Congruences

1. a)$10\equiv 1[9]$, donc $3428$ est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres : $3+4+2+8=17$, et $17=9+8$. Donc $3428\equiv 8[9]$ : le reste vaut $8$ (contrôle : $9\times 380=3420$). (1)
2. b)$10\equiv -1[11]$ : somme alternée à partir des unités, $8-2+4-3=7$, donc $3428\equiv 7[11]$ : le reste vaut $7$ (contrôle : $11\times 311=3421$). (1)
3. c)$99=9\times 11$. Si $99$ divisait $3428$, alors $9$, qui divise $99$, diviserait aussi $3428$ ; or le reste de $3428$ par $9$ vaut $8\ne 0$. Donc $3428$ n’est pas divisible par $99$. (1)
4. d)Par compatibilité avec les puissances, $3{428}^2\equiv 8^2=64[9]$, et $64=7\times 9+1$ : le reste vaut $1$. Plus court : $8\equiv -1[9]$, donc $3{428}^2\equiv (-1{)}^2=1[9]$. (1)

Repère — Modulo 9, un entier a le même reste que la somme de ses chiffres ; modulo 11, que leur somme alternée en partant des unités.

1. a)Restes des puissances de $3$ modulo $5$ : $3$, puis $9\equiv 4$, $4\times 3=12\equiv 2$, $2\times 3=6\equiv 1$ : $3^4\equiv 1[5]$. Comme $2026=4\times 506+2$, $3^{2026}=(3^4{)}^{506}\times 3^2\equiv 9\equiv 4[5]$. Le reste vaut $4$. (1)
2. b)$4\equiv -1[5]$ et $2026$ est pair, donc $4^{2026}\equiv (-1{)}^{2026}=1[5]$. Le reste vaut $1$. (1)
3. c)Par compatibilité avec l’addition, $A\equiv 4+1=5\equiv 0[5]$ : $5$ divise $A$. (1)
4. d)$3^{2026}$ est impair (produit de nombres impairs) et $4^{2026}$ est pair, donc $A$ est impair. Le chiffre des unités de $A$ est donc impair, et c’est $0$ ou $5$ puisque $A$ est divisible par $5$ : c’est $5$. Autre méthode, modulo $10$ : $3^4=81\equiv 1$, donc $3^{2026}\equiv 3^2=9$, et $4^2=16\equiv 6$ avec $6^k\equiv 6$, donc $4^{2026}\equiv 6[10]$ ; $A\equiv 15\equiv 5[10]$. (1)

Repère — On réduit la base, on cherche le cycle, on divise l’exposant : on ne calcule jamais la puissance.

1. a)$5\times 2=10\equiv 1[9]$ : l’inverse de $5$ modulo $9$ est $2$. En multipliant les deux membres par $2$ : $x\equiv 8[9]$. Réciproquement, $5\times 8=40=4\times 9+4$. Les solutions sont les entiers $x=8+9k$, $k\in \mathbb{Z}$. (1)
2. b)$2$ divise $10$, $4$ et $14$ : l’équation équivaut à $5x\equiv 2[7]$. Comme $5\times 3=15\equiv 1[7]$, l’inverse de $5$ modulo $7$ est $3$, d’où $x\equiv 6[7]$. Modulo $14$, deux classes : $x\equiv 6$ ou $x\equiv 13[14]$ (vérification : $10\times 6=60=4\times 14+4$ et $10\times 13=130=9\times 14+4$). (1)
3. c)Si $x$ était solution, il existerait un entier $k$ tel que $15x-7=25k$, soit $7=15x-25k=5(3x-5k)$ : $5$ diviserait $7$, ce qui est faux. L’équation n’a aucune solution. (1)
4. d)$11$ divise $7n+3$ si et seulement si $7n\equiv -3\equiv 8[11]$. Or $7\times 8=56=5\times 11+1$ : l’inverse de $7$ modulo $11$ est $8$. En multipliant par $8$ : $n\equiv 64\equiv 9[11]$. Les solutions sont les entiers $n=9+11k$, $k\in \mathbb{Z}$ (contrôle : $7\times 9+3=66=6\times 11$). (1)

Repère — Avec un inverse u de a modulo n, ax ≡ b [n] équivaut à x ≡ ub [n] ; sans inverse, on simplifie par le diviseur commun, ou il n’y a pas de solution.

