Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Suites arithmétiques

Terme général, sens de variation, sommes de termes consécutifs, modèles à accroissement constant (évolutions linéaires)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Suites arithmétiques » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en maths complémentaires (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Reconnaître une suite arithmétique, Terme général et représentation graphique, Sens de variation. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser maths complémentaires (option tle) en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Premiers termes et terme général

Facile

La suite $(u_{n})$ est arithmétique de premier terme $u_{0} = - 4$ et de raison $r = 2, 5$ .

a) Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer $u_{30}$ .
d) Déterminer le sens de variation de $(u_{n})$ .

a) On ajoute la raison à chaque étape : $u_{1} = - 4 + 2, 5 = - 1, 5$ ; $u_{2} = - 1, 5 + 2, 5 = 1$ ; $u_{3} = 1 + 2, 5 = 3, 5$ . $u_{1} = - 1, 5$ , $u_{2} = 1$ , $u_{3} = 3, 5$ .

b) Pour une suite arithmétique, $u_{n} = u_{0} + n r$ , donc $u_{n} = - 4 + 2, 5 n$ .

c) $u_{30} = - 4 + 2, 5 \times 30 = - 4 + 75$ , donc $u_{30} = 71$ .

d) La raison $r = 2, 5$ est strictement positive, donc $(u_{n})$ est strictement croissante.

Exercice 2 — Suite commençant au rang 1

Facile

La suite $(v_{n})_{n ⩾ 1}$ est arithmétique, avec $v_{1} = 9$ et de raison $- 1, 2$ .

a) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour $n ⩾ 1$ .
b) Calculer $v_{15}$ .
c) Le nombre $- 21$ est-il un terme de la suite ? Si oui, préciser son rang.
d) Même question pour le nombre $- 30$ .

a) La suite commence au rang 1, donc $v_{n} = v_{1} + (n - 1) r = 9 - 1, 2 (n - 1) = 9 - 1, 2 n + 1, 2$ , soit $v_{n} = 10, 2 - 1, 2 n$ .

b) $v_{15} = 10, 2 - 1, 2 \times 15 = 10, 2 - 18$ , donc $v_{15} = - 7, 8$ .

c) On résout $10, 2 - 1, 2 n = - 21$ , soit $1, 2 n = 31, 2$ , soit $n = 26$ . C'est un entier supérieur ou égal à 1, donc $- 21$ est un terme de la suite : $v_{26} = - 21$ .

d) $10, 2 - 1, 2 n = - 30$ donne $1, 2 n = 40, 2$ , soit $n = 33, 5$ . Ce n'est pas un entier : $- 30$ n'est pas un terme de la suite (on a d'ailleurs $v_{33} = - 29, 4$ et $v_{34} = - 30, 6$ ).

Exercice 3 — Arithmétique ou non ?

Facile

Pour chaque suite définie sur $ℕ$ , dire si elle est arithmétique. Si oui, donner sa raison et son premier terme.

a) $a_{n} = 6 - 7 n$
b) $b_{n} = n^{2} + 1$
c) $c_{n} = (n + 2)^{2} - n^{2}$
d) $d_{0} = 1$ et $d_{n + 1} = d_{n} + 2 n$

a) $a_{n + 1} - a_{n} = 6 - 7 (n + 1) - 6 + 7 n = - 7$ : constante. $(a_{n})$ est arithmétique de raison $- 7$ , avec $a_{0} = 6$ .

b) $b_{0} = 1$ , $b_{1} = 2$ , $b_{2} = 5$ : $b_{1} - b_{0} = 1$ mais $b_{2} - b_{1} = 3$ . Les écarts diffèrent, donc $(b_{n})$ n'est pas arithmétique.

c) On développe : $c_{n} = n^{2} + 4 n + 4 - n^{2} = 4 n + 4$ . Alors $c_{n + 1} - c_{n} = 4$ . $(c_{n})$ est arithmétique de raison $4$ , avec $c_{0} = 4$ .

d) $d_{1} = d_{0} + 0 = 1$ et $d_{2} = d_{1} + 2 = 3$ : $d_{1} - d_{0} = 0$ et $d_{2} - d_{1} = 2$ . La quantité ajoutée $2 n$ dépend de $n$ : $(d_{n})$ n'est pas arithmétique.

