Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Suites arithmétiques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à accroissement constant (évolutions linéaires)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Suites arithmétiques » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en maths complémentaires (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Reconnaître une suite arithmétique, Terme général et représentation graphique, Sens de variation. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Deux livrets d'épargne

Moyen

Le 1er janvier 2027, Léa dispose de 380 € sur un livret. À la fin de chaque mois, elle y dépose 35 €. Au même moment, son frère Hugo dispose de 900 € et retire 12 € à la fin de chaque mois. On néglige les intérêts. On note $u_{n}$ et $v_{n}$ les montants respectifs (en euros) de Léa et d'Hugo après $n$ mois ; ainsi $u_{0} = 380$ et $v_{0} = 900$ .

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2. Justifier que $(u_{n})$ est arithmétique et exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
3. De quelle somme Léa dispose-t-elle au bout de deux ans ?
4. Au bout de combien de mois Léa disposera-t-elle d'au moins 2 000 € ?
5. a) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
5. b) À partir de combien de mois Léa a-t-elle strictement plus d'argent qu'Hugo ?
6. Écrire une fonction Python $m o i s (S)$ qui renvoie le nombre de mois nécessaires pour que Léa dispose d'au moins $S$ euros, et donner la valeur de $m o i s (2000)$ .

1. $u_{1} = 380 + 35 = 415$ et $u_{2} = 415 + 35 = 450$ . $u_{1} = 415$ € et $u_{2} = 450$ €.

2. Chaque mois, Léa ajoute la même somme : $u_{n + 1} = u_{n} + 35$ pour tout $n$ . La suite est donc arithmétique de raison $35$ et de premier terme $380$ : $u_{n} = 380 + 35 n$ .

3. Deux ans font 24 mois : $u_{24} = 380 + 35 \times 24 = 380 + 840$ , soit 1 220 €.

4. $u_{n} ⩾ 2000 ⟺ 35 n ⩾ 1620 ⟺ n ⩾ 46, 28 \dots$ Le plus petit entier est $47$ . Vérification : $u_{46} = 1990$ et $u_{47} = 2025$ . Il faut 47 mois.

5. a) Hugo retire 12 € par mois : $v_{n + 1} = v_{n} - 12$ , donc $(v_{n})$ est arithmétique de raison $- 12$ et $v_{n} = 900 - 12 n$ .

5. b) $u_{n} > v_{n} ⟺ 380 + 35 n > 900 - 12 n ⟺ 47 n > 520 ⟺ n > 11, 06 \dots$ Le plus petit entier est $12$ . Contrôle : $u_{11} = 765 < v_{11} = 768$ et $u_{12} = 800 > v_{12} = 756$ . La différence $u_{n} - v_{n} = 47 n - 520$ croît ensuite. À partir de 12 mois, soit fin décembre 2027.

6. On fait évoluer le montant tant que le seuil n'est pas atteint :

def mois(S):
    u = 380
    n = 0
    while u < S:
        u = u + 35
        n = n + 1
    return n

D'après la question 4, $m o i s (2000)$ renvoie 47.

Problème 2 — Les gradins d'un amphithéâtre

Moyen

Un amphithéâtre est formé de rangées de sièges. Le premier rang compte 24 places et chaque rang compte 3 places de plus que le précédent. On note $p_{n}$ le nombre de places du rang $n$ ( $n ⩾ 1$ ) et $T_{n}$ le nombre total de places des $n$ premiers rangs.

1. Calculer $p_{2}$ et $p_{3}$ .
2. Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Combien de places compte le 18e rang ?
4. Calculer la capacité d'un amphithéâtre de 18 rangs.
5. a) Montrer que $T_{n} = \frac{n (3 n + 45)}{2}$ .
5. b) Combien de rangs faut-il au minimum pour disposer d'au moins 1 500 places ?
6. Un architecte affirme que le 18e rang compte $24 + 18 \times 3 = 78$ places. Expliquer son erreur.

1. $p_{2} = 24 + 3 = 27$ et $p_{3} = 27 + 3 = 30$ . $p_{2} = 27$ , $p_{3} = 30$ .

2. On ajoute 3 places par rang : $(p_{n})$ est arithmétique de raison 3 et de premier terme $p_{1} = 24$ . Comme elle commence au rang 1, $p_{n} = 24 + 3 (n - 1)$ , soit $p_{n} = 21 + 3 n$ .

