À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Primitives et intégration » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion de primitive, Primitives des fonctions usuelles, Opérations sur les primitives, Définition de l'intégrale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
Au programme
1 · Notion de primitive
2 · Primitives des fonctions usuelles
3 · Opérations sur les primitives
4 · Définition de l'intégrale
5 · Propriétés de l'intégrale
6 · Calcul pratique d'une intégrale
7 · Interprétation géométrique et applications
1Notion de primitive
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Définition. $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ $\iff$ $F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$.
Une fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Toutes les primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante additive : si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Exemple. La fonction $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 2x = f(x)$. La fonction $G(x) = x^2 + 5$ en est aussi une primitive.
Astuce. Pour vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$, il suffit de dériver $F$ et de contrôler qu'on retrouve $f$.
2Primitives des fonctions usuelles
Le tableau suivant résume les primitives des fonctions usuelles à connaître en Terminale :
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Intervalle |
|---|
| $k$ (constante) | $kx$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$, $n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ (ou $]0;+\infty[$ si $n<0$) |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0;+\infty[$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{2}{3}x^{3/2}$ | $]0;+\infty[$ |
Attention ! La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$ et non $\ln(x)$. En pratique, si le contexte impose $x > 0$, on écrit $\ln(x)$.
La courbe rouge représente $F(x) = x^2$ (primitive) et la courbe bleue représente $f(x) = 2x$ (sa dérivée). En chaque point, la pente de $F$ vaut $f$.
3Opérations sur les primitives
Les règles de linéarité de la dérivation permettent de calculer des primitives de combinaisons linéaires.
Propriété (linéarité). Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des primitives $F$ et $G$ sur $I$, et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Alors :
$$\text{Une primitive de } \alpha f + \beta g \text{ est } \alpha F + \beta G.$$
Exemple. Soit $h(x) = 3x^2 - 2e^x + \dfrac{1}{x}$. Sur $]0;+\infty[$, une primitive est :
$H(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 2e^x + \ln(x) = x^3 - 2e^x + \ln(x).$
Astuce — Primitive de $f(ax+b)$. Si $F$ est une primitive de $f$, alors une primitive de $f(ax+b)$ (avec $a \neq 0$) est $\dfrac{1}{a}F(ax+b)$.
Exemple : une primitive de $e^{3x}$ est $\dfrac{1}{3}e^{3x}$.
Attention ! La primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives. Il n'existe pas de formule générale simple pour la primitive d'un produit.
4Définition de l'intégrale
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, est l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$.
Théorème fondamental. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$, alors :
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b.$$
Ce théorème relie la notion de primitive (algébrique) à celle d'intégrale (géométrique/physique). Il vaut même si $f$ prend des valeurs négatives.
Exemple. Calculons $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$. On choisit la primitive $F(x) = x^2$ :
$\displaystyle\int_1^3 2x\,dx = \Big[x^2\Big]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.$
L'aire colorée entre $x=1$ et $x=3$ sous la droite $f(x)=2x$ vaut $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx = 8$.
5Propriétés de l'intégrale
L'intégrale vérifie plusieurs propriétés fondamentales :
| Propriété | Formule |
|---|
| Linéarité | $\displaystyle\int_a^b (\alpha f + \beta g)\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx$ |
| Relation de Chasles | $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$ |
| Intégrale nulle | $\displaystyle\int_a^a f\,dx = 0$ |
| Borne inférieure > borne sup. | $\displaystyle\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$ |
| Positivité | Si $f \geq 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \geq 0$ |
| Croissance | Si $f \leq g$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \leq \int_a^b g\,dx$ |
Relation de Chasles. Elle permet de découper un intervalle pour faciliter le calcul, ou de reconstituer une intégrale sur un grand intervalle à partir de sous-intervalles.
Exemple (Chasles). $\displaystyle\int_0^5 f\,dx = \int_0^2 f\,dx + \int_2^5 f\,dx$ pour toute fonction $f$ continue sur $[0;5]$.
6Calcul pratique d'une intégrale
La méthode standard pour calculer $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ comporte trois étapes :
- Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $[a;b]$.
- Écrire le crochet : $\Big[F(x)\Big]_a^b$.
- Calculer $F(b) - F(a)$.
Exemple 1. $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - e^x)\,dx = \Big[x^3 - e^x\Big]_0^1 = (1 - e) - (0 - 1) = 2 - e.$
Exemple 2. $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1.$
Attention ! La constante $C$ de la primitive disparaît dans le calcul : $F(b)+C - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$. On peut donc toujours prendre $C = 0$.
Astuce — Primitive de $f(ax+b)$. $\displaystyle\int_a^b e^{2x}\,dx = \left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_a^b$. Pensez à diviser par le coefficient $a$.
7Interprétation géométrique et applications
L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ donne une aire algébrique : elle compte positivement les parties où $f \geq 0$ et négativement celles où $f \leq 0$.
Aire entre deux courbes. Si $f \geq g$ sur $[a;b]$, l'aire de la région comprise entre les courbes de $f$ et $g$ est :
$$\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx.$$
Exemple. Calculons l'aire entre $f(x) = x+2$ et $g(x) = x^2$ sur $[0;2]$.
$f(x) \geq g(x)$ car $x+2 \geq x^2$ sur $[0;2]$.
$\displaystyle\mathcal{A} = \int_0^2 (x+2-x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = (2+4-\dfrac{8}{3}) - 0 = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}$ unités d'aire.
Applications physiques : En physique, si $v(t)$ est la vitesse d'un objet, alors $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$ représente le déplacement algébrique entre les instants $t_1$ et $t_2$. L'intégrale permet ainsi de passer d'une grandeur à sa grandeur cumulée (débit → volume, puissance → énergie…).
La zone comprise entre $f(x)=x+2$ (droite) et $g(x)=x^2$ (parabole) sur $[0;2]$ a une aire de $\dfrac{10}{3}$ unités d'aire.
★À retenir
En bref :
• Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ telle que $F' = f$.
• Toutes les primitives de $f$ diffèrent d'une constante : $F(x) + C$.
• Primitives clés : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(e^x)' = e^x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(-\cos x)' = \sin x$.
• Théorème fondamental : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$.
• Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.
• Aire entre deux courbes ($f \geq g$) : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b (f-g)\,dx$.