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Primitives

Primitive d’une fonction et équation y′ = f, primitives des fonctions usuelles et linéarité, formes 2u′u, u′eᵘ et u′/u, primitive vérifiant une condition initiale, coût total, position et quantité à partir de leur taux de variation.

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires de Terminale sur les primitives suit cinq parties : définition d’une primitive et lien avec l’équation différentielle y′ = f, primitives des fonctions usuelles et linéarité, formes composées 2u′u, u′eᵘ et u′/u, primitive vérifiant une condition initiale, et primitives en situation (coût marginal et coût total, vitesse et position, débit et volume). La démonstration « deux primitives diffèrent d’une constante » y est rédigée, avec le rappel des dérivées de référence.

Primitive d’une fonction et équation y′ = f

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une fonction $F$ dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque $F' (x) = f (x)$ pour tout $x$ de $I$ . Chercher une primitive, c’est remonter la dérivation : on connaît la dérivée, on cherche la fonction de départ.

Lien avec l’équation différentielle $y' = f$ . Une fonction $y$ est solution de l’équation $y' = f$ sur $I$ lorsque $y' (x) = f (x)$ pour tout $x$ de $I$ : les solutions de $y' = f$ sont exactement les primitives de $f$ sur $I$ .

Existence (admis). Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

Toutes les primitives. Si $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$ , les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F (x) + k$ , où $k$ est un réel. Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent donc d’une constante. Graphiquement, leurs courbes se déduisent l’une de l’autre par une translation verticale.

Rappels : les dérivées à savoir « retourner » (1^re, et $\ln$ vu dans le chapitre Fonction logarithme).

Fonction	Dérivée	Sur
$k$ (constante)	$0$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ )	$n x^{n - 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] 0; + \infty [$ ou $] - \infty; 0 [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$
$g (a x + b)$	$a g' (a x + b)$	là où $g$ est dérivable en $a x + b$
$u v$ ; $\frac{u}{v}$	$u' v + u v'$ ; $\frac{u' v - u v'}{v^{2}}$	$v \neq 0$ pour le quotient

Exemples

Une primitive, puis une autre. $F (x) = x^{3}$ est une primitive de $f (x) = 3 x^{2}$ sur $ℝ$ , car $F' (x) = 3 x^{2}$ . La fonction $G (x) = x^{3} + 8$ en est une autre, puisque $G' (x) = 3 x^{2}$ également.

Une équation $y' = f$ . Les solutions sur $ℝ$ de $y' = 6 x^{2} - 1$ sont les fonctions $x \mapsto 2 x^{3} - x + k$ , $k$ réel : en dérivant, on retrouve bien $6 x^{2} - 1$ .

Démonstration : deux primitives diffèrent d’une constante. Soit $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur l’intervalle $I$ . Posons $H = G - F$ . La fonction $H$ est dérivable sur $I$ et $H' = G' - F' = f - f = 0$ . Or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe un réel $k$ tel que $H (x) = k$ pour tout $x$ de $I$ , c’est-à-dire $G (x) = F (x) + k$ . Réciproquement, $(F + k)^{'} = F' = f$ : toute fonction $F + k$ est une primitive de $f$ sur $I$ .

Vérifier une primitive en dérivant. Montrons que $F (x) = (3 x + 1) e^{- x}$ est une primitive sur $ℝ$ de $f (x) = (2 - 3 x) e^{- x}$ . $F$ est dérivable sur $ℝ$ comme produit de fonctions dérivables ; avec $u (x) = 3 x + 1$ et $v (x) = e^{- x}$ , $v' (x) = - e^{- x}$ :

$F' (x) = 3 e^{- x} - (3 x + 1) e^{- x}$ $= (3 - 3 x - 1) e^{- x}$ $= (2 - 3 x) e^{- x}$ . Donc $F' = f$ : $F$ est une primitive de $f$ sur $ℝ$ .