Exercice 4 — Retrouver une suite à partir de deux termes

Moyen

$(u_{n})$ est une suite arithmétique telle que $u_{6} = 20, 4$ et $u_{16} = 49, 4$ .

a) Déterminer la raison $r$ .
b) Déterminer $u_{0}$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer $u_{40}$ .
d) Montrer que $u_{34}$ est le premier terme strictement supérieur à $100$ .

a) D'après le terme général, $u_{16} = u_{6} + (16 - 6) r$ , donc $10 r = 49, 4 - 20, 4 = 29$ et $r = 2, 9$ .

b) $u_{6} = u_{0} + 6 r$ donne $u_{0} = 20, 4 - 6 \times 2, 9 = 20, 4 - 17, 4 = 3$ . Donc $u_{n} = 3 + 2, 9 n$ .

c) $u_{40} = 3 + 2, 9 \times 40 = 3 + 116$ , donc $u_{40} = 119$ .

d) $u_{n} > 100 ⟺ 2, 9 n > 97 ⟺ n > \frac{97}{2, 9} \approx 33, 45$ . Le plus petit entier qui convient est $34$ . Vérification : $u_{33} = 3 + 95, 7 = 98, 7 ⩽ 100$ et $u_{34} = 3 + 98, 6 = 101, 6 > 100$ . Comme la suite est croissante ( $r > 0$ ), tous les termes suivants dépassent aussi 100 : $u_{34}$ est le premier terme supérieur à 100.

Exercice 5 — Calculs de sommes

Moyen

a) Calculer $1 + 2 + 3 + \dots + 250$ .
b) Calculer $S = 3 + 10 + 17 + \dots + 346$ , où chaque terme s'obtient en ajoutant $7$ au précédent.
c) Calculer la somme de tous les entiers pairs de $2$ à $400$ .

a) D'après la formule des entiers : $1 + 2 + \dots + 250 = \frac{250 \times 251}{2}$ , donc $31 375$ .

b) Les termes sont ceux de la suite arithmétique $u_{n} = 3 + 7 n$ . Le dernier vérifie $3 + 7 n = 346$ , soit $7 n = 343$ et $n = 49$ . La somme va de $u_{0}$ à $u_{49}$ : elle compte $49 - 0 + 1 = 50$ termes. Donc $S = 50 \times \frac{3 + 346}{2} = 25 \times 349$ , soit $S = 8725$ .

c) Les entiers pairs de 2 à 400 s'écrivent $2 k$ pour $k$ allant de 1 à 200 : il y a $200$ termes, en progression arithmétique de raison 2. Leur somme vaut $200 \times \frac{2 + 400}{2} = 200 \times 201$ , soit $40 200$ . Contrôle : $2 (1 + 2 + \dots + 200) = 2 \times \frac{200 \times 201}{2} = 40 200$ .

Exercice 6 — Une suite définie par un programme Python

Moyen

On considère la fonction Python suivante, où $n$ est un entier naturel.

def terme(n):
    u = 150
    for k in range(n):
        u = u - 6.5
    return u

On note

u_{n}

la valeur renvoyée par

t e r m e (n)

a) Quelle valeur renvoie $t e r m e (3)$ ?
b) Montrer que $(u_{n})$ est une suite arithmétique et exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c) Calculer $t e r m e (20)$ sans exécuter le programme.
d) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0$ .

a) La boucle s'exécute 3 fois : $150 \to 143, 5 \to 137 \to 130, 5$ . $t e r m e (3)$ renvoie $130, 5$ .

b) $t e r m e (n + 1)$ effectue une soustraction de plus que $t e r m e (n)$ , donc $u_{n + 1} = u_{n} - 6, 5$ pour tout $n$ , avec $u_{0} = 150$ (aucun passage dans la boucle). La suite est arithmétique de raison $- 6, 5$ et $u_{n} = 150 - 6, 5 n$ .

c) $u_{20} = 150 - 6, 5 \times 20 = 150 - 130$ , donc $t e r m e (20)$ renvoie $20$ .

d) $u_{n} < 0 ⟺ 150 - 6, 5 n < 0 ⟺ 6, 5 n > 150 ⟺ n > 23, 07 \dots$ Le plus petit entier est $24$ : $u_{23} = 0, 5 ⩾ 0$ et $u_{24} = - 6 < 0$ . $n = 24$ .

