Diviseurs, nombres premiers, décomposition, PGCD par soustractions, par divisions (Euclide) et par décomposition, fractions irréductibles (programme de 3e)
Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Diviseurs, multiples et critères
Corrigé : $138$ finit par $8$ : il est pair, donc divisible par $2$. La somme des chiffres $1+3+8 = 12$ est un multiple de $3$, donc $138$ est divisible par $3$. Diviseurs de $28$ : on les cherche par paires : $1$ et $28$, $2$ et $14$, $4$ et $7$. Liste complète : $\{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$ (six diviseurs).
Exercice 2 — Nombres premiers et décomposition
Corrigé : Pour tester $59$, on essaie les premiers jusqu'à sa racine carrée ($7^2 = 49 < 59 < 64 = 8^2$, on teste donc $2, 3, 5, 7$). $59$ est impair, $5+9 = 14$ n'est pas multiple de $3$, il ne finit pas par $0$ ou $5$, et $59 = 7 \times 8 + 3$. Aucun ne divise $59$ : il est premier. Décomposition de $84$ : $84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$, soit $\mathbf{84 = 2^2 \times 3 \times 7}$.
Exercice 3 — Calcul de PGCD par deux méthodes
Corrigé : Euclide : $120 = 72 \times 1 + 48$ ; $72 = 48 \times 1 + 24$ ; $48 = 24 \times 2 + 0$. Le dernier reste non nul est $24$, donc $\text{PGCD}(72\,;120) = \mathbf{24}$. Par décomposition : $72 = 2^3 \times 3^2$ et $120 = 2^3 \times 3 \times 5$. Facteurs communs à la plus petite puissance : $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$. On retrouve bien $24$.
Exercice 4 — Fraction irréductible
Corrigé : On divise numérateur et dénominateur par $\text{PGCD}(72\,;120) = 24$ : $\dfrac{72}{120} = \dfrac{72 \div 24}{120 \div 24} = \dfrac{3}{5}$. Vérification : $\text{PGCD}(3\,;5) = 1$ (deux nombres premiers distincts), donc $3$ et $5$ sont premiers entre eux : la fraction $\dfrac{3}{5}$ est bien irréductible.
Exercice 5 — Problème de partage
Corrigé : Le nombre de livres par étagère doit diviser à la fois $56$ et $98$ et être le plus grand possible : c'est $\text{PGCD}(56\,;98)$. Euclide : $98 = 56 \times 1 + 42$ ; $56 = 42 \times 1 + 14$ ; $42 = 14 \times 3 + 0$ → PGCD $= \mathbf{14}$ livres par étagère. Nombre d'étagères : $56 \div 14 = 4$ pour les romans et $98 \div 14 = 7$ pour les BD, soit $4 + 7 = \mathbf{11}$ étagères au total.
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