Géométrie dans l'espace

On considère un cône de rayon $4{,}5$ cm et de hauteur $8$ cm, un cylindre de même rayon et de même hauteur, et une boule de diamètre $9$ cm. Les volumes sont demandés en valeur exacte (en $\pi$) puis arrondis au dixième de cm³.

1. Calcule le volume du cône.
2. Calcule le volume du cylindre. Que remarque-t-on par rapport au cône ?
3. Calcule le volume de la boule.
4. Range les trois solides par volume croissant. La boule peut-elle entrer dans le cylindre ? Justifie.

Trois récipients portent une étiquette indiquant leur contenance. On veut vérifier ces indications.

1. Calcule le volume du récipient A en cm³ (arrondi à l'unité), puis en cL. L'étiquette est-elle correcte ?
2. Même question pour le récipient B.
3. Même question pour le récipient C. Attention à la dimension donnée.
4. Calcule le prix au litre de chaque récipient (à partir du volume réel) et indique le plus économique.

$SABCD$ est une pyramide régulière à base carrée de côté $9$ cm et de hauteur $SO = 12$ cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, passant par le point $O'$ de $[SO]$ tel que $SO' = 4$ cm. La section est le carré $A'B'C'D'$.

1. Calcule le volume de la pyramide $SABCD$.
2. Quel est le rapport de réduction entre la pyramide $SA'B'C'D'$ et la pyramide $SABCD$ ? En déduire la longueur $A'B'$.
3. Calcule le volume de la petite pyramide $SA'B'C'D'$ de deux façons différentes.
4. Calcule le volume du solide $ABCDA'B'C'D'$ restant sous la section, en cm³.

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie par un calcul ou une propriété.

1. « Si l'on double le rayon d'une boule, son volume double. »
2. « $1$ m³ $= 100$ L. »
3. « Un cylindre et un cône de même base et de même hauteur ont des volumes dans le rapport $3$. »
4. « La section d'un cube d'arête $6$ cm par un plan parallèle à une face est un carré de $6$ cm de côté. »

Une piscine hors-sol cylindrique a un diamètre de $4{,}6$ m et une hauteur de $1{,}2$ m. On la remplit jusqu'à $10$ cm du bord avec un tuyau dont le débit est de $1{,}4$ m³ par heure. L'eau coûte $4{,}20$ € le m³.

1. Calcule le volume d'eau nécessaire, arrondi au dixième de m³.
2. Combien de temps dure le remplissage ? Donne la réponse en heures et minutes.
3. Quel est le coût de ce remplissage ?
4. Cinq personnes entrent dans la piscine ; chacune fait monter le niveau d'un volume de $70$ L. De combien de centimètres le niveau monte-t-il ? L'eau déborde-t-elle ? Toute trace de recherche sera prise en compte.