout de laquelle l'activité devient inférieure à 50 Bq.

a) $A (t) = A_{0} e^{- λ t}$ , donc $\ln A (t) = \ln A_{0} - λ t$ : c'est une fonction affine de $t$ , de coefficient directeur $- λ$ et d'ordonnée à l'origine $\ln A_{0}$ .

b) $λ = \frac{\ln A (0) - \ln A (80)}{80} = \frac{1}{80} \ln \frac{5 200}{343} = \frac{2, 719}{80}$ , soit $λ = 3, 40 \times 10^{- 2} m i n^{- 1}$ . $t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ} = \frac{0, 6931}{0, 0340}$ , soit $t_{1 / 2} \approx 20, 4$ min. Vérification : l'activité est bien divisée par 2 environ toutes les 20 min dans le tableau.

c) La demi-vie correspond au carbone 11. En $β^{+}$ : $A = 11$ , $Z = 6 - 1 = 5$ : $_{6}^{11} C \to_{5}^{11} B +_{1}^{0} e + ν_{e}$ .

d) $A_{0} e^{- λ t} < 50$ équivaut à $t > \frac{1}{λ} \ln \frac{5 200}{50} = \frac{\ln 104}{0, 0340} = \frac{4, 644}{0, 0340}$ , soit $t > 137$ min environ (2 h 17 min).

Exercice 7 — Dater un os au carbone 14

Moyen

Le carbone d'un organisme vivant a une activité de 13,6 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Un fragment d'os trouvé lors d'une fouille a une activité de 4,90 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Demi-vie du carbone 14 : $t_{1 / 2} = 5 730$ ans.

a) Expliquer pourquoi l'activité par gramme de carbone d'un organisme vivant reste constante, et ce qui se passe à sa mort.
b) Calculer la constante radioactive du carbone 14 en $a n^{- 1}$ .
c) Déterminer l'âge du fragment d'os.
d) Un élève écrit : « l'activité a été divisée par 2,78 environ, donc l'âge vaut 2,78 × 5 730 ≈ 15 900 ans ». Expliquer son erreur.

a) Tant qu'il vit, l'organisme échange du carbone avec l'atmosphère (respiration, alimentation) : le carbone 14 qui se désintègre est remplacé et sa proportion reste celle de l'atmosphère, supposée constante. À la mort, les échanges cessent : le carbone 14 n'est plus renouvelé et son activité décroît selon la loi de décroissance.

b) $λ = \frac{\ln 2}{5 730}$ , soit $λ = 1, 21 \times 10^{- 4} a n^{- 1}$ .

c) $A = A_{0} e^{- λ t}$ donne $t = \frac{1}{λ} \ln \frac{A_{0}}{A} = \frac{1}{1, 21 \times 10^{- 4}} \ln \frac{13, 6}{4, 90} = \frac{1, 021}{1, 21 \times 10^{- 4}}$ , soit $t \approx 8, 44 \times 10^{3}$ ans.

d) La décroissance n'est pas proportionnelle au temps : une division par 2 correspond à une demi-vie, une division par 4 à deux demi-vies. Le nombre de demi-vies écoulées vaut $\frac{\ln 2, 78}{\ln 2} \approx 1, 47$ et non 2,78. L'élève a supposé à tort une relation linéaire ; l'âge correct est $1, 47 \times 5 730 \approx 8 440$ ans.

Exercice 8 — La famille de l'uranium 238

Difficile

L'uranium 238 est le premier noyau d'une famille radioactive qui aboutit au plomb 206, stable. Les trois premières étapes sont : une désintégration $α$ de l'uranium 238, puis deux désintégrations $β^{-}$ successives. Données : plomb $Z = 82$ ; radium $Z = 88$ ; thorium $Z = 90$ ; protactinium $Z = 91$ ; uranium $Z = 92$ . Demi-vie du radium 226 : 1 600 ans.

a) Écrire les équations des trois premières étapes de la famille.
b) Justifier que le noyau obtenu après ces trois étapes est un isotope de l'uranium 238, et expliquer pourquoi il ne peut pas être obtenu en une seule désintégration.
c) Montrer que la transformation complète de l'uranium 238 en plomb 206 comporte 8 désintégrations $α$ et 6 désintégrations $β^{-}$ .
d) Le radium 226 appartient à cette famille. Expliquer pourquoi on en trouve dans des minerais d'uranium âgés de plusieurs milliards d'années, alors que sa demi-vie est très courte à cette échelle.

a) $_{92}^{238} U \to_{90}^{234} T h +_{2}^{4} H e$ ; puis $_{90}^{234} T h \to_{91}^{234} P a +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}$ ; puis $_{91}^{234} P a \to_{92}^{234} U +_{- 1}^{0} e + {\bar{ν}}_{e}$ .

b) Le noyau final est $_{92}^{234} U$ : même $Z = 92$ que l'uranium 238 et $A$ différent, c'est un isotope. Une seule désintégration modifie toujours $Z$ ( $α$ : $- 2$ ; $β^{\pm}$ : $\pm 1$ ) sauf l'émission $γ$ , qui ne change pas $A$ : aucune ne fait passer de $_{92}^{238} U$ à $_{92}^{234} U$ .

c) Soit $x$ le nombre de désintégrations $α$ et $y$ celui des $β^{-}$ . Conservation de $A$ : $238 = 206 + 4 x$ , d'où $x = 8$ . Conservation de $Z$ : $92 = 82 + 2 x - y$ , d'où $y = 82 + 16 - 92 = 6$ . La famille comporte 8 désintégrations $α$ et 6 désintégrations $β^{-}$ .

d) Le radium 226 initial a bien disparu depuis longtemps, mais il est produit en permanence par la désintégration des noyaux qui le précèdent dans la famille, alimentés par l'uranium 238 dont la demi-vie ( $4, 47 \times 10^{9}$ ans) est comparable à l'âge de la Terre. Production et désintégration s'équilibrent : sa quantité reste à peu près constante tant qu'il reste de l'uranium.

