Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Arithmétique : PGCD et nombres premiers
Diviseurs, nombres premiers, décomposition, PGCD par soustractions, par divisions (Euclide) et par décomposition, fractions irréductibles (programme de 3e)
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Exercice 1 — Diviseurs, critères et nombres premiers
/ 4 pts- Le nombre $4\,725$ est-il divisible par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ? Justifie chaque réponse avec un critère.
- Dresse la liste de tous les diviseurs de $45$ en expliquant comment ne pas en oublier.
- Le nombre $221$ est-il premier ? Justifie en indiquant les tests effectués et le moment où l'on peut s'arrêter.
- Quel est le plus petit nombre entier à trois chiffres divisible à la fois par $7$ et par $9$ ? Justifie.
Exercice 2 — Lecture d'un tableau : décompositions
/ 4 ptsLe tableau donne la décomposition en facteurs premiers de quatre nombres ; deux cases sont à compléter.
| Nombre | Décomposition |
|---|---|
| 1 260 | $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ |
| 1 848 | $2^3 \times 3 \times \; ? \; \times 11$ |
| 2 310 | $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$ |
| 1 575 | ? |
- Retrouve le facteur manquant de $1\,848$ et écris la décomposition complète de $1\,575$.
- Calcule $\text{PGCD}(1\,260\,;1\,848)$ à l'aide des décompositions.
- Écris la fraction $\dfrac{1\,260}{1\,848}$ sous forme irréductible.
- Sans poser de division, dis si $2\,310$ est divisible par $15$, puis par $20$. Justifie.
Exercice 3 — Les kits de cuisine
/ 4 ptsUne association a récupéré $1\,071$ cuillères et $462$ fourchettes. Elle veut constituer des kits identiques, en utilisant tous les couverts, avec le plus grand nombre de kits possible.
- Explique pourquoi le nombre de kits cherché est le PGCD de $1\,071$ et $462$.
- Calcule ce PGCD avec l'algorithme d'Euclide en écrivant chaque division.
- Combien de cuillères et de fourchettes contient chaque kit ?
- Un bénévole propose de faire $42$ kits identiques à la place. Est-ce possible ? Justifie.
Exercice 4 — Vrai ou faux, avec justification
/ 4 ptsIndique si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie par un exemple, un contre-exemple ou une propriété.
- « Le PGCD de deux nombres pairs est toujours égal à $2$. »
- « Si un nombre est divisible par $3$ et par $4$, alors il est divisible par $12$. »
- « Si un nombre est divisible par $4$ et par $6$, alors il est divisible par $24$. »
- « Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux. »
Exercice 5 — Prise d'initiative — la mosaïque
/ 4 ptsUn carreleur doit recouvrir un mur rectangulaire de $2{,}16$ m sur $1{,}44$ m avec des carreaux carrés identiques, sans découpe. Le côté d'un carreau est un nombre entier de centimètres et, pour des raisons esthétiques, ne doit pas dépasser $30$ cm. Un carreau coûte $1{,}35$ €.
- Quelle est la plus grande taille de carreau possible si l'on ignore la contrainte des $30$ cm ? Justifie.
- Dresse la liste de toutes les tailles de carreaux possibles (en cm).
- Quelle taille le carreleur doit-il choisir pour utiliser le moins de carreaux possible en respectant la contrainte ? Combien de carreaux faut-il ?
- Calcule le coût des carreaux. Toute trace de recherche sera prise en compte.
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