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Congruences
Congruences modulo n et restes, compatibilité avec l’addition, la multiplication et les puissances, restes de grandes puissances, critères de divisibilité démontrés (rappels du collège, 11, 7 et 13), tableaux de congruences, équations ax ≡ b [n] et inverse modulo n.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Quelle affirmation traduit exactement « a ≡ b [n] » ?
- A. n divise a − b
- B. a divise b − n
- C. b divise a + n
- D. n divise a + b
Réponse
A. n divise a − b — Par définition, a ≡ b [n] signifie que la différence a − b est un multiple de n.
Quel est le reste de la division euclidienne de 500 par 7 ?
- A. 4
- B. 3
- C. 1
- D. 6
Réponse
B. 3 — 7 × 71 = 497 et 500 − 497 = 3, avec 0 ≤ 3 < 7 : le reste vaut 3.
Le nombre −17 est congru modulo 5 à :
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Réponse
C. 3 — −17 + 20 = 3 et 20 est un multiple de 5, donc −17 ≡ 3 [5].
Si a ≡ 3 [8] et b ≡ 6 [8], alors ab est congru modulo 8 à :
- A. 0
- B. 1
- C. 4
- D. 2
Réponse
D. 2 — Par compatibilité avec le produit, ab ≡ 3 × 6 = 18 [8], et 18 = 2 × 8 + 2 : ab ≡ 2 [8].
Un entier est divisible par 9 si et seulement si :
- A. la somme de ses chiffres est divisible par 9
- B. son chiffre des unités vaut 0 ou 9
- C. la somme alternée de ses chiffres est nulle
- D. ses deux derniers chiffres forment un multiple de 9
Réponse
A. la somme de ses chiffres est divisible par 9 — Comme 10 ≡ 1 [9], tout entier a le même reste modulo 9 que la somme de ses chiffres : l’un est divisible par 9 exactement quand l’autre l’est.
Modulo 11, le nombre 10 est congru à :
- A. 1
- B. −1
- C. 0
- D. −2
Réponse
B. −1 — 10 − (−1) = 11, donc 10 ≡ −1 [11] : c’est l’origine du critère par la somme alternée des chiffres.
Quel est le reste de 9² dans la division euclidienne par 11 ?
- A. 9
- B. 2
- C. 4
- D. 1
Réponse
C. 4 — 9² = 81 = 7 × 11 + 4 et 4 < 11 : 9² ≡ 4 [11]. Plus court : 9 ≡ −2 [11], donc 9² ≡ (−2)² = 4 [11].
Si n ≡ 4 [6], alors n² est congru modulo 6 à :
- A. 0
- B. 2
- C. 1
- D. 4
Réponse
D. 4 — n² ≡ 4² = 16 [6] et 16 = 2 × 6 + 4, donc n² ≡ 4 [6].
Lequel de ces entiers est congru à 3 modulo 4 ?
- A. 2 024
- B. 1 315
- C. 3 142
- D. 5 021
Réponse
B. 1 315 — Modulo 4, un entier a le même reste que le nombre formé par ses deux derniers chiffres : 15 = 3 × 4 + 3. Pour les autres : 24 ≡ 0, 42 ≡ 2 et 21 ≡ 1 [4].
Un entier naturel se termine par 7. Par quel chiffre se termine son carré ?
- A. 9
- B. 7
- C. 4
- D. 1
Réponse
A. 9 — Si a ≡ 7 [10], alors a² ≡ 49 ≡ 9 [10] : le carré se termine par 9.
Parmi ces congruences, laquelle est fausse ?
- A. 35 ≡ 0 [7]
- B. 22 ≡ 1 [7]
- C. −1 ≡ 6 [7]
- D. 50 ≡ 2 [7]
Réponse
D. 50 ≡ 2 [7] — 50 − 2 = 48 n’est pas un multiple de 7 ; en réalité 50 ≡ 1 [7]. Les trois autres sont vraies : 35 = 7 × 5, 22 − 1 = 21 et −1 − 6 = −7.
Si a ≡ 2 [7], alors 3a + 5 est congru modulo 7 à :
- A. 6
- B. 1
- C. 4
- D. 0
Réponse
C. 4 — Par compatibilité, 3a + 5 ≡ 3 × 2 + 5 = 11 [7], et 11 = 7 + 4 : 3a + 5 ≡ 4 [7].
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Quel est le reste de 3¹⁰⁰ modulo 8 ?
- A. 3
- B. 1
- C. 0
- D. 4
Réponse
B. 1 — 3² = 9 ≡ 1 [8], donc 3¹⁰⁰ = (3²)⁵⁰ ≡ 1⁵⁰ = 1 [8].
Quel est le reste de 5²³ modulo 6 ?
