Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Arithmétique — congruences et applications
Congruences modulo n, critères de divisibilité et arithmétique modulaire (programme de Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
$a \equiv b \pmod n$ signifie :
- A. $n$ divise $a+b$
- B. $n$ divise $a-b$
- C. $a$ divise $n$
- D. $a-b$ divise $n$
Réponse
B. $n$ divise $a-b$ — $a\equiv b\pmod n$ si et seulement si $n\mid(a-b)$.
Quel est le reste de 29 dans la division par 7 ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Réponse
B. 2 — $29=4\times7+1$, donc $29\equiv1\pmod7$.
$15 \equiv ? \pmod 4$
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Réponse
D. 3 — $15=3\times4+3$, donc $15\equiv3\pmod4$.
Combien y a-t-il de classes de congruence modulo 5 ?
- A. 4
- B. 5
- C. 10
- D. ∞
Réponse
B. 5 — Il y a exactement $n=5$ classes : $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3,\bar4$.
$-1 \equiv ? \pmod 6$ (reste entre 0 et 5)
- A. 1
- B. 4
- C. 5
- D. 6
Réponse
C. 5 — $-1=(-1)\times6+5$, donc $-1\equiv5\pmod6$.
La relation de congruence modulo $n$ est :
- A. Une relation d'ordre
- B. Une relation d'équivalence
- C. Une relation non symétrique
- D. Aucune des réponses
Réponse
B. Une relation d'équivalence — La congruence est réflexive, symétrique et transitive : c'est une relation d'équivalence.
$10 \equiv 1 \pmod 9$. Que vaut $10^3 \pmod 9$ ?
- A. 0
- B. 1
- C. 3
- D. 9
Réponse
B. 1 — $10^3 \equiv 1^3 = 1 \pmod 9$.
Quel critère permet de tester la divisibilité par 9 ?
- A. Le dernier chiffre
- B. La somme des chiffres
- C. La somme alternée des chiffres
- D. Le produit des chiffres
Réponse
B. La somme des chiffres — Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 (car $10\equiv1\pmod9$).
$6 \equiv 2 \pmod 4$. Peut-on conclure $3 \equiv 1 \pmod 4$ ?
- A. Oui
- B. Non, car $\gcd(2,4)=2\neq1$
- C. Non, car on ne peut jamais diviser
- D. Non, uniquement si $n$ est premier
Réponse
B. Non, car $\gcd(2,4)=2\neq1$ — On peut diviser par $d$ uniquement si $\gcd(d,n)=1$. Ici $\gcd(2,4)=2\neq1$.
$7 \equiv 0 \pmod 7$. Quel est le reste de 700 modulo 7 ?
- A. 0
- B. 1
- C. 7
- D. 70
Réponse
A. 0 — $700=100\times7$, donc $700\equiv0\pmod7$.
La somme alternée des chiffres de 3 762 vaut :
- A. $2-6+7-3=0$
- B. $2+6+7+3=18$
- C. $3+7+6+2=18$
- D. $3-7+6-2=0$
Réponse
A. $2-6+7-3=0$ — On compte depuis la droite : $2-6+7-3=0\equiv0\pmod{11}$.
Lequel de ces entiers est congru à 0 modulo 6 ?
- A. 14
- B. 21
- C. 30
- D. 35
Réponse
C. 30 — $30=5\times6$, donc $30\equiv0\pmod6$.
Niveau moyen — 12 questions
Calculer $3^4 \pmod 5$.
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Réponse
B. 1 — $3^4=81=16\times5+1$, donc $3^4\equiv1\pmod5$.
Le reste de $2^{100}$ modulo 3 est :
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. −1
Réponse
B. 1 — $2\equiv-1\pmod3$, donc $2^{100}\equiv(-1)^{100}=1\pmod3$.
L'équation $3x\equiv6\pmod9$ admet :
- A. Aucune solution
- B. Une seule classe de solution modulo 9
- C. 3 classes de solutions modulo 9
- D. 9 classes de solutions modulo 9
Réponse
C. 3 classes de solutions modulo 9 — $\gcd(3,9)=3$ et $3\mid6$ : il y a $3$ classes de solutions modulo 9.
L'inverse de 5 modulo 7 est :
- A. 2
- B. 3
- C. 5
- D. 6
Réponse
B. 3 — $5\times3=15\equiv1\pmod7$, donc $5^{-1}\equiv3\pmod7$.
$n^2 \pmod 4$ peut valoir :
- A. Seulement 0
- B. 0 ou 1
- C. 0 ou 2
- D. 0, 1, 2 ou 3
Réponse
B. 0 ou 1 — Si $n$ pair $n^2\equiv0$; si $n$ impair $n^2\equiv1\pmod4$.
Quel est le reste de $5^{200}$ modulo 7 ?
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 5
Réponse
C. 4 — $5^6\equiv1\pmod7$ (Fermat). $200=33\times6+2$. $5^{200}\equiv5^2=25\equiv4\pmod7$. (La bonne réponse est 4 — vérifiez l'index !)