Réflexe — Pour montrer que $F$ est une primitive de $f$ , je dérive $F$ et je retrouve $f$ . Je ne dérive jamais $f$ : la bonne égalité est $F' = f$ , pas $f' = F$ .

Attention — Le mot intervalle est essentiel. Sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ , qui n’est pas un intervalle, deux primitives de $x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ peuvent différer d’une constante sur un morceau et d’une autre constante sur l’autre.

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Primitives des fonctions usuelles et linéarité

Ce qu’il faut savoir

Primitives des fonctions de référence. Chaque ligne se retrouve en dérivant la colonne du milieu.

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur
$a$ (constante)	$a x$	$ℝ$
$x^{n}$ ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ )	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$	$ℝ$
$\frac{1}{x^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$ ou $] - \infty; 0 [$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2 \sqrt{x}$	$] 0; + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$\ln x$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$ℝ$
$e^{a x + b}$ ( $a \neq 0$ )	$\frac{1}{a} e^{a x + b}$	$ℝ$

Linéarité. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur $I$ , alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ , et $λ F$ est une primitive de $λ f$ pour tout réel $λ$ .

Fonction de $a x + b$ . Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $x \mapsto \frac{1}{a} F (a x + b)$ est une primitive de $x \mapsto f (a x + b)$ ( $a \neq 0$ ) : c’est la formule de dérivation ${(F (a x + b))}^{'} = a F' (a x + b)$ vue en 1^re, lue à l’envers.

Exemples

Une somme. Sur $] 0; + \infty [$ , une primitive de $f (x) = 5 x^{4} - \frac{3}{x^{2}}$ est $F (x) = 5 \times \frac{x^{5}}{5} - 3 \times (- \frac{1}{x})$ , soit $F (x) = x^{5} + \frac{3}{x}$ . Vérification : $F' (x) = 5 x^{4} - \frac{3}{x^{2}}$ .

Avec logarithme et exponentielle. Sur $] 0; + \infty [$ , une primitive de $g (x) = 8 x^{3} - \frac{4}{x} + e^{x}$ est $G (x) = 8 \times \frac{x^{4}}{4} - 4 \ln x + e^{x}$ , soit $G (x) = 2 x^{4} - 4 \ln x + e^{x}$ .

Fonctions de $a x + b$ . Une primitive de $e^{3 x + 1}$ est $\frac{1}{3} e^{3 x + 1}$ . Une primitive de $(5 x - 2)^{3}$ est $\frac{1}{5} \times \frac{(5 x - 2)^{4}}{4} = \frac{(5 x - 2)^{4}}{20}$ ; vérification : ${(\frac{(5 x - 2)^{4}}{20})}^{'}$ $= \frac{4 \times 5 (5 x - 2)^{3}}{20}$ $= (5 x - 2)^{3}$ .

Réflexe — J’écris $f$ comme une somme de termes du tableau en sortant les coefficients ( $\frac{3}{x} = 3 \times \frac{1}{x}$ ), je primitive terme à terme, je précise l’intervalle, puis je vérifie en dérivant.

Attention — Aucune règle ne donne la primitive d’un produit ou d’un quotient à partir des primitives des deux facteurs. Avec $f (x) = g (x) = x$ : le produit des primitives, $\frac{x^{2}}{2} \times \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{4}$ , a pour dérivée $x^{3}$ et non $x \times x = x^{2}$ . Et pour $e^{a x + b}$ , le facteur $\frac{1}{a}$ ne s’oublie pas.

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Formes composées : 2u′u, u′eᵘ et u′/u

Ce qu’il faut savoir

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Les formules de dérivation $(u^{2})^{'} = 2 u' u$ , $(e^{u})^{'} = u' e^{u}$ et $(\ln u)^{'} = \frac{u'}{u}$ , lues à l’envers, donnent :

Fonction $f$	Une primitive $F$	Condition
$2 u' u$	$u^{2}$	$u$ dérivable sur $I$
$u' e^{u}$	$e^{u}$	$u$ dérivable sur $I$
$\frac{u'}{u}$	$\ln u$	$u > 0$ sur $I$

Ajuster un coefficient. Quand $u'$ n’apparaît qu’à un facteur constant près, on fait apparaître la forme en multipliant et en divisant par ce nombre. On ne peut ajuster qu’une constante, jamais une expression en $x$ .

