Ressources · Terminale · Maths expertes (option Tle)

Fiche de révision : congruences

Congruences modulo n et restes, compatibilité avec l’addition, la multiplication et les puissances, restes de grandes puissances, critères de divisibilité démontrés (rappels du collège, 11, 7 et 13), tableaux de congruences, équations ax ≡ b [n] et inverse modulo n.

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Congruences

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Arithmétique)

La démarche pour une question de congruences

1. Je choisis le module imposé par la question : le diviseur, le $10$ du chiffre des unités, le $26$ de l’alphabet…

2. Je réduis chaque nombre : son reste, ou un représentant commode ( $- 1$ , $- 2$ ).

3. J’enchaîne les congruences en citant la compatibilité (somme, produit, puissance), avec le module écrit à chaque ligne.

4. Je conclus par un reste compris entre $0$ et $n - 1$ , par une classe $x \equiv c [n]$ , ou par « divisible par $n$ » si le reste est nul.

Le réflexe — chaque congruence porte son module [n], et le reste final est compris entre 0 et n − 1. Un « reste » négatif ou supérieur au module est une erreur.

Cas 1 · Prouver une congruence, trouver un reste

Réflexe — a ≡ b [n] : j’écris a − b = kn avec k entier ; pour un reste, j’ajoute ou je retire des multiples de n jusqu’à tomber entre 0 et n − 1.

Exemple. Questions types : « Montrer que $a \equiv b [n]$ », « Déterminer le reste de … modulo … ». Exemple : reste de $- 100$ modulo $7$ .

$7 \times 14 = 98$ , donc $100 = 7 \times 14 + 2$ et $- 100 = 7 \times (- 14) - 2$ .

$- 2$ n’est pas un reste : $- 100 = 7 \times (- 15) + 5$ , avec $0 ⩽ 5 < 7$ .

Donc $- 100 \equiv 5 [7]$ : le reste vaut $5$ .

Attention — un reste est compris entre 0 et n − 1 : on écrit −2 ≡ 5 [7], jamais « le reste vaut −2 ».

Cas 2 · Calculer modulo n

Réflexe — je remplace chaque nombre par un représentant commode, je calcule avec la compatibilité, puis je ramène le résultat entre 0 et n − 1.

Exemple. Questions types : « Déterminer le reste de $a + b$ , de $a b$ , de $a^{2} + 2 b$ sachant que … ». Exemple : $a \equiv 5 [9]$ et $b \equiv 7 [9]$ , reste de $a^{2} + 2 b$ .

Représentants commodes : $a \equiv - 4$ et $b \equiv - 2 [9]$ .

Par compatibilité : $a^{2} + 2 b \equiv 16 - 4 = 12 [9]$ .

$12 = 9 + 3$ : le reste vaut $3$ .

Attention — on ne divise pas une congruence : 2a ≡ 2b [n] n’entraîne pas toujours a ≡ b [n].

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Cas 3 · Reste d’une grande puissance

Réflexe — je réduis la base, je cherche la première puissance congrue à 1 (ou à −1), je divise l’exposant par la longueur du cycle.

Exemple. Questions types : « Reste de $a^{m}$ modulo $n$ », « Chiffre des unités de … ». Exemple : reste de $5^{2030}$ modulo $13$ .

$5^{2} = 25 = 26 - 1$ , donc $5^{2} \equiv - 1 [13]$ et $5^{4} \equiv (- 1)^{2} = 1 [13]$ .

$2 030 = 4 \times 507 + 2$ , donc $5^{2030} = (5^{4})^{507} \times 5^{2} \equiv - 1 [13]$ .

Le reste vaut $13 - 1 = 12$ .

Attention — on réduit la base modulo n, jamais l’exposant ; l’exposant se divise par la longueur du cycle.

Cas 4 · Utiliser un critère de divisibilité

Réflexe — somme des chiffres pour 3 et 9, somme alternée depuis les unités pour 11, derniers chiffres pour 2, 4, 5, 8, 10 et 25.

Exemple. Questions types : « Déterminer le reste par 9, par 11 », « Démontrer le critère de divisibilité par … ». Exemple : restes de $93 581$ modulo $9$ et modulo $11$ .

$10 \equiv 1 [9]$ : $9 + 3 + 5 + 8 + 1 = 26 \equiv 8 [9]$ , donc $93 581 \equiv 8 [9]$ .

$10 \equiv - 1 [11]$ : $1 - 8 + 5 - 3 + 9 = 4$ , donc $93 581 \equiv 4 [11]$ .

Attention — pour 11, le signe + va au chiffre des unités ; un résultat négatif se corrige en ajoutant 11.

Cas 5 · Raisonner avec un tableau de congruences

Réflexe — une colonne par reste modulo n, une ligne par expression ; je lis le tableau et je conclus pour tout entier.

Exemple. Questions types : « Montrer que pour tout entier $n$ , … est divisible par … », « Montrer que l’équation … n’a pas de solution entière ». Exemple : $3$ divise $n (n^{2} + 2)$ pour tout entier $n$ .

$n$ modulo $3$	$0$	$1$	$2$
$n^{2} + 2$	$2$	$0$	$0$
$n (n^{2} + 2)$	$0$	$0$	$0$

La dernière ligne ne contient que des $0$ : $3$ divise $n (n^{2} + 2)$ pour tout entier $n$ .

Attention — toutes les colonnes, sans oubli ; des restes compatibles ne prouvent pas qu’une solution existe.

Cas 6 · Résoudre ax ≡ b [n]

Réflexe — je cherche un inverse u de a parmi n + 1, 2n + 1… ; s’il existe, x ≡ ub [n] ; sinon je simplifie par le diviseur commun.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans $ℤ$ l’équation … », « Déterminer les entiers $n$ tels que … soit divisible par … ». Exemple : $7 x \equiv 4 [10]$ .

Inverse de $7$ modulo $10$ : $7 \times 3 = 21 \equiv 1 [10]$ .

En multipliant par $3$ : $x \equiv 12 \equiv 2 [10]$ .

Vérification : $7 \times 2 = 14 \equiv 4 [10]$ . Solutions : $x = 2 + 10 k$ , $k \in ℤ$ .

Attention — la réponse est une classe ; si un diviseur de a et n ne divise pas b, il n’y a aucune solution.

Les pièges

Un reste est compris entre 0 et n − 1 : −3 ≡ 5 [8], jamais « reste −3 ».
On ne divise pas une congruence : 2 × 5 ≡ 2 × 0 [10], mais 5 n’est pas congru à 0 modulo 10.
On ne prend pas la racine : 6² ≡ 1² [7], mais 6 n’est pas congru à 1 modulo 7.
On réduit la base, jamais l’exposant, modulo n.
Somme alternée pour 11 : on part du chiffre des unités, avec le signe +.
Une équation de congruence a pour solution une ou plusieurs classes, pas un seul entier.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode sur les congruences donne la démarche de rédaction (module, réduction, compatibilité, reste final) et six méthodes avec un exemple traité : trouver un reste, calculer modulo n, reste d’une grande puissance, critères par 9 et 11, tableau de congruences, résolution de ax ≡ b [n].

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