Exercice 7 — Somme partielle et erreur de comptage

Moyen

On considère la suite définie pour tout $n \in ℕ$ par $u_{n} = 4 n - 9$ .

a) Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique ; préciser sa raison et $u_{0}$ .
b) Calculer $S = u_{10} + u_{11} + \dots + u_{40}$ .
c) Un élève écrit : « $S = 30 \times \frac{31 + 151}{2} = 2730$ ». Expliquer son erreur.
d) Calculer $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{9}$ , puis en déduire $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{40}$ .

a) $u_{n + 1} - u_{n} = 4 (n + 1) - 9 - (4 n - 9) = 4$ : la différence est constante. $(u_{n})$ est arithmétique de raison $4$ , avec $u_{0} = - 9$ .

b) $u_{10} = 31$ et $u_{40} = 151$ . De $u_{10}$ à $u_{40}$ , il y a $40 - 10 + 1 = 31$ termes. Donc $S = 31 \times \frac{31 + 151}{2} = 31 \times 91$ , soit $S = 2821$ .

c) L'élève a compté $40 - 10 = 30$ termes, alors qu'il faut compter $40 - 10 + 1 = 31$ termes ( $u_{10}$ et $u_{40}$ sont tous deux inclus). Il a oublié un terme : le bon nombre de termes est 31.

d) $u_{9} = 27$ et la somme compte 10 termes : $u_{0} + \dots + u_{9} = 10 \times \frac{- 9 + 27}{2} = 90$ . Donc $u_{0} + \dots + u_{40} = 90 + 2821 =$ $2911$ . Contrôle direct : $41 \times \frac{- 9 + 151}{2} = 41 \times 71 = 2911$ .

Exercice 8 — Trois termes consécutifs

Difficile

Trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ont pour somme $48$ et pour produit $3312$ . On les note $a - r$ , $a$ et $a + r$ , où $r$ est la raison.

a) Montrer que $a = 16$ .
b) Montrer que $r^{2} = 49$ .
c) En déduire les trois termes.
d) On considère la suite arithmétique $(u_{n})$ de premier terme $u_{0} = 9$ et de raison $7$ . Montrer que $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \frac{(n + 1) (7 n + 18)}{2}$ .
e) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 1000$ .

a) $(a - r) + a + (a + r) = 3 a$ , donc $3 a = 48$ et $a = 16$ .

b) Le produit vaut $(16 - r) \times 16 \times (16 + r) = 16 (256 - r^{2})$ . Donc $16 (256 - r^{2}) = 3312$ , soit $256 - r^{2} = 207$ et $r^{2} = 49$ .

c) $r = 7$ ou $r = - 7$ . Dans les deux cas, les trois termes sont $9$ , $16$ et $23$ (dans l'ordre croissant si $r = 7$ , décroissant si $r = - 7$ ). Vérification : $9 + 16 + 23 = 48$ et $9 \times 16 \times 23 = 3312$ .

d) $u_{n} = 9 + 7 n$ . La somme $S_{n}$ compte $n + 1$ termes, de premier terme $9$ et de dernier terme $9 + 7 n$ : $S_{n} = (n + 1) \times \frac{9 + 9 + 7 n}{2}$ , soit $S_{n} = \frac{(n + 1) (7 n + 18)}{2}$ .

e) $S_{n} > 1000 ⟺ (n + 1) (7 n + 18) > 2000$ . Les termes $u_{n}$ sont positifs, donc $(S_{n})$ est croissante. $S_{15} = \frac{16 \times 123}{2} = 984 ⩽ 1000$ et $S_{16} = \frac{17 \times 130}{2} = 1105 > 1000$ . Le plus petit entier est $n = 16$ .