3. $p_{18} = 21 + 54$ , soit 75 places.

4. $T_{18} = p_{1} + \dots + p_{18}$ compte 18 termes : $T_{18} = 18 \times \frac{24 + 75}{2} = 9 \times 99$ , soit 891 places.

5. a) $T_{n}$ est la somme de $n$ termes consécutifs, de $p_{1} = 24$ à $p_{n} = 21 + 3 n$ : $T_{n} = n \times \frac{24 + 21 + 3 n}{2} = \frac{n (3 n + 45)}{2}$ . C'est l'égalité demandée. (Contrôle : $T_{18} = \frac{18 \times 99}{2} = 891$ .)

5. b) $T_{n} ⩾ 1500 ⟺ n (3 n + 45) ⩾ 3000 ⟺ 3 n^{2} + 45 n - 3000 ⩾ 0 ⟺ n^{2} + 15 n - 1000 ⩾ 0$ . Discriminant : $Δ = 225 + 4000 = 4225 = 65^{2}$ ; racines $\frac{- 15 - 65}{2} = - 40$ et $\frac{- 15 + 65}{2} = 25$ . Le trinôme est positif à l'extérieur des racines ; pour $n$ entier positif, cela donne $n ⩾ 25$ . Contrôle : $T_{24} = \frac{24 \times 117}{2} = 1404$ et $T_{25} = \frac{25 \times 120}{2} = 1500$ . Il faut au minimum 25 rangs.

6. Du rang 1 au rang 18, on ajoute 3 places seulement $18 - 1 = 17$ fois : $p_{18} = 24 + 17 \times 3 = 75$ . L'architecte a utilisé $p_{1} + n r$ au lieu de $p_{1} + (n - 1) r$ : il compte un ajout de trop.

Problème 3 — Amortissement et maintenance d'une machine

Difficile

Une entreprise achète une machine 48 600 €. Partie A. Sa valeur comptable baisse chaque année de 4 050 € (amortissement linéaire). On note $V_{n}$ sa valeur après $n$ années, $V_{0} = 48 600$ . Partie B. La maintenance coûte 1 250 € la première année, puis augmente de 180 € chaque année. On note $m_{n}$ le coût de la $n$ -ième année ( $n ⩾ 1$ ) et $C_{n} = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}$ le coût cumulé sur $n$ années.

1. Justifier que $(V_{n})$ est arithmétique, exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $V_{5}$ .
2. Au bout de combien d'années la valeur comptable devient-elle inférieure à 10 000 € ? Après combien d'années la machine est-elle entièrement amortie ?
3. Exprimer $m_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $m_{12}$ .
4. Montrer que $C_{n} = 90 n^{2} + 1160 n$ .
5. Calculer le coût total de maintenance sur 12 ans de deux façons.
6. L'entreprise remplace la machine dès que le coût cumulé de maintenance dépasse la moitié du prix d'achat. Déterminer au bout de combien d'années.

1. La valeur baisse chaque année du même montant : $V_{n + 1} = V_{n} - 4050$ . $(V_{n})$ est arithmétique de raison $- 4050$ , donc $V_{n} = 48 600 - 4050 n$ . $V_{5} = 48 600 - 20 250$ , soit $V_{5} = 28 350$ €.

2. $V_{n} < 10 000 ⟺ 4050 n > 38 600 ⟺ n > 9, 53 \dots$ Donc $n = 10$ : $V_{9} = 12 150$ € et $V_{10} = 8100$ €. La valeur passe sous 10 000 € au bout de 10 ans. Par ailleurs $V_{n} = 0 ⟺ n = \frac{48 600}{4050} = 12$ : la machine est entièrement amortie après 12 ans.

3. Le coût augmente de 180 € par an : $(m_{n})$ est arithmétique de raison 180, de premier terme $m_{1} = 1250$ . Donc $m_{n} = 1250 + 180 (n - 1)$ , soit $m_{n} = 1070 + 180 n$ , et $m_{12} = 1070 + 2160 =$ 3 230 €.

4. $C_{n}$ est la somme de $n$ termes consécutifs de $m_{1} = 1250$ à $m_{n} = 1070 + 180 n$ : $C_{n} = n \times \frac{1250 + 1070 + 180 n}{2} = n \times \frac{2320 + 180 n}{2} = n (1160 + 90 n)$ , soit $C_{n} = 90 n^{2} + 1160 n$ .