Exemples

Forme $u' e^{u}$ exacte. $f (x) = (2 x + 5) e^{x^{2} + 5 x}$ sur $ℝ$ . On pose $u (x) = x^{2} + 5 x$ , donc $u' (x) = 2 x + 5$ et $f = u' e^{u}$ : une primitive est $F (x) = e^{x^{2} + 5 x}$ .

Forme $\frac{u'}{u}$ . $g (x) = \frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x + 5}$ sur $ℝ$ . On pose $u (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ : son discriminant vaut $4 - 60 = - 56 < 0$ et son coefficient de $x^{2}$ est positif, donc $u > 0$ sur $ℝ$ . Comme $u' (x) = 6 x - 2$ , $g = \frac{u'}{u}$ et $G (x) = \ln (3 x^{2} - 2 x + 5)$ .

Forme $2 u' u$ avec un coefficient. $h (x) = 4 x (2 x^{2} + 7)$ . Avec $u (x) = 2 x^{2} + 7$ , $u' (x) = 4 x$ , donc $h = u' u = \frac{1}{2} \times 2 u' u$ : une primitive est $H (x) = \frac{1}{2} (2 x^{2} + 7)^{2}$ .

Coefficient négatif. $k (x) = x e^{1 - x^{2}}$ . Avec $u (x) = 1 - x^{2}$ , $u' (x) = - 2 x$ , donc $x = - \frac{1}{2} u' (x)$ et $k = - \frac{1}{2} u' e^{u}$ : une primitive est $K (x) = - \frac{1}{2} e^{1 - x^{2}}$ . Vérification : $K' (x)$ $= - \frac{1}{2} \times (- 2 x) e^{1 - x^{2}}$ $= x e^{1 - x^{2}}$ .

Réflexe — Je repère la fonction « intérieure » $u$ (en exposant de $e$ , au dénominateur, ou dans le facteur qui se répète), je calcule $u'$ , je compare $u'$ au facteur présent et j’ajuste la constante. Pour $\ln u$ , je justifie que $u > 0$ sur l’intervalle (discriminant, somme de termes positifs…). Puis je vérifie en dérivant.

Attention — $\ln u$ n’existe que là où $u > 0$ . Sur $] - \infty; 0 [$ , une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln (- x)$ , et non $\ln x$ , qui n’y est pas défini. Et $e^{x^{2}}$ seul n’est pas de la forme $u' e^{u}$ : le facteur $2 x$ manque, et on ne peut pas l’inventer.

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Primitive vérifiant une condition initiale

Ce qu’il faut savoir

Existence et unicité. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ , $x_{0}$ un réel de $I$ et $y_{0}$ un réel. Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F (x_{0}) = y_{0}$ . En effet, toutes les primitives s’écrivent $F_{0} + k$ , et l’égalité $F_{0} (x_{0}) + k = y_{0}$ fixe $k$ de façon unique.

De même, l’équation différentielle $y' = f$ a une unique solution sur $I$ qui vérifie la condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Méthode. 1. J’écris toutes les primitives $F_{0} (x) + k$ . 2. Je remplace $x$ par $x_{0}$ . 3. Je résous l’équation d’inconnue $k$ . 4. Je conclus par l’expression complète.

Exemples

Un polynôme. Cherchons la primitive $F$ de $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ sur $ℝ$ telle que $F (2) = 5$ . Les primitives de $f$ sont les fonctions $x \mapsto x^{3} - 2 x^{2} + x + k$ . On écrit $F (2) = 8 - 8 + 2 + k = 2 + k$ , donc $2 + k = 5$ et $k = 3$ . Conclusion : $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 3$ .