Exercice 9 — Datation uranium-plomb d'un zircon

Difficile

Un cristal de zircon contient de l'uranium 238 ( $t_{1 / 2} = 4, 47 \times 10^{9}$ ans) et du plomb 206. On admet qu'à sa formation (date $t = 0$ ) il ne contenait pas de plomb 206, et que tout noyau d'uranium 238 désintégré a donné un noyau de plomb 206 (les noyaux intermédiaires de la famille sont en quantité négligeable). Aujourd'hui, on mesure $\frac{N_{Pb}}{N_{U}} = 0, 300$ .

a) Montrer que $N_{U} (t) + N_{Pb} (t) = N_{U} (0)$ à toute date $t$ .
b) Montrer que l'âge du zircon vaut $t = \frac{t_{1 / 2}}{\ln 2} \ln (1 + \frac{N_{Pb}}{N_{U}})$ .
c) Calculer l'âge du zircon.
d) Si le zircon contenait en réalité un peu de plomb 206 à sa formation, l'âge calculé serait-il surestimé ou sous-estimé ? Justifier.

a) Chaque noyau d'uranium qui disparaît donne exactement un noyau de plomb, et il n'y avait pas de plomb à $t = 0$ : le nombre de plomb formé est égal au nombre d'uranium disparu, $N_{Pb} (t) = N_{U} (0) - N_{U} (t)$ , d'où $N_{U} (t) + N_{Pb} (t) = N_{U} (0)$ .

b) $N_{U} (t) = N_{U} (0) e^{- λ t}$ , donc $e^{λ t} = \frac{N_{U} (0)}{N_{U} (t)} = \frac{N_{U} + N_{Pb}}{N_{U}} = 1 + \frac{N_{Pb}}{N_{U}}$ . En prenant le logarithme : $λ t = \ln (1 + \frac{N_{Pb}}{N_{U}})$ et, avec $λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}}$ , $t = \frac{t_{1 / 2}}{\ln 2} \ln (1 + \frac{N_{Pb}}{N_{U}})$ .

c) $t = \frac{4, 47 \times 10^{9}}{0, 6931} \times \ln 1, 300 = 6, 449 \times 10^{9} \times 0, 2624$ , soit $t \approx 1, 69 \times 10^{9}$ ans.

d) Le plomb initial s'ajoute au plomb radiogénique : le rapport mesuré $\frac{N_{Pb}}{N_{U}}$ est plus grand que celui dû à la seule désintégration. Comme $t$ est une fonction croissante de ce rapport, l'âge calculé serait surestimé.

Exercice 10 — Iode 131 et césium 137 après un rejet accidentel

Difficile

Après un rejet accidentel, un échantillon de sol contient de l'iode 131 ( $t_{1 / 2} = 8, 02$ j) et du césium 137 ( $t_{1 / 2} = 30, 1$ ans). À la date $t = 0$ , l'activité due à l'iode est 25 fois celle due au césium. On prendra 1 an $= 365, 25$ j.

a) Calculer les constantes radioactives $λ_{I}$ et $λ_{Cs}$ en $j^{- 1}$ .
b) Montrer que le rapport des activités vaut $r (t) = \frac{A_{I} (t)}{A_{Cs} (t)} = 25 e^{- (λ_{I} - λ_{Cs}) t}$ , puis le calculer à $t = 20, 0$ j.
c) Déterminer la date à laquelle les deux activités sont égales.
d) Montrer qu'un an après le rejet, l'activité de l'iode est inférieure au millionième de celle du césium. Conclure sur la contamination à long terme.

a) $λ_{I} = \frac{\ln 2}{8, 02}$ , soit $λ_{I} = 8, 64 \times 10^{- 2} j^{- 1}$ . $t_{1 / 2} (Cs) = 30, 1 \times 365, 25 = 1, 099 \times 10^{4}$ j, donc $λ_{Cs} = 6, 31 \times 10^{- 5} j^{- 1}$ .

b) $A_{I} (t) = A_{I} (0) e^{- λ_{I} t}$ et $A_{Cs} (t) = A_{Cs} (0) e^{- λ_{Cs} t}$ avec $A_{I} (0) = 25 A_{Cs} (0)$ . Le quotient donne $r (t) = 25 e^{- (λ_{I} - λ_{Cs}) t}$ . Avec $λ_{I} - λ_{Cs} = 8, 636 \times 10^{- 2} j^{- 1}$ : $r (20, 0) = 25 e^{- 1, 727} = 25 \times 0, 178$ , soit $r \approx 4, 44$ .

c) $r (t) = 1$ équivaut à $e^{(λ_{I} - λ_{Cs}) t} = 25$ , d'où $t = \frac{\ln 25}{8, 636 \times 10^{- 2}} = \frac{3, 219}{0, 08636}$ , soit $t \approx 37, 3$ j.

d) À $t = 365, 25$ j : $(λ_{I} - λ_{Cs}) t = 31, 5$ , donc $r = 25 e^{- 31, 5} \approx 5 \times 10^{- 13}$ , très inférieur à $10^{- 6}$ . L'iode 131 a pratiquement disparu en quelques mois, tandis que le césium 137 n'a perdu qu'environ 2 % de son activité : la contamination à long terme est due au césium, pendant plusieurs décennies.

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