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Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)

Primitives et intégration

Primitives des fonctions usuelles et premières propriétés de l'intégrale (programme de Terminale — option Maths complémentaires)

À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Primitives et intégration » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Notion de primitive, Primitives des fonctions usuelles, Opérations sur les primitives, Définition de l'intégrale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
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Notion de primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.

Définition. $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ $\iff$ $F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$.

Une fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Toutes les primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante additive : si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ avec $C \in \mathbb{R}$.

Exemple. La fonction $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 2x = f(x)$. La fonction $G(x) = x^2 + 5$ en est aussi une primitive.
Astuce. Pour vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$, il suffit de dériver $F$ et de contrôler qu'on retrouve $f$.
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Primitives des fonctions usuelles

Le tableau suivant résume les primitives des fonctions usuelles à connaître en Terminale :

Fonction $f(x)$Primitive $F(x)$Intervalle
$k$ (constante)$kx$$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$, $n \neq -1$)$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$$\mathbb{R}$ (ou $]0;+\infty[$ si $n<0$)
$\dfrac{1}{x}$$\ln|x|$$]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$
$e^x$$e^x$$\mathbb{R}$
$\cos x$$\sin x$$\mathbb{R}$
$\sin x$$-\cos x$$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$2\sqrt{x}$$]0;+\infty[$
$\sqrt{x}$$\dfrac{2}{3}x^{3/2}$$]0;+\infty[$
Attention ! La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$ et non $\ln(x)$. En pratique, si le contexte impose $x > 0$, on écrit $\ln(x)$.

La courbe rouge représente $F(x) = x^2$ (primitive) et la courbe bleue représente $f(x) = 2x$ (sa dérivée). En chaque point, la pente de $F$ vaut $f$.

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Opérations sur les primitives

Les règles de linéarité de la dérivation permettent de calculer des primitives de combinaisons linéaires.

Propriété (linéarité). Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des primitives $F$ et $G$ sur $I$, et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Alors :
$$\text{Une primitive de } \alpha f + \beta g \text{ est } \alpha F + \beta G.$$
Exemple. Soit $h(x) = 3x^2 - 2e^x + \dfrac{1}{x}$. Sur $]0;+\infty[$, une primitive est :
$H(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 2e^x + \ln(x) = x^3 - 2e^x + \ln(x).$
Astuce — Primitive de $f(ax+b)$. Si $F$ est une primitive de $f$, alors une primitive de $f(ax+b)$ (avec $a \neq 0$) est $\dfrac{1}{a}F(ax+b)$.
Exemple : une primitive de $e^{3x}$ est $\dfrac{1}{3}e^{3x}$.
Attention ! La primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives. Il n'existe pas de formule générale simple pour la primitive d'un produit.
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Définition de l'intégrale

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, est l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$.

Théorème fondamental. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$, alors :
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b.$$

Ce théorème relie la notion de primitive (algébrique) à celle d'intégrale (géométrique/physique). Il vaut même si $f$ prend des valeurs négatives.

Exemple. Calculons $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$. On choisit la primitive $F(x) = x^2$ :
$\displaystyle\int_1^3 2x\,dx = \Big[x^2\Big]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.$

L'aire colorée entre $x=1$ et $x=3$ sous la droite $f(x)=2x$ vaut $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx = 8$.

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Propriétés de l'intégrale

L'intégrale vérifie plusieurs propriétés fondamentales :

PropriétéFormule
Linéarité$\displaystyle\int_a^b (\alpha f + \beta g)\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx$
Relation de Chasles$\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$
Intégrale nulle$\displaystyle\int_a^a f\,dx = 0$
Borne inférieure > borne sup.$\displaystyle\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$
PositivitéSi $f \geq 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \geq 0$
CroissanceSi $f \leq g$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f\,dx \leq \int_a^b g\,dx$
Relation de Chasles. Elle permet de découper un intervalle pour faciliter le calcul, ou de reconstituer une intégrale sur un grand intervalle à partir de sous-intervalles.
Exemple (Chasles). $\displaystyle\int_0^5 f\,dx = \int_0^2 f\,dx + \int_2^5 f\,dx$ pour toute fonction $f$ continue sur $[0;5]$.
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Calcul pratique d'une intégrale

La méthode standard pour calculer $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ comporte trois étapes :

  1. Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $[a;b]$.
  2. Écrire le crochet : $\Big[F(x)\Big]_a^b$.
  3. Calculer $F(b) - F(a)$.
Exemple 1. $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - e^x)\,dx = \Big[x^3 - e^x\Big]_0^1 = (1 - e) - (0 - 1) = 2 - e.$
Exemple 2. $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1.$
Attention ! La constante $C$ de la primitive disparaît dans le calcul : $F(b)+C - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$. On peut donc toujours prendre $C = 0$.
Astuce — Primitive de $f(ax+b)$. $\displaystyle\int_a^b e^{2x}\,dx = \left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_a^b$. Pensez à diviser par le coefficient $a$.
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Interprétation géométrique et applications

L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ donne une aire algébrique : elle compte positivement les parties où $f \geq 0$ et négativement celles où $f \leq 0$.

Aire entre deux courbes. Si $f \geq g$ sur $[a;b]$, l'aire de la région comprise entre les courbes de $f$ et $g$ est :
$$\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx.$$
Exemple. Calculons l'aire entre $f(x) = x+2$ et $g(x) = x^2$ sur $[0;2]$.
$f(x) \geq g(x)$ car $x+2 \geq x^2$ sur $[0;2]$.
$\displaystyle\mathcal{A} = \int_0^2 (x+2-x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = (2+4-\dfrac{8}{3}) - 0 = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}$ unités d'aire.

Applications physiques : En physique, si $v(t)$ est la vitesse d'un objet, alors $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$ représente le déplacement algébrique entre les instants $t_1$ et $t_2$. L'intégrale permet ainsi de passer d'une grandeur à sa grandeur cumulée (débit → volume, puissance → énergie…).

La zone comprise entre $f(x)=x+2$ (droite) et $g(x)=x^2$ (parabole) sur $[0;2]$ a une aire de $\dfrac{10}{3}$ unités d'aire.

En bref
  • Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ telle que $F' = f$.
  • Toutes les primitives de $f$ diffèrent d'une constante : $F(x) + C$.
  • Primitives clés : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(e^x)' = e^x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(-\cos x)' = \sin x$.
  • Théorème fondamental : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$.
  • Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.
  • Aire entre deux courbes ($f \geq g$) : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b (f-g)\,dx$.
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