Une exponentielle. Cherchons la primitive $G$ de $g (x) = e^{- 0, 5 x}$ sur $ℝ$ telle que $G (0) = 4$ . Les primitives de $g$ sont les fonctions $x \mapsto \frac{1}{- 0, 5} e^{- 0, 5 x} + k$ $= - 2 e^{- 0, 5 x} + k$ . $G (0) = - 2 + k = 4$ , donc $k = 6$ et $G (x) = 6 - 2 e^{- 0, 5 x}$ .

Une équation $y' = f$ . Résolvons $y' = \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ avec $y (1) = 2$ . Les solutions sont les $x \mapsto \ln x + k$ ; $y (1) = \ln 1 + k = k$ , donc $k = 2$ : la solution est $y (x) = \ln x + 2$ .

Réflexe — J’écris toujours la forme générale avec le $+ k$ avant de remplacer $x$ par $x_{0}$ , et je contrôle à la fin que $F (x_{0}) = y_{0}$ .

Attention — $F (0)$ n’est pas toujours égal à $k$ : avec $- 2 e^{- 0, 5 x} + k$ , on a $F (0) = - 2 + k$ , car $e^{0} = 1$ . Et remplacer $x$ par $x_{0}$ avant d’avoir écrit le $+ k$ , c’est perdre l’inconnue.

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Primitives en situation : coût, position, quantité

Ce qu’il faut savoir

Quand une grandeur $Q$ a pour taux de variation (vitesse de variation) la fonction $q$ , c’est-à-dire $Q' = q$ , la grandeur $Q$ est une primitive de $q$ . La valeur de départ fixe la constante.

Taux de variation (la dérivée)	Grandeur (la primitive)	Ce qui fixe la constante
coût marginal $C_{m}$	coût total $C$	$C (0)$ = coûts fixes
vitesse $v$	position $x$	position initiale $x (0)$
débit $d$	quantité (volume) $V$	quantité initiale $V (0)$

Variation entre deux valeurs. La variation $Q (b) - Q (a)$ ne dépend pas de la primitive choisie : avec $F + k$ , la constante disparaît, puisque $(F (b) + k) - (F (a) + k) = F (b) - F (a)$ . Si $q > 0$ sur l’intervalle, $Q$ y est strictement croissante.

Exemples

Du coût marginal au coût total. Un artisan a un coût marginal $C_{m} (q) = 0, 6 q + 4$ (en euros par objet, pour $q$ objets) et des coûts fixes de $50$ €. Le coût total $C$ vérifie $C' = C_{m}$ : $C (q) = 0, 3 q^{2} + 4 q + k$ et $C (0) = k = 50$ , donc $C (q) = 0, 3 q^{2} + 4 q + 50$ . Passer de $10$ à $20$ objets coûte $C (20) - C (10) = 250 - 120 = 130$ €.

De la vitesse à la position. Un chariot roule sur un rail gradué avec la vitesse $v (t) = 6 - 2 t$ (en m/s) pour $t \in [0; 3]$ , et part de l’abscisse $x (0) = 1$ . Sa position est la primitive de $v$ qui vaut $1$ en $0$ : $x (t) = 6 t - t^{2} + 1$ . À l’instant $t = 3$ , il est à l’abscisse $x (3) = 18 - 9 + 1 = 10$ m.

Réflexe — Les mots « marginal », « vitesse », « débit », « taux » désignent une dérivée : la grandeur cherchée est une primitive. J’écris la primitive avec $+ k$ , j’utilise la valeur initiale, puis je calcule ; pour « ce qui s’ajoute entre $a$ et $b$ », je calcule $Q (b) - Q (a)$ .

Attention — Les coûts fixes ne sont pas nuls : $C (0)$ n’est pas $0$ . Et la quantité ajoutée entre $a$ et $b$ est $Q (b) - Q (a)$ , pas $Q (b)$ . Je garde les unités du taux (euros par objet, m/s, litres par minute).

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Pour aller plus loin

De la primitive à l’intégrale. Pour $f$ continue et $F$ une primitive de $f$ , le nombre $F (b) - F (a)$ , qui ne dépend pas de la primitive choisie, est l’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ . Son interprétation en aire, la relation de Chasles, la valeur moyenne et la méthode des rectangles sont traitées dans le chapitre Calcul intégral.

Équations $y' = a y$ et $y' = a y + b$ . Ici, la dérivée $y'$ est une fonction connue de $x$ . Quand elle dépend de $y$ lui-même (croissance, refroidissement, médicament), on résout des équations du type $y' = a y + b$ : chapitre Équations différentielles.

Dériver $e^{u}$ , $\ln u$ , $u^{2}$ . Les formules de dérivation qui donnent les formes $u' e^{u}$ , $\frac{u'}{u}$ et $2 u' u$ sont travaillées dans le chapitre Dérivation : approfondissement.

Pour aller plus loin. Les formes $u' u^{n}$ pour $n ⩾ 2$ , $\frac{u'}{u^{2}}$ , $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ et les primitives de $\sin$ et $\cos$ ne sont pas au programme de l’option ; elles sont traitées dans le chapitre Primitives de spécialité maths.

À retenir

$F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$ lorsque $F' = f$ sur $I$ ; les solutions de $y' = f$ sont les primitives de $f$ .
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; deux primitives diffèrent d’une constante : $F + k$ .
Primitives usuelles : $x^{n} \to \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ , $\frac{1}{x^{2}} \to - \frac{1}{x}$ , $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2 \sqrt{x}$ , $\frac{1}{x} \to \ln x$ , $e^{a x + b} \to \frac{1}{a} e^{a x + b}$ , et linéarité.
Formes composées : $2 u' u \to u^{2}$ , $u' e^{u} \to e^{u}$ , $\frac{u'}{u} \to \ln u$ si $u > 0$ ; on n’ajuste qu’un coefficient constant.
Condition initiale : forme générale $F_{0} + k$ , puis $F_{0} (x_{0}) + k = y_{0}$ donne l’unique primitive cherchée.
Coût marginal → coût total, vitesse → position, débit → quantité : la grandeur est une primitive de son taux de variation.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une primitive d’une fonction ?

Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F′ = f. Pour vérifier qu’une fonction est une primitive, on la dérive et on doit retrouver f. Les solutions de l’équation différentielle y′ = f sont exactement les primitives de f.

Comment trouver une primitive d’une somme de fonctions usuelles ?

On écrit la fonction comme une somme de termes du tableau en sortant les coefficients, on primitive terme à terme grâce à la linéarité (xⁿ donne xⁿ⁺¹/(n + 1), 1/x donne ln x, e^(ax+b) donne e^(ax+b)/a…), on précise l’intervalle, puis on vérifie en dérivant.

Comment reconnaître les formes 2u′u, u′eᵘ et u′/u ?

On repère la fonction u (en exposant, au dénominateur ou dans le facteur répété), on calcule u′ et on compare avec le facteur présent. Une primitive de 2u′u est u², de u′eᵘ est eᵘ, de u′/u est ln u à condition que u > 0. Si u′ n’apparaît qu’à un facteur constant près, on ajuste ce coefficient.

Comment trouver la primitive qui vérifie F(a) = b ?

On écrit d’abord toutes les primitives sous la forme F₀(x) + k, puis on remplace x par a : l’égalité F₀(a) + k = b donne k. Cette primitive est unique. On conclut en donnant l’expression complète et on vérifie la condition.

Quel est le lien entre coût marginal et coût total ?

Le coût marginal est la dérivée du coût total : le coût total est donc la primitive du coût marginal qui vaut, en 0, le montant des coûts fixes. De même, la position est une primitive de la vitesse et un volume est une primitive de son débit. Le coût de passage d’une production a à une production b vaut C(b) − C(a).

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