Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Arithmétique — congruences et applications
Congruences modulo n, critères de divisibilité et arithmétique modulaire (programme de Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calculs de restes et propriétés
/ 4 pts- Donner le reste de $-23$ dans la division par 7 (entier entre 0 et 6).
- Calculer $7^{100} \pmod 6$.
- Montrer que $10 \equiv 1 \pmod 9$ et en déduire un critère de divisibilité par 9 pour un entier quelconque.
Exercice 2 — Équation de congruence
/ 5 pts- Résoudre $9x \equiv 6 \pmod{15}$. On précisera l'ensemble des solutions modulo 15.
- L'équation $4x \equiv 3 \pmod{10}$ admet-elle des solutions ? Justifier.
- Résoudre $5x \equiv 1 \pmod{12}$.
Exercice 3 — Petit théorème de Fermat
/ 5 pts- Rappeler l'énoncé du petit théorème de Fermat.
- Calculer $3^{200} \pmod{11}$. Détailler le raisonnement.
- Montrer que pour tout entier $n$, $n^{11} \equiv n \pmod{11}$.
Exercice 4 — Divisibilité et congruences
/ 3 pts- Montrer que tout entier impair $n$ vérifie $n^2 \equiv 1 \pmod 8$.
- En déduire que la différence de deux carrés de nombres impairs est toujours divisible par 8.
Exercice 5 — Application au chiffrement
/ 3 pts- Dans un chiffrement RSA jouet, $p = 5$, $q = 7$, $n = 35$, $e = 11$. Calculer $\phi(n) = (p-1)(q-1)$.
- Trouver la clé privée $d$ telle que $ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$, c'est-à-dire $11d \equiv 1 \pmod{24}$.
- Chiffrer le message $M = 2$ : calculer $C = 2^{11} \pmod{35}$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calculs de restes et propriétés
Corrigé :
1. $-23 = (-4)\times7 + 5$, donc $-23\equiv 5\pmod7$. (1 pt)
2. $7\equiv1\pmod6$, donc $7^{100}\equiv1^{100}=1\pmod6$. (1 pt)
3. $10=9+1\equiv1\pmod9$. Pour tout $N=\sum a_i\cdot10^i$ : $10^i\equiv1^i=1\pmod9$, donc $N\equiv\sum a_i\pmod9$. $N$ divisible par 9 $\Leftrightarrow$ somme des chiffres divisible par 9. (2 pts)
Exercice 2 — Équation de congruence
Corrigé :
1. $d=\gcd(9,15)=3$. $3\mid6$, donc des solutions existent. On divise par 3 : $3x\equiv2\pmod5$. L'inverse de 3 mod 5 : $3\times2=6\equiv1\pmod5$, donc $3^{-1}\equiv2$. Ainsi $x\equiv4\pmod5$. Solutions modulo 15 : $x\equiv4,9,14\pmod{15}$. (2 pts)
2. $\gcd(4,10)=2$ et $2\nmid3$, donc pas de solution. (1 pt)
3. $\gcd(5,12)=1$, donc l'inverse de 5 existe. $5\times5=25\equiv1\pmod{12}$, donc $5^{-1}\equiv5$. Solution : $x\equiv5\times1=5\pmod{12}$. (2 pts)
Exercice 3 — Petit théorème de Fermat
Corrigé :
1. Soit $p$ premier et $a$ entier avec $p\nmid a$. Alors $a^{p-1}\equiv1\pmod p$. (1 pt)
2. $3^{10}\equiv1\pmod{11}$ (Fermat, 11 premier). $200=20\times10$. Donc $3^{200}=(3^{10})^{20}\equiv1^{20}=1\pmod{11}$. (2 pts)
3. Si $11\nmid n$ : $n^{10}\equiv1\pmod{11}$, donc $n^{11}=n^{10}\cdot n\equiv1\cdot n=n\pmod{11}$. Si $11\mid n$ : $n\equiv0$, $n^{11}\equiv0\equiv n\pmod{11}$. Dans les deux cas, $n^{11}\equiv n\pmod{11}$. (2 pts)
Exercice 4 — Divisibilité et congruences
Corrigé :
1. Tout entier impair s'écrit $n=2k+1$. Alors $n^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$. Comme $k$ et $k+1$ sont consécutifs, l'un est pair, donc $k(k+1)$ est pair, i.e. $k(k+1)=2m$. Ainsi $n^2=8m+1\equiv1\pmod8$. (2 pts)
2. Si $a$ et $b$ sont impairs, $a^2\equiv1\pmod8$ et $b^2\equiv1\pmod8$, donc $a^2-b^2\equiv0\pmod8$ : leur différence est divisible par 8. (1 pt)
Exercice 5 — Application au chiffrement
Corrigé :
1. $\phi(35)=(5-1)(7-1)=4\times6=24$. (1 pt)
2. Chercher $d$ avec $11d\equiv1\pmod{24}$. Algorithme d'Euclide étendu : $24=2\times11+2$, $11=5\times2+1$. Remontée : $1=11-5\times2=11-5\times(24-2\times11)=11\times11-5\times24$. Donc $11\times11\equiv1\pmod{24}$ : $d=11$. (1 pt)
3. $2^{11}=2048$. $2048\div35=58$ reste $18$ (car $58\times35=2030$). $C=18$. (1 pt)
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Arithmétique — congruences et applications » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calculs de restes et propriétés/ 4 pts
- Exercice 2 — Équation de congruence/ 5 pts
- Exercice 3 — Petit théorème de Fermat/ 5 pts
- Exercice 4 — Divisibilité et congruences/ 3 pts
- Exercice 5 — Application au chiffrement/ 3 pts
Notions évaluées
Relation de congruence modulo n, Propriétés des congruences, Classes de congruence et anneau ℤ/nℤ, Critères de divisibilité via les congruences, Équations de congruence linéaires, Petit théorème de Fermat.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Arithmétique — congruences et applications » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Arithmétique — congruences et applications » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Relation de congruence modulo n, Propriétés des congruences, Classes de congruence et anneau ℤ/nℤ, Critères de divisibilité via les congruences.
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