Exercice 9 — Somme des entiers et des impairs

Difficile

a) Déterminer l'entier $n$ tel que $1 + 2 + \dots + n = 1953$ .
b) Montrer que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .
c) En déduire la valeur de $1 + 3 + 5 + \dots + 199$ .
d) Calculer $101 + 103 + \dots + 199$ .

a) $\frac{n (n + 1)}{2} = 1953 ⟺ n^{2} + n - 3906 = 0$ . Discriminant : $Δ = 1 + 4 \times 3906 = 15 625 = 125^{2}$ . Les racines sont $\frac{- 1 - 125}{2} = - 63$ et $\frac{- 1 + 125}{2} = 62$ . Comme $n$ est un entier positif, $n = 62$ (contrôle : $62 \times 63 = 3906$ ).

b) Les nombres $1$ , $3$ , …, $2 n - 1$ sont les termes $v_{k} = 2 k - 1$ pour $k$ de 1 à $n$ : suite arithmétique de raison 2, avec $n$ termes. Donc $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n \times \frac{1 + (2 n - 1)}{2} = n \times \frac{2 n}{2}$ , soit $n^{2}$ .

c) $199 = 2 n - 1$ pour $n = 100$ , donc $1 + 3 + \dots + 199 = 100^{2} = 10 000$ .

d) $1 + 3 + \dots + 99$ correspond à $2 n - 1 = 99$ , soit $n = 50$ : cette somme vaut $50^{2} = 2500$ . Donc $101 + 103 + \dots + 199 = 10 000 - 2500 =$ $7500$ . Contrôle : 50 termes, $50 \times \frac{101 + 199}{2} = 7500$ .

Exercice 10 — Points alignés et seuil sur une somme

Difficile

Pour tout $n \in ℕ$ , le point $M_{n} (n; u_{n})$ appartient à la droite passant par $A (2; 7, 4)$ et $B (8; 0, 8)$ . On note $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ .

a) Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ , puis montrer que $(u_{n})$ est arithmétique.
b) Donner le sens de variation de $(u_{n})$ .
c) Calculer $S_{20}$ .
d) Montrer que $S_{n} = \frac{(n + 1) (19, 2 - 1, 1 n)}{2}$ .
e) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} < - 100$ , en justifiant qu'au-delà la condition reste vraie.

a) Coefficient directeur : $m = \frac{0, 8 - 7, 4}{8 - 2} = \frac{- 6, 6}{6} = - 1, 1$ . Avec $A$ : $7, 4 = - 1, 1 \times 2 + p$ , donc $p = 9, 6$ . La droite a pour équation $y = - 1, 1 x + 9, 6$ , d'où $u_{n} = 9, 6 - 1, 1 n$ . Alors $u_{n + 1} - u_{n} = - 1, 1$ : $(u_{n})$ est arithmétique de raison $- 1, 1$ et $u_{0} = 9, 6$ .

b) $r = - 1, 1 < 0$ : $(u_{n})$ est strictement décroissante.

c) $u_{20} = 9, 6 - 22 = - 12, 4$ ; $S_{20}$ compte 21 termes : $S_{20} = 21 \times \frac{9, 6 - 12, 4}{2} = 21 \times (- 1, 4)$ , soit $S_{20} = - 29, 4$ .

d) $S_{n}$ compte $n + 1$ termes, de $u_{0} = 9, 6$ à $u_{n} = 9, 6 - 1, 1 n$ : $S_{n} = (n + 1) \times \frac{9, 6 + 9, 6 - 1, 1 n}{2} = \frac{(n + 1) (19, 2 - 1, 1 n)}{2}$ . C'est la formule demandée.

e) $S_{n} - S_{n - 1} = u_{n}$ et $u_{n} < 0 ⟺ n > 8, 72 \dots$ : à partir de $n = 9$ , $(S_{n})$ est strictement décroissante, et pour $n ⩽ 8$ , $S_{n} > 0$ ( $S_{8} = 46, 8$ ). On calcule $S_{24} = \frac{25 \times (19, 2 - 26, 4)}{2} = - 90 ⩾ - 100$ et $S_{25} = \frac{26 \times (19, 2 - 27, 5)}{2} = - 107, 9 < - 100$ . Comme $(S_{n})$ décroît ensuite, la condition reste vraie : le plus petit entier est $n = 25$ .

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