5. Avec la formule des sommes : $C_{12} = 12 \times \frac{1250 + 3230}{2} = 6 \times 4480 = 26 880$ . Avec la question 4 : $C_{12} = 90 \times 144 + 1160 \times 12 = 12 960 + 13 920 = 26 880$ . Le coût total sur 12 ans est 26 880 €.

6. La moitié du prix d'achat est 24 300 €. $C_{n} > 24 300 ⟺ 90 n^{2} + 1160 n - 24 300 > 0 ⟺ 9 n^{2} + 116 n - 2430 > 0$ . $Δ = 116^{2} + 4 \times 9 \times 2430 = 13 456 + 87 480 = 100 936$ , $\sqrt{Δ} \approx 317, 7$ . La racine positive vaut environ $\frac{- 116 + 317, 7}{18} \approx 11, 2$ ; le trinôme est positif pour $n$ au-delà. Le plus petit entier est $12$ . Contrôle : $C_{11} = 10 890 + 12 760 = 23 650 ⩽ 24 300$ et $C_{12} = 26 880 > 24 300$ . La machine est remplacée au bout de 12 ans, c'est-à-dire au moment où elle est entièrement amortie.

Problème 4 — Abonnés d'une médiathèque

Difficile

Le tableau donne le nombre d'abonnés d'une médiathèque au 1er janvier de chaque année.

Année	2021	2022	2023	2024	2025
Abonnés	1840	1905	1968	2036	2100

On souhaite modéliser ce nombre par une suite

(u_{n})

, où

n

est le nombre d'années après 2021.

1. Calculer les accroissements annuels. Expliquer pourquoi la suite des effectifs réels n'est pas arithmétique, puis pourquoi un modèle arithmétique reste raisonnable.
2. Montrer que l'accroissement annuel moyen entre 2021 et 2025 vaut 65. On pose alors $u_{0} = 1840$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 65$ ; exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Selon ce modèle, combien d'abonnés la médiathèque aura-t-elle en 2030 ?
4. La médiathèque ne peut accueillir plus de 2 600 abonnés. En quelle année ce seuil sera-t-il dépassé ?
5. Écrire une fonction Python $a n n e e (C)$ qui renvoie la première année où le nombre d'abonnés du modèle dépasse strictement $C$ .
6. Chaque abonné paie 48 € par an. Estimer la recette totale des cotisations de 2021 à 2030 inclus.

1. Accroissements : $1905 - 1840 = 65$ ; $1968 - 1905 = 63$ ; $2036 - 1968 = 68$ ; $2100 - 2036 = 64$ . Ils ne sont pas égaux, donc la suite réelle n'est pas arithmétique. Mais ils restent compris entre 63 et 68, soit des écarts de quelques unités pour environ 2 000 abonnés : l'accroissement est presque constant, un modèle arithmétique est raisonnable.

2. Accroissement moyen : $\frac{2100 - 1840}{4} = \frac{260}{4} = 65$ . Il vaut bien 65. Avec $u_{n + 1} = u_{n} + 65$ , $(u_{n})$ est arithmétique de raison 65 : $u_{n} = 1840 + 65 n$ . (Le modèle redonne exactement $u_{4} = 2100$ .)

3. 2030 correspond à $n = 9$ : $u_{9} = 1840 + 585$ , soit 2 425 abonnés.

4. $u_{n} > 2600 ⟺ 65 n > 760 ⟺ n > 11, 69 \dots$ Donc $n = 12$ : $u_{11} = 2555$ et $u_{12} = 2620$ . Le seuil sera dépassé en 2033.

5. On compte les années à partir de 2021 :

def annee(C):
    u = 1840
    a = 2021
    while u <= C:
        u = u + 65
        a = a + 1
    return a

D'après la question 4, $a n n e e (2600)$ renvoie 2033.

6. Le nombre total d'abonnements de 2021 à 2030 est $u_{0} + \dots + u_{9}$ , somme de 10 termes : $10 \times \frac{1840 + 2425}{2} = 5 \times 4265 = 21 325$ . Recette : $21 325 \times 48 =$ 1 023 600 € environ, selon le modèle.

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