1. a)Par compatibilité avec les puissances, $n^3$ a le même reste que le cube du reste de $n$. Par exemple $2^3=8=7+1$, $3^3=27=3\times 7+6$, $5^3=125=17\times 7+6$ :

   $n$ modulo $7$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
   $n^3$ modulo $7$	$0$	$1$	$1$	$6$	$1$	$6$	$6$

   (1)
2. b)D’après le tableau, $n^3$ est congru à $0$, $1$ ou $6$ modulo $7$, et $6\equiv -1[7]$ : $n^3$ est congru à $-1$, $0$ ou $1$. (1)
3. c)Si $(x;y)$ était solution, on aurait $x^3=7y+3\equiv 3[7]$. Or un cube est congru à $0$, $1$ ou $6$ modulo $7$, jamais à $3$ : l’équation n’a aucune solution. (1)
4. d)$7$ divise $n^3+1$ si et seulement si $n^3\equiv -1\equiv 6[7]$, c’est-à-dire, d’après le tableau, $n\equiv 3$, $5$ ou $6[7]$. Les solutions sont les entiers $3+7k$, $5+7k$ et $6+7k$, $k\in \mathbb{Z}$ (contrôle : $3^3+1=28=4\times 7$). (1)

Repère — Une colonne par reste : le tableau donne d’un coup les restes possibles, l’impossibilité d’une équation et la condition cherchée.

1. a)Rangs impairs : $3+6+2+1+4+0=16$. Rangs pairs : $7+0+7+5+8+3=30$, de poids $3$ : $90$. Sans la clé, la somme vaut $106\equiv 6[10]$ ; il faut $106+c_{13}\equiv 0[10]$, soit $c_{13}\equiv -6\equiv 4[10]$. La clé vaut $4$ et $S=110$. (1)
2. b)Si un chiffre de poids $w$ ($w=1$ ou $3$) est remplacé, $S$ varie de $wd$, où $d$ est un entier avec $1⩽|d|⩽9$. Si $w=1$, $d$ n’est pas un multiple de $10$. Si $w=3$ et $3d\equiv 0[10]$, en multipliant par $7$, inverse de $3$ modulo $10$ ($21\equiv 1$), on aurait $d\equiv 0[10]$ : impossible. Dans les deux cas, $S$ cesse d’être divisible par $10$ : l’erreur est détectée. (1)
3. c)Deux rangs voisins ont des poids différents, $1$ et $3$. Si $a$ a le poids $1$ et $b$ le poids $3$, $S$ contient $a+3b$, remplacé après l’échange par $b+3a$ : la variation vaut $(b+3a)-(a+3b)=2(a-b)$ ; dans l’autre cas, elle vaut $2(b-a)$. L’erreur passe inaperçue si et seulement si $10$ divise $2(b-a)$, c’est-à-dire si $5$ divise $b-a$. Comme $1⩽|b-a|⩽9$, cela équivaut à $|b-a|=5$. (1)
4. d)Les rangs $5$ et $6$ portent $2$ (poids $1$) et $7$ (poids $3$) : $2+3\times 7=23$ devient $7+3\times 2=13$. La nouvelle somme vaut $110-10=100$, encore divisible par $10$ : l’erreur n’est pas détectée, ce qu’annonçait la question précédente puisque $7-2=5$. (1)

Repère — Une clé de contrôle détecte une erreur dès que la variation de la somme pondérée n’est pas un multiple du module.