Résoudre $2x\equiv1\pmod7$. La solution est :
- A. $x\equiv3\pmod7$
- B. $x\equiv4\pmod7$
- C. $x\equiv5\pmod7$
- D. Pas de solution
Réponse
B. $x\equiv4\pmod7$ — $2\times4=8\equiv1\pmod7$, donc $x\equiv4\pmod7$.
$17 \equiv ? \pmod{12}$
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 6
Réponse
C. 5 — $17=1\times12+5$, donc $17\equiv5\pmod{12}$.
Le reste de $10^k$ modulo 11 est :
- A. Toujours 1
- B. $(-1)^k$
- C. $k$
- D. $10$
Réponse
B. $(-1)^k$ — $10\equiv-1\pmod{11}$, donc $10^k\equiv(-1)^k\pmod{11}$.
L'équation $6x\equiv4\pmod8$ a des solutions si et seulement si :
- A. $\gcd(6,8)\mid4$, ce qui est vrai
- B. $6\mid4$, ce qui est faux
- C. $8\mid4$, ce qui est faux
- D. Toujours des solutions
Réponse
A. $\gcd(6,8)\mid4$, ce qui est vrai — $\gcd(6,8)=2$ et $2\mid4$, donc il y a des solutions.
Si $a\equiv3\pmod5$ et $b\equiv4\pmod5$, alors $ab\equiv?\pmod5$
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 12
Réponse
C. 2 — $ab\equiv3\times4=12\equiv2\pmod5$.
Le reste de $99^{99}$ modulo 100 est :
- A. 1
- B. 98
- C. 99
- D. 0
Réponse
C. 99 — $99\equiv-1\pmod{100}$, donc $99^{99}\equiv(-1)^{99}=-1\equiv99\pmod{100}$.
Niveau difficile — 12 questions
Soit $p=7$. Quel est $3^{p-1}\pmod p$ ?
- A. 0
- B. 1
- C. 3
- D. 6
Réponse
B. 1 — Par le petit théorème de Fermat, $3^{6}\equiv1\pmod7$.
$2^{2024}\pmod{13}$ est égal à :
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 8
Réponse
A. 1 — $2^{12}\equiv1\pmod{13}$. $2024=168\times12+8$. Donc $2^{2024}\equiv2^8=256\equiv256-19\times13=256-247=9\pmod{13}$.
On veut résoudre $7x\equiv1\pmod{15}$. L'inverse de 7 modulo 15 est :
- A. $x\equiv7$
- B. $x\equiv11$
- C. $x\equiv13$
- D. $x\equiv3$
Réponse
C. $x\equiv13$ — $7\times13=91=6\times15+1$, donc $7^{-1}\equiv13\pmod{15}$.
$n^7\equiv n\pmod7$ est vrai :
- A. Pour tout entier $n$
- B. Seulement si $7\nmid n$
- C. Seulement pour $n$ premier
- D. Seulement pour $n$ pair
Réponse
A. Pour tout entier $n$ — C'est la version $a^p\equiv a\pmod p$ du théorème de Fermat, valable pour tout entier $n$.
Le carré d'un entier modulo 8 peut valoir :
- A. 0,1,2,3,4
- B. 0,1,4
- C. 0,4
- D. Uniquement 0 ou 1
Réponse
B. 0,1,4 — $0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=9\equiv1,4^2=16\equiv0,5^2=25\equiv1,6^2=36\equiv4,7^2=49\equiv1$. Valeurs : 0,1,4.
Si $p$ est premier impair, alors $p^2\equiv?\pmod8$
- A. 0
- B. 1
- C. 4
- D. 5
Réponse
B. 1 — Tout premier impair est ≡1,3,5,7 (mod 8), donc $p^2\equiv1\pmod8$.
L'équation $10x\equiv6\pmod{15}$ admet combien de solutions modulo 15 ?
- A. 0
- B. 1
- C. 5
- D. 3
Réponse
A. 0 — $\gcd(10,15)=5$ et $5\mid6$ ? Non, $5\nmid6$. Donc 0 solutions. (Attention au piège !)
Le reste de $2^{300}\pmod{7}$ est :
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 3
Réponse
A. 1 — $2^6\equiv1\pmod7$. $300=50\times6$. $2^{300}\equiv1\pmod7$.
Résoudre $x^2\equiv1\pmod8$. Combien de solutions y a-t-il dans $\{0,1,\ldots,7\}$ ?
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 8
Réponse
C. 4 — $1^2=1,3^2=9\equiv1,5^2=25\equiv1,7^2=49\equiv1$. Quatre solutions.
Si $n\equiv2\pmod3$, alors $n^2\equiv?\pmod3$
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 4
Réponse
B. 1 — $n^2\equiv2^2=4\equiv1\pmod3$.
Le petit théorème de Fermat s'applique quand :
- A. $n$ est quelconque
- B. $p$ est premier et $p\nmid a$
- C. $a$ est premier
- D. $\gcd(a,p)=p$
Réponse
B. $p$ est premier et $p\nmid a$ — Le théorème requiert $p$ premier et $p\nmid a$ pour conclure $a^{p-1}\equiv1\pmod p$.
Quel est le reste de $13^{100}\pmod{11}$ ?
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Réponse
B. 1 — $13\equiv2\pmod{11}$. $2^{10}\equiv1\pmod{11}$ (Fermat). $100=10\times10$. $13^{100}\equiv2^{100}=(2^{10})^{10}\equiv1\pmod{11}$.
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