- A. 1
- B. 3
- C. 5
- D. 4
Réponse
C. 5 — 5 ≡ −1 [6], donc 5²³ ≡ (−1)²³ = −1 ≡ 5 [6], car 23 est impair.
L’ensemble des solutions de 3x ≡ 2 [7] est :
- A. x ≡ 2 [7]
- B. x ≡ 3 [7]
- C. x ≡ 4 [7]
- D. x ≡ 5 [7]
Réponse
B. x ≡ 3 [7] — 3 × 5 = 15 ≡ 1 [7] : l’inverse de 3 modulo 7 est 5, d’où x ≡ 5 × 2 = 10 ≡ 3 [7]. Contrôle : 3 × 3 = 9 ≡ 2 [7].
L’équation 4x ≡ 6 [10] :
- A. a deux classes de solutions modulo 10
- B. n’a aucune solution
- C. a une seule classe de solutions modulo 10
- D. a quatre classes de solutions modulo 10
Réponse
A. a deux classes de solutions modulo 10 — 2 divise 4, 6 et 10 : l’équation équivaut à 2x ≡ 3 [5], soit x ≡ 4 [5], car 3 est l’inverse de 2 modulo 5. Modulo 10, cela fait deux classes : x ≡ 4 et x ≡ 9 [10].
Par quel chiffre se termine 9²⁰²⁷ ?
- A. 1
- B. 3
- C. 7
- D. 9
Réponse
D. 9 — 9 ≡ −1 [10] et 2 027 est impair : 9²⁰²⁷ ≡ −1 ≡ 9 [10].
Quel est le reste de 12³⁴ modulo 5 ?
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 3
Réponse
C. 4 — 12 ≡ 2 [5] et 2⁴ = 16 ≡ 1 [5] ; 34 = 4 × 8 + 2, donc 12³⁴ ≡ 2² = 4 [5].
Parmi ces quatre nombres, lequel est divisible par 11 ?
- A. 3 481
- B. 7 216
- C. 6 205
- D. 8 731
Réponse
B. 7 216 — Somme alternée de 7 216 à partir des unités : 6 − 1 + 2 − 7 = 0, donc 7 216 = 11 × 656. Pour 3 481 : 1 − 8 + 4 − 3 = −6 ; pour 6 205 : 5 − 0 + 2 − 6 = 1 ; pour 8 731 : 1 − 3 + 7 − 8 = −3.
Quel est le reste de 10¹⁵ dans la division euclidienne par 9 ?
- A. 1
- B. 0
- C. 9
- D. 10
Réponse
A. 1 — 10 ≡ 1 [9], donc 10¹⁵ ≡ 1¹⁵ = 1 [9]. Ni 9 ni 10 ne peuvent être des restes dans la division par 9.
Quel est l’inverse de 7 modulo 9 ?
- A. 2
- B. 5
- C. 7
- D. 4
Réponse
D. 4 — 7 × 4 = 28 = 3 × 9 + 1, donc 7 × 4 ≡ 1 [9]. Les autres produits valent 14 ≡ 5, 35 ≡ 8 et 49 ≡ 4 modulo 9.
Les restes possibles du carré d’un entier modulo 3 sont :
- A. 0 et 1
- B. 0, 1 et 2
- C. 1 et 2
- D. 0 et 2
Réponse
A. 0 et 1 — Pour n ≡ 0, 1, 2 [3] : n² ≡ 0, 1 et 4 ≡ 1 [3]. Le reste 2 n’est jamais atteint.
Si n ≡ 2 [5], alors n³ + 1 est congru modulo 5 à :
- A. 0
- B. 3
- C. 4
- D. 1
Réponse
C. 4 — n³ + 1 ≡ 2³ + 1 = 9 [5], et 9 = 5 + 4 : n³ + 1 ≡ 4 [5].
Quel est le reste de 999² modulo 1 000 ?
- A. 0
- B. 999
- C. 998
- D. 1
Réponse
D. 1 — 999 ≡ −1 [1 000], donc 999² ≡ (−1)² = 1 [1 000]. Contrôle : 999² = 998 001.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
De la congruence 6a ≡ 6b [15], on peut déduire :
- A. a ≡ b [15]
- B. a ≡ b [3]
- C. a ≡ b [5]
- D. a ≡ b [90]
Réponse
C. a ≡ b [5] — 15 divise 6(a − b), donc 6(a − b) = 15k, puis 2(a − b) = 5k : 2(a − b) ≡ 0 [5]. En multipliant par 3, inverse de 2 modulo 5, on obtient a ≡ b [5]. Avec a = 5 et b = 0, on voit que a ≡ b [3] et a ≡ b [15] ne sont pas garantis.
Si a⁴ ≡ 1 [n], alors a⁴³ est congru modulo n à :
- A. a³
- B. a
- C. 1
- D. a²
Réponse
A. a³ — 43 = 4 × 10 + 3, donc a⁴³ = (a⁴)¹⁰ × a³ ≡ a³ [n]. Avec a = 2 et n = 5 (2⁴ = 16 ≡ 1), a³ = 8 ≡ 3, qui n’est congru ni à 2, ni à 1, ni à 4.
Quel est le reste de 2²⁰²⁷ modulo 9 ?
- A. 2
- B. 4
- C. 8
- D. 5
Réponse
D. 5 — Les puissances de 2 modulo 9 valent 2, 4, 8, 7, 5, 1 : cycle de longueur 6. 2 027 = 6 × 337 + 5, donc 2²⁰²⁷ ≡ 2⁵ = 32 ≡ 5 [9].
Par quel chiffre un carré d’entier ne peut-il jamais se terminer ?
- A. 6
- B. 5
- C. 9
- D. 7
Réponse
D. 7 — Le chiffre des unités de n² ne dépend que de celui de n : pour n ≡ 0, 1, …, 9 [10], n² se termine par 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Un carré ne se termine jamais par 2, 3, 7 ni 8.
L’équation 14x ≡ 21 [35] :
- A. n’a aucune solution
- B. a une seule classe de solutions modulo 35
- C. a sept classes de solutions modulo 35
- D. a deux classes de solutions modulo 35
Réponse
C. a sept classes de solutions modulo 35 — 7 divise 14, 21 et 35 : l’équation équivaut à 2x ≡ 3 [5], soit x ≡ 4 [5]. Modulo 35, cela fait 7 classes : 4, 9, 14, 19, 24, 29 et 34.
Pour tout entier n, le nombre n⁵ − n est toujours divisible par :
- A. 5
- B. 7
- C. 4
- D. 9
Réponse
A. 5 — Tableau modulo 5 : pour n ≡ 0, 1, 2, 3, 4, n⁵ ≡ 0, 1, 32 ≡ 2, 243 ≡ 3, 1 024 ≡ 4 : n⁵ ≡ n [5]. Pour n = 2, n⁵ − n = 30, qui n’est divisible ni par 7, ni par 4, ni par 9.
Quel est le reste de 8²⁰²³ modulo 13 ?
- A. 1
- B. 8
- C. 12
- D. 5
Réponse
D. 5 — 8² = 64 ≡ 12 ≡ −1 [13], donc 8⁴ ≡ 1 [13]. 2 023 = 4 × 505 + 3 et 8³ = 512 = 39 × 13 + 5, donc 8²⁰²³ ≡ 5 [13].
La somme des chiffres d’un entier N vaut 26. On peut affirmer que :
- A. N est divisible par 3 mais pas par 9
- B. N n’est divisible ni par 3 ni par 9
- C. N est divisible par 9, donc par 3
- D. N est divisible par 2 et par 13
Réponse
B. N n’est divisible ni par 3 ni par 9 — N ≡ 26 ≡ 8 [9] et N ≡ 26 ≡ 2 [3] : N n’est divisible ni par 9 ni par 3. La somme des chiffres ne dit rien de la divisibilité par 2 ou par 13 : 26 = 2 × 13 est un piège.
Quel est le reste de 6²⁰²⁷ modulo 12 ?
- A. 6
- B. 0
- C. 1
- D. 11
Réponse
B. 0 — 6² = 36 = 3 × 12 ≡ 0 [12], donc pour tout exposant m ≥ 2, 6ᵐ = 6² × 6ᵐ⁻² ≡ 0 [12]. Le reste 1 n’apparaît jamais, car 6 et 12 ont un diviseur commun autre que 1 (ici 6).
Combien d’entiers x compris entre 0 et 11 vérifient 4x ≡ 8 [12] ?
- A. 4
- B. 1
- C. 3
- D. 0
Réponse
A. 4 — 4 divise 4, 8 et 12 : l’équation équivaut à x ≡ 2 [3]. Entre 0 et 11 : x = 2, 5, 8 et 11, soit 4 entiers.
Pour un entier naturel n, 2ⁿ − 1 est divisible par 7 si et seulement si :
- A. n est pair
- B. n est un multiple de 7
- C. n est un multiple de 3
- D. n est un multiple de 6
Réponse
C. n est un multiple de 3 — Les puissances de 2 modulo 7 valent 2, 4, 1 puis se répètent : 2ⁿ ≡ 1 [7] exactement quand n est un multiple de 3. « Multiple de 6 » suffit mais n’est pas nécessaire : 2³ − 1 = 7.
Quel est le reste de 12 345 678 modulo 11 ?
- A. 7
- B. 4
- C. 0
- D. 8
Réponse
B. 4 — Somme alternée à partir des unités : 8 − 7 + 6 − 5 + 4 − 3 + 2 − 1 = 4. En partant de la gauche, on obtiendrait −4 ≡ 7 : un faux reste.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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