Géométrie dans l'espace

Exercice 1 — Volumes du cylindre et du cône
Corrigé : Cylindre : $V = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 9 = \pi \times 16 \times 9 = \mathbf{144\pi}$ cm³. Cône : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{144\pi}{3} = \mathbf{48\pi}$ cm³. Le cône fait exactement un tiers du cylindre de même base et même hauteur ($144\pi \div 3 = 48\pi$).

Exercice 2 — Boule et sphère
Corrigé : Volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 4 \times 9\pi = \mathbf{36\pi}$ cm³ (un volume, en cm³). Aire de la sphère : $\mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \times 3^2 = \mathbf{36\pi}$ cm² (une aire, en cm²). Même valeur numérique ici, mais bien deux grandeurs et deux unités différentes.

Exercice 3 — Section d'un solide
Corrigé : Cylindre : la section parallèle à la base est un disque identique à la base, de rayon $5$ cm. Cône : la section parallèle à la base est un disque réduit ; à mi-hauteur, le rayon est divisé par $2$, soit $6 \div 2 = \mathbf{3}$ cm.

Exercice 4 — Agrandissement-réduction
Corrigé : Volume : dans un agrandissement de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Ici $k^3 = 3^3 = 27$, donc le nouveau volume est $12 \times 27 = \mathbf{324}$ cm³. Aire : les aires sont multipliées par $k^2 = 3^2 = 9$, donc $5 \times 9 = \mathbf{45}$ cm². On utilise $k^2$ pour les aires et $k^3$ pour les volumes, pas $k$.

Exercice 5 — Problème : capacité d'un réservoir
Corrigé : $V = \pi r^2 h = \pi \times 20^2 \times 50 = \pi \times 400 \times 50 = 20\,000\pi$ cm³. Valeur approchée : $20\,000 \times 3{,}14 = \mathbf{62\,800}$ cm³. Comme $1$ L $= 1\,000$ cm³, la capacité est $62\,800 \div 1\,000 = \mathbf{62{,